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(共9张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
勾股定理的验证
编制: 陈琦
(4)
(3)
(2)
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
(a-b)2
C2－4×
ab
=
a2 + b2 = c2
可得：
a2+b2－2ab = c2－2ab
b
C
a
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
大正方形的面积该怎样表示
(a+b)2
C2+4×
a·b
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
c2
a2
b2
a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
广21世纪数痘
27世纪数育
www.(共16张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
探索勾股定理（1）
b
a
c
a2+b2=c2
A
B
C
图1—1
（1）观察图1—1：
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积；
9
9
9
9
18
18
A的面积+ B的面积= C的面积
图1—2
A
B
C
（2）观察图1—2：
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积；
4
4
4
4
8
8
A的面积+ B的面积= C的面积
A
B
C
A
B
C
图1—3
图1—4
做一做：
（1）观察图1—3、图1—4，并填写下一页的表格；
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1—3
图1—3
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流
（2）三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系？
A的面积+B的面积=C的面积
议一议：
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
两直角边的平方和等于斜边的平方
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度；（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
c
a
b
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
弦
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
想一想：
58厘米
46厘米
74厘米
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
225
400
A
225
81
B
=144
2、求出下列直角三角形中未知边的长度
6
8
x
5
x
13
解：由勾股定理得：
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
x2 =169-25
x2 =144
∴ x=12
∵ x > 0
∵ x > 0
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900,
已知: a=5, b=12, 求c;
已知: b=6,c=10 , 求a;
已知: a=7, c=25, 求b.
4 、一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数,求这个直角三角形的周长.
5 、如果一个直角三角形的三条边长是三个连续整数,求这个直角三角形各边的长.
6. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少
A
B
C
小结：
1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）
2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方
C
c
b
a
A
B
A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？
作业：
P6的3、4题及没做完的补充练习题
上网查有关勾股定理的历史资料登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《探索勾股定理》第一课时
深圳市新华中学 杜晓亮
教材分析 教材地位 本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中有着重要的地位，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，对今后学习和解决与直角三角形有关的问题起着很重要的作用。
教学目标及依据 1．学生通过经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力,体会数形结合的思想;掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法。2．充分发挥学生的想象力，提高学生的动手操作能力，培养他们自主、合作、探究的能力。
3．让学生在培养数学学习的兴趣的同时，通过自己动手解决实际问题，增强学好数学的信心，掌握现代技术条件下学习数学的一些方法。确定目标的依据：课程标准和教材特点
重点 让学生经历探索中所蕴含的数学关系（勾股定理）
难点 自主学习中“以直角三角形为边的正方形面积的计算”部分同学理解有困难
关键 探索勾股定理要着重于 “探”，不要以“讲”代“探”。
教学准备 制作有关的导学网页；2．整个教学过程在电脑室进行
教法学法 从开放性、主体性学习的角度来设计和组织教学，采用Frontpage网页形式设置了学习平台，学生可进入勾股定理学习网页（虚拟），按内容提示自主学习。通过设置虚拟网页学习平台，试图让学生借助网络形式，利用网络学习资源，在学习伙伴和教师的合作帮助下，自主学习"勾股定理"的内容，体现在"做"中学，主动学，提高学生的学习兴趣和求知欲望，锻炼学生的实际操作能力（包括搜索信息、选择信息、运用信息解决问题的能力），培养学生的科学探究精神和合作意识。
教学过程 分成5个学习活动板块，每个板块都由固定的两人小组（组内异质，组间同质）为单位完成。
学习活动一： 探究实验。（时间约3分钟）实验目标：收集直角三角形三边的数据，形成感性认识，通过数据中若隐若现的规律激发学生探索的欲望，并且积累下一个学习活动之后验证勾股定理的材料。实验方式：利用几何画板工具，一人改变直角三角形大小，另一人记录数据。
教学过程 学习活动二： 自主学习。（时间约18分钟）学习目标：在老师的指导和同伴的合作下，经历探索勾股定理的过程。能够用三种语言描述勾股定理，并且能够用上一个活动积累的数据验证勾股定理。a cb学习方式：利用POWERPOINT课件，自主完成勾股定理的探索。学习活动三： 勾股史话。（时间约4分钟）学习目标：熟悉勾股定理的历史，掌握勾股弦的概念，感受勾股定理的巨大影响，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想。学习方式：浏览有关网页，向全班讲讲你所熟悉的有关勾股定理的知识。 学习活动四： 自我测试。（时间约15分钟）学习目标：检查所学知识和方法的掌握程度，互相帮助和查漏补缺。在相互竞争中激发学生完善的掌握知识的愿望。学习方式：两人独立完成习题解答，然后互相检查，教师行间巡视，发现和解决问题。两人小组要求互相提问对方“你学到了什么”。 学习活动五： 课后学习（时间约5分钟）
学习目标：写一篇与勾股定理有关的小论文。通过开展这样一个探究开放型学科小活动，进一步激发了学生持续学习、深入探究的兴趣，同时教会学生自我学习的方法及手段，扩大学生认知的渠道和正确有效的使用各种信息工具。学习方式：根据老师提供的相关资料，继续查阅互连网或其它渠道上的资料，两人合作完成
说明：每个学习活动的时间为建议时间，可以根据学习小组成员掌握程度灵活地进行各环节。本导学网页上传到学校资源网，在学习过程中，若出现不懂或新问题，可以多次重复上面的步骤，从而保证更有效的学习。
教学后记 基于网络环境下的探究性学习具有四个特征：1.重过程 2.重应用 3.重体验 4.重全员参与。在"勾股定理"整个学习过程中，同学们始终保持着浓厚的兴趣，团结协作，不同程度的学生都各自发挥自己的优势，都有机会动手做、动脑想，并且在掌握勾股定理的同时获取了许多课本上没有的知识，同学们不仅顺利地学到了课本知识，而且把学习扩展到课堂以外，极大地调动了学习的积极性、主动性，收到了良好的效果。每个学生还认真完成了有关学习勾股定理的小文章。我发现同学们的学习潜力非常大。
教学反思
本节课的教学设计是建立在“学生是数学学习活动的主人，教师是数学学习活动的组织者、引导者、与合作者”的教育理念上的。所以本节课放手让学生去探究，利用本人制作的网页交互性强的特点，我收集整理了不同种类的课件，力求让学生通过多种方法发现勾股定理，让学生明白条条大路通罗马，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步体会数学与现实生活的紧密联系，让学生经历了数学知识的形成过程，感受了从“形”到“数”这一认知过程，有助于培养学生的合情推理能力及数形结合思想。让学生分享发现勾股定理的过程，不仅可以让发现勾股定理的同学有成功的喜悦，同时也能帮助学习上有困难的同学打开思路。
本节课不仅要让学生学习勾股定理本身，还要让学生对勾股定理的历史有一定的了解。所以我放了一些资料在网页中，这样可以激发学生对数学的兴趣，要让学生感觉到数学是个很“丰满”的学科，不是枯燥无味的。自我测试让学生自己发现问题，查漏补缺，加深对勾股定理的理解程度。最后展示勾股树这一“神奇”的课件，让学生学习数学的兴趣空前高涨。最后留了一个拓展性的作业，写一篇有关勾股定理的小论文，加强学生的研究能力，也可以通过此环节引导学生正确利用网络。
另外本导学网页已经上传到学校资源网，在学习过程中，若出现不懂或新问题，可以多次重复上面的步骤，从而保证更有效的学习。
不足的是：本人经验尚浅，感觉在环节的衔接上还不够流畅，对课堂的掌控上照很多前辈还有很大差距。在以后的教学过程中有待加强。
次 数
直角边a
直角边b
斜边c
1 2 3 4 5 6 7 8 ···
直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方
在三角形ABC中，C=90，则
a2+b2=c2
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北师大版数学八年级
精品教学课件
c
a
b
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
弦
广21世纪数痘
27世纪数育
www.(共7张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
探索勾股定理（1）
1
A
B
C
图1--2
B
C
图1--1
A
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。
正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
看 一 看
9
9
18
9
9
18
A
B
C
图1--3
A
B
C
图1--4
做一做
（1）观察图1-3，图1-4，并填写下表：
A的面积
（单位面积） B的面积
（单位面积） C的面积
（单位面积）
图1-3
图1-4
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
16
9
25
4
9
13
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
练一练
1. 如图，根据以下数学情境，你可以提出多少个数学问题？你能解决所提出的问题吗？
3
5
x
┓
2. 若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长是 .
3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .(共14张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
2002
荷花问题
平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。
残花离根二尺远，试问水深尺若干。
聪明的同学们，你能就此画出示意图吗？
如图所示是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中阴影画出的三个正方形，回答下列问题：
（1）设每个小正方形的边长为1个单位，则小正方形P的面积=_____,小正方形Q的面积=______,两者之和=______,大正方形R的面积=_____.
（2）你发现了什么？
（3）你能把你的发现与三角形ABC
的三边联系起来吗？
1
1
2
2
一等腰直角三角形三边之间的关系
二 试一试
观察下图，如果每一小方格表示1平方厘米，把观察到的结果填空：
（1）正方形P的面积=_______平方厘米；
正方形Q的面积=_______平方厘米；
正方形R的面积=_______平方厘米；
（2） 正方形P，Q，R的面积之间的关系
是_____________;
(3)由此得到Rt△ABC的三边的长度之间
存在关系__________.
9
16
25
SP+SQ=SR
（任意直角三角形三边的关系）
对于任意的直角三角形，如果把它的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么一定有
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
早在公元前11世纪的西周初期，数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕达哥拉斯定理。 　　
勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达几十种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面。
勾三股四弦五
夏禹治水
赵爽的 勾股圆方图
一九五五年希腊发行的邮票(共6张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
探究勾股定理
梁子杰
香港道教联合会青松中学
证明
b
a
(a + b)2 = c2 + 4( ab)
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
c
证明
c
b a
c2 = (a b)2 + 4( ab)
= a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b2
证明
(a + b)(b + a) = c2 + 2( ab)
a2 + ab + b2 = c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
完
多谢！
梁
子杰
广21世纪数痘
27世纪数育
www.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
8年级数学学案 §1.1. 1 勾股定理（一）
探究实验
实验方式：利用几何画板工具，一人改变直角三角形大小，另一人记录数据。
巩固练习
一、判断：
(1) 已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2 ( )
(2) 在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。 （ ）
(3) 在直角三角形ABC中, ∠B=900,则a2+b2=c2 （ ）
二、填空题
1、填空：在直角三角形ABC中，∠C=900
（1）如果a=3，b=4，则c=__________
（2）如果a=6，C=10，则b2=________
2. 已知直角三角形的两条直角边分别是6和8, 则斜边长为_________．
3. 直角三角形中, 有一条直角边为3，斜边为5, 则另一条直角边长为________
4. 等腰直角三角形的斜边长为4cm,则它的面积___________
5．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
三、解答题
如图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆在折断之前有多高？
次 数
直角边a
直角边b
斜边c
1 2 3 4 5 6 7 8 ···
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