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第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
第二章　§2.5　等比数列的前n项和
学习目标
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
3.会用错位相减法求和.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征
思考　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案　当Sn＝2n－1时，
当Sn＝2n＋1－1时，
思考　若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
知识点二　等比数列前n项和的性质
答案　设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
梳理　等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N
).
[思考辨析
判断正误]
√
√
题型探究
例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列.
类型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用
证明
证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴数列{an}是等比数列.
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝____.
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
答案
解析
类型二　等比数列前n项和的性质
证明
证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
方法二　根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
反思与感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
解答
跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
答案
命题角度2　不连续n项之和问题
解析
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
√
反思与感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则
＝____.
126
答案
解析
解析　
∴{
}是首项为b2，公比为2的等比数列.
类型三　错位相减法求和
解答
反思与感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
解答
跟踪训练4　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
达标检测
答案
1
2
3
4
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于
A.31
B.33
C.35
D.37
解析
√
解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，
∴S10＝1＋32＝33.
答案
解析
1
2
3
4
√
1
2
3
4
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
1
2
3
4
答案
解析
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为
√
解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.
1
2
3
4
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于
A.24
B.12
C.18
D.22
解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
答案
解析
√
规律与方法
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列.
2.等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0第1课时　等比数列前n项和公式的推导及简单应用
学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识点一　等比数列的前n项和公式
思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
答案　
比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1.
梳理　等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝
Sn＝
特别提醒：在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
知识点二　等比数列的前n项和公式的应用
思考　要求等比数列前8项的和：
(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9，q的值.用哪个公式比较合适？
答案　(1)用Sn＝.(2)用Sn＝.
梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意
(1)
一定不要忽略q＝1的情况；
(2)
知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；
(3)
在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
1.在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(×)
2.等比数列{an}的公比q≠1，则前n项和Sn＝.(×)
3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(√)
类型一　等比数列前n项和公式的应用
例1　求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　(1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思与感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立.
跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　2　2n＋1－2
解析　设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
因此Sn＝＝2n＋1－2.
例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
解　由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
反思与感悟　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便.
跟踪训练2　在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　方法一　由题意知
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝
＝，n∈N
.
方法二　若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
所以
两式作比，得＝，
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝＝，n∈N
.
类型二　等比数列前n项和的实际应用
例3　小华准备购买一台售价为5
000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈880.8.
故小华每期付款金额约为880.8元.
方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，
∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812
＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
∴x＝≈880.8.
故小华每期付款金额约为880.8元.
反思与感悟　解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　C
解析　当x＝1时，Sn＝n；当x≠1时，Sn＝.
2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)
A.2
B.4
C.
D.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二　∵S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.
3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)
A.179
B.211
C.243
D.275
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　B
解析　∵q4＝＝＝4，且q>0，
∴q＝，∴S5＝＝＝211.
4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________.
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
答案　11a(1.15－1)
解析　去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.
一、选择题
1.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　D
解析　Sn＝＝.
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A.33
B.72
C.84
D.189
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，
得q2＋q－6＝0.
∵q>0，∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22·21＝84.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A.11
B.5
C.－8
D.－11
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　D
解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)
A.
B.－
C.
D.－
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，q2＝9，
又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)
A.－2
B.－1
C.
D.
答案　B
解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.
6.已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于
(　　)
A.－6(1－3－10)
B.(1－3－10)
C.3(1－3－10)
D.3(1＋3－10)
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　C
解析　由3an＋1＋an＝0，得＝－，
故数列{an}是公比q＝－的等比数列.
又a2＝－，可得a1＝4.
所以S10＝＝3(1－3－10).
7.一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)
A.300米
B.299米
C.199米
D.166米
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
答案　A
解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米).
二、填空题
8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　3
解析　∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9.数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　2n－1
解析　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
10.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　
解析　由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3).
∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列的前n项和有关的基本量计算问题
答案　－
解析　当q＝1时，
Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；
当q≠1时，＋＝2×，
得2－q3－q6＝2－2q9，
∴2q9－q6－q3＝0，
解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，
∴q＝－.
三、解答题
12.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N
.
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1
＝(1－n)×2n＋1－2，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
13.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.
四、探究与拓展
14.在等比数列{an}中，对任意n∈N
，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)
A.(2n－1)2
B.
C.4n－1
D.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
答案　D
解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1.
∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，
∴{an}的公比为2.∴{a}的公比为4，首项为a＝1.
∴a＋a＋…＋a＝＝.
15.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N
，数列{bn}满足bn·bn＋1＝an，b1＝1.
(1)求an，bn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
考点　等比数列前n项和
题点　求等比数列的前n项和
解　(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(负值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得＝2，可得数列{bn}中奇数项、偶数项分别为公比
为2的等比数列，即有bn＝
(2)当n为偶数时，前n项和为Tn＝(1＋2＋…＋2)＋(2＋4＋…＋2)＝＋＝3·()n－3；当n为奇数时，前n项和为Tn＝Tn－1＋＝3·()n－1－3＋＝()n＋3－3.
综上可得，Tn＝(共40张PPT)
第1课时　等比数列的概念及通项公式
第二章　§2.4　等比数列
学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　等比数列的概念
思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
答案　从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
梳理　等比数列的概念和特点.
(1)文字定义：如果一个数列从第
项起，每一项与它的
一项的
等于
常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0).
(3)等比数列各项均
为0.
2
前
比
同一
公比
不能
思考　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
知识点二　等比中项的概念
梳理　等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成
数列，则G叫做a与b的
中项
定义式
A－a＝b－A
公式
等比
等比
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有
个，且互为_______
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当
时，a与b才有等比中项
两
相反数
ab＞0
思考　等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
知识点三　等比数列的通项公式
答案　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴an＝a1qn－1(n∈N
).
梳理　等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
[思考辨析
判断正误]
1.常数列既是等差数列，又是等比数列.(
)
2.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(
)
3.若an＋1＝qan，n∈N
，且q≠0，则{an}是等比数列.(
)
4.任何两个数都有等比中项.(
)
×
×
×
×
题型探究
例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列.
类型一　等比数列的判定
证明
证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列.
跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝
(an－1)(n∈N
).
(1)求a1，a2；
解答
(2)证明：数列{an}是等比数列.
证明
类型二　等比数列通项公式的应用
解答
命题角度1　等比数列基本量的计算
例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.
解答
跟踪训练2　在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
解　由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.
解答
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解　设等比数列的公比为q，
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
命题角度2　等比数列的实际应用
例3　为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg
2＝0.3，最后结果精确到整数)
解答
经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，
经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义.
解答
跟踪训练3　“猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的三只猴子都是如此处理.问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？
解　设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，
由题意知a6为整数，故a1＋4的最小值是55，
即a1的最小值是55－4＝3
121.
即最初至少有3
121个苹果，
从而最后剩下a6＝45－4＝1
020个苹果.
类型三　等比中项
答案
解析
√
反思与感悟　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项.
(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.
答案
解析
√
达标检测
答案
1
2
3
4
1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于
A.－24
B.0
C.12
D.24
√
解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，
解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
解析
答案
解析
1
2
3
4
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
√
解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6.
1
2
3
4
答案
解析
3.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64
B.81
C.128
D.243
√
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
1
2
3
4
4.45和80的等比中项为_________.
解析　设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
答案
解析
－60或60
规律与方法第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
学习目标　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.
知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征
思考　若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案　当Sn＝2n－1时，
an＝＝n∈N
是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝n∈N
不是等比数列.
梳理　当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点二　等比数列前n项和的性质
思考　若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
答案　设{an}的公比为q，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为0，
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
梳理　等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N
).
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
1.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.(√)
2.当{an}为等差数列，{bn}为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法.(√)
类型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴＝a，
∴数列{an}是等比数列.
反思与感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　－
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
类型二　等比数列前n项和的性质
例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n).
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
方法二　根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n).
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n).
反思与感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
例3　已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于(　　)
A.－3
B.－
C.3
D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　A
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴＝＝－3.
反思与感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　126
解析　
∴{}是首项为b2，公比为2的等比数列.
类型三　错位相减法求和
例4　求数列的前n项和.
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－.
反思与感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0).
考点　错位相减求和
题点　错位相减求和
解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得，Sn＝
1.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　)
A.31
B.33
C.35
D.37
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A.
B.－
C.
D.－
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　C
解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.
方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，解得x＝.
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为(　　)
A.1
B.
C.
D.无法确定
考点　等比数列前n项和
题点　等比数列前n项和综合问题
答案　A
解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于(　　)
A.24
B.12
C.18
D.22
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列.
2.等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1).设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系.
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解.
一、选择题
1.等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)
A.2
B.
C.4
D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　C
解析　∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，
∴q＝＝4，故选C.
2.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A.1
B.0
C.1或0
D.－1
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　A
解析　∵Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，
∴q＝＝1.
3.在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A.90
B.70
C.40
D.30
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　C
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N
，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A.－2
B.2
C.－3
D.3
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　B
解析　设公比为q，若q＝1，则＝2，
与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
5.已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·
am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N
)，则以下结论一定正确的是(　　)
A.数列{bn}为等差数列，公差为qm
B.数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C.数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D.数列{cn}为等比数列，公比为qmm
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　C
解析　∵{an}是等比数列，
∴＝qmn＋m－m(n－1)－m＝qm，
∴＝
＝(qm)m＝.
6.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　B
解析　∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8＝.
7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N
)，则a6等于(　　)
A.3×44
B.3×44＋1
C.45
D.45＋1
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　A
解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，
即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
8.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A.－3
B.5
C.－31
D.33
考点　等比数列前n项和的性质
题点　连续m项的和成等比数列
答案　D
解析　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.
二、填空题
9.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列奇偶项和的性质
答案　2
解析　根据题意得
∴∴q＝＝＝2.
10.已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　
解析　＝＝1＋q2＝5，q＝±2.
∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.
∴首项为1，公比为－，
前5项和为＝＝.
三、解答题
11.已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点　错位相减法求和
题点　错位相减法求和
解　(1)设数列{an}的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，
即(q－2)(q2＋1)＝0.
∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n，n∈N
.
(2)由题意得，bn＝n·2n，
∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－(n－1)·2n＋1.
∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N
.
12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？
考点　等比数列前n项和应用题
题点　等比数列前n项和的应用题
解　(1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，
公差为0.5的等差数列，
所以an＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.
当n≥11时，数列{an}是以0.99为公比的等比数列.
又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，
因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得
S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)
＝477.5＋4
950×(1－0.9910)≈950.8(万)，
所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为≈47.54万.
因为<49，故到2036年不需要调整政策.
13.已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和.
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
(1)解　由已知，得an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3).
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，
可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.
解得q＝.
(2)证明　若q＝1，则{an}的各项均为a，
此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列.
若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，
即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn.
因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1
＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列.
四、探究与拓展
14.数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N
)，则＋＋＋…＋＝________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　2
017＋
解析　由题意可知＝＋·，
即－1＝，
又－1＝－，
所以＝1－，
所以＋＋＋…＋＝n－
＝n－＋·，
则＋＋＋…＋＝2
018－＋×
＝2
017＋.
15.已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2n－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}.若数列{cn}的第n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前32项的和是________.
考点　等比数列前n项和的性质
题点　等比数列前n项和性质综合
答案　2
016
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2n－1)－3(2n－1－1)＝3×2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝3×2n－1.令at＝bs，∴3×2t－1＝5s－2，则s＝.t＝1，s＝1，符合题意；t＝2，s＝，不合题意；t＝3，s＝，不合题意；t＝4，s＝，不合题意；t＝5，s＝10，符合题意；…；
∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{kn}的前32项之和为32×1＋×4＝2
016.第2课时　等比数列的性质
学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
知识点一　由等比数列衍生的等比数列
思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)是等比数列；
(4){a2n}是等比数列.
答案　由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列.
知识点二　等比数列的性质
思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N
)是否成立？
答案　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，
∴a＝a1a9成立.同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立.
梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N
).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N
).
1.an＝amqn－m(n，m∈N
)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.(√)
2.等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列.(√)
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)
类型一　等比数列通项公式的推广应用
例1　等比数列{an}中.
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
解　(1)∵＝q7－4＝，
即q3＝4，∴q＝，
∴an＝a4·qn－4＝2·()n－4＝
(2)由a＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴
∴an＝2·2n－1＝2n.
反思与感悟　(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a5＝________；
(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________.
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　(1)8　(2)64
解析　(1)∵＝q7－3＝q4＝＝4，
∴q2＝2.
∴a5＝a3q5－3＝4·q2＝4×2＝8.
(2)设该等比数列{an}的公比为q，
∴
即
解得
∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
当n＝3或4时，取得最小值－6，
此时取得最大值26，
∴a1a2…an的最大值为64.
类型二　等比数列的性质
例2　已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思与感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题.
跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　128
解析　∵a3a5＝a＝4，an>0，
∴a4＝2.
∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4
＝43×2＝128.
例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质的其他应用问题
解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
解得或
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思与感悟　合理地设出未知数是解决此类问题的技巧.一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
跟踪训练3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质的其他应用问题
解　设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得
解得或
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.8
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　A
解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
2.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　　)
A.9
B.6
C.3
D.2
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
答案　C
解析　因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　8
解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
4.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
考点　等比数列的判定
题点　判断数列为等比数列
解　不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列.
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a2
015＝8a2
012，则公比q的值为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.8
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　A
解析　∵a2
015＝8a2
012＝a2
012·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
2.在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　)
A.7
B.8
C.9
D.16
考点　等比数列的判定
题点　判断数列为等比数列
答案　B
解析　点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，
∵a1＝1≠0，∴an≠0，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A.100
B.－100
C.10
000
D.－10
000
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　C
解析　∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10
000.
4.在正项等比数列{an}中，an＋1A.
B.
C.
D.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　D
解析　设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且
an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝或q＝(舍去)，∴＝＝2＝.
5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)
A.
B.3
C.±
D.±3
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
化简得d2＝－2a1d，
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.
6.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A.5
B.7
C.6
D.4
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　A
解析　∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.∴a＝a2a8＝＝，
又∵数列{an}各项均为正数，∴a5＝.
∴a4a5a6＝a＝＝5.
7.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A.1＋
B.1－
C.3＋2
D.3－2
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
8.设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　18
解析　由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
9.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　－6
解析　由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
10.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列各项积的问题
答案　1
024
解析　设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·q1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1
024.
11.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
答案　8
解析　由等比数列的性质得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
三、解答题
12.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＋a5＝64，求{an}的通项公式.
考点　等比数列的性质
题点　利用项数的规律解题
解　设数列{an}的公比为q(q>0).
∵a1＋a2＝2·，
∴a1＋a1q＝2·，即a1＝.①
又∵a3＋a4＋a5＝64，
∴a3(1＋q＋q2)＝64·，
即a3＝.②
联立①②，解得q＝2，a1＝1，
故an＝2n－1(n∈N
).
13.在等比数列{an}(n∈N
)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
(3)试比较an与Sn的大小.
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
(1)证明　因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2
＝log2q(q＞0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解　因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，
所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋(－1)＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，
所以an＝25－n(n∈N
).
(3)解　由(2)知，an＝25－n＞0，
当n≥9时，Sn＝≤0，
所以当n≥9时，an＞Sn.
又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，
a7＝，a8＝，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，
S8＝4，
所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an当n＝1,2或n≥9，n∈N
时，an＞Sn.
四、探究与拓展
14.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　)
A.2n
B.2n2
C.n2
D.n
考点　等比数列的性质
题点　等比数列的性质与对数运算综合
答案　C
解析　log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)
15.在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，也成等比数列，求数列{kn}的通项公式.
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
解　由题意得a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，
又d≠0，∴a1＝d.
又a1，a3，成等比数列，
∴该数列的公比q＝＝＝3，
∴＝a1·3n＋1.
又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n＋1.(共34张PPT)
第1课时　等比数列前n项和公式的推导及简单应用
第二章　§2.5　等比数列的前n项和
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　等比数列的前n项和公式
思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
梳理　等比数列的前n项和公式
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝_______________
Sn＝_______________
思考　要求等比数列前8项的和：
(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？
知识点二　等比数列的前n项和公式的应用
(2)若已知a1，a9，q的值.用哪个公式比较合适？
梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意
(1)
一定不要忽略q＝1的情况；
(3)
在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.
[思考辨析
判断正误]
×
×
√
题型探究
命题角度1　前n项和公式的直接应用
例1　求下列等比数列前8项的和：
类型一　等比数列前n项和公式的应用
解答
解答
反思与感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立.
跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝___；前n项和Sn＝________.
2
2n＋1－2
解析　设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
答案
解析
命题角度2　通项公式、前n项和公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解答
解　由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
反思与感悟　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
跟踪训练2　在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
解答
方法二　若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
类型二　等比数列前n项和的实际应用
解答
例3　小华准备购买一台售价为5
000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.
解　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5
000×(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5
000×1.0084－1.0082x－x，
…
A12＝5
000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
故小华每期付款金额约为880.8元.
方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，
∴A12＝5
000×1.00812，
即5
000×1.00812
＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，
故小华每期付款金额约为880.8元.
反思与感悟　解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
解答
跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
热气球在前n分钟内上升的总高度为
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
达标检测
答案
1
2
3
4
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
解析
√
解析　当x＝1时，Sn＝n；
答案
解析
1
2
3
4
√
1
2
3
4
答案
解析
3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
√
1
2
3
4
4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为___________.
解析　去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
答案
解析
11a(1.15－1)
规律与方法
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.(共33张PPT)
第2课时　等比数列的性质
第二章　§2.4　等比数列
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
问题导学
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内容索引
问题导学
知识点一　由等比数列衍生的等比数列
思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(4){a2n}是等比数列.
答案　由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：
若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么
是等比数列.
等比
知识点二　等比数列的性质
梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N
).
若m＋n＝2k，则am·an＝a
(m，n，k∈N
).
[思考辨析
判断正误]
1.an＝amqn－m(n，m∈N
)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.(
)
2.等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列.(
)
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(
)
√
√
×
题型探究
例1　等比数列{an}中.
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
类型一　等比数列通项公式的推广应用
解答
(2)若{an}为递增数列，且a
＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解答
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴an＝2·2n－1＝2n.
反思与感悟　(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a5＝___；
8
答案
解析
∴q2＝2.
∴a5＝a3q5－3＝4·q2＝4×2＝8.
(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为____.
64
答案
解析
解析　设该等比数列{an}的公比为q，
此时
取得最大值26，
∴a1a2…an的最大值为64.
类型二　等比数列的性质
解答
命题角度1　序号的数字特征
例2　已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
解答
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解　根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
反思与感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题.
跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝____.
128
答案
解析
∴a4＝2.
∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4
＝43×2＝128.
解答
命题角度2　未知量的设法技巧
例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
跟踪训练3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.
解答
解　设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
达标检测
答案
1
2
3
4
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为
A.2
B.3
C.4
D.8
√
解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
解析
答案
解析
1
2
3
4
2.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于
A.9
B.6
C.3
D.2
√
解析　因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
1
2
3
4
答案
解析
3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为____.
8
解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
1
2
3
4
4.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解　不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
解答
规律与方法
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.§2.4　等比数列
第1课时　等比数列的概念及通项公式
学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
知识点一　等比数列的概念
思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
答案　从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
梳理　等比数列的概念和特点.
(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
(2)递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N
).
(3)等比数列各项均不能为0.
知识点二　等比中项的概念
思考　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
答案　设这个数为G，则＝，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个.
梳理　等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
知识点三　等比数列的通项公式
思考　等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
答案　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴an＝a1qn－1(n∈N
).
梳理　等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
1.常数列既是等差数列，又是等比数列.(×)
2.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.(×)
3.若an＋1＝qan，n∈N
，且q≠0，则{an}是等比数列.(×)
4.任何两个数都有等比中项.(×)
类型一　等比数列的判定
例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列.
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列.
反思与感悟　判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数).
跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N
).
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列.
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
(1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明　∵Sn＝(an－1)，∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an，
又a1＝－≠0，∴an≠0，∴＝－，n∈N
，
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
类型二　等比数列通项公式的应用
例2　一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，
将q＝代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
反思与感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.
跟踪训练2　在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项数
解　(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
例3　为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg
2＝0.3，最后结果精确到整数)
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
解　设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1＝，
经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，
经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝an＋，
即an＋1－＝，
a1－＝－＝－，
∴是以－为首项，为公比的等比数列，
∴an－＝n－1，
∴an＝－n－1，则an＋1＝－n，
∵an＋1>50%，∴－n>，
∴n<，n>＝≈3.1，
则当n≥4时，不等式n<恒成立.
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
反思与感悟　等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义.
跟踪训练3　“猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的三只猴子都是如此处理.问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？
考点　等比数列的应用题
题点　等比数列的应用题
解　设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，
由题意得，an＋1＝(an－1)－(an－1)＝an－，(
)
设an＋1＋x＝(an＋x)，即an＋1＝an－x，
对照(
)式得，－x＝－，所以x＝4.
即an＋1＋4＝(an＋4).
所以数列{an＋4}为等比数列，首项为a1＋4，公比q＝，
所以a6＋4＝(a1＋4)×5.
因此a6＝(a1＋4)×5－4.
由题意知a6为整数，故a1＋4的最小值是55，
即a1的最小值是55－4＝3
121.
即最初至少有3
121个苹果，
从而最后剩下a6＝45－4＝1
020个苹果.
类型三　等比中项
例4　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)
A.±
B.
C.1
D.±1
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　D
解析　∵1，a,3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
反思与感悟　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项.(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.
跟踪训练4　＋1与－1的等比中项是(　　)
A.1
B.－1
C.±1
D.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　C
解析　设x为＋1与－1的等比中项，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.
1.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　)
A.－24
B.0
C.12
D.24
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　A
解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)
A.4
B.8
C.6
D.32
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项数
答案　C
解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
3.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A.64
B.81
C.128
D.243
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　A
解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
4.45和80的等比中项为________.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　－60或60
解析　设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.
1.等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数).
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N
).
2.两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
一、选择题
1.2＋和2－的等比中项是(　　)
A.1
B.－1
C.±1
D.2
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　C
解析　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2.下列各组数成等比数列的是(　　)
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
考点　等比数列的概念
题点　等比数列的概念
答案　C
解析　由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列.
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　)
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　C
解析　由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32.
4.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A.16
B.27
C.36
D.81
考点　等比数列的概念
题点　等比数列的概念
答案　B
解析　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A.b＝3，ac＝9
B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D.b＝－3，ac＝－9
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号.∴ac＝b2＝9.
6.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
考点　等比数列基本量的计算
题点　利用基本量法解题
答案　C
解析　在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.
7.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于(　　)
A.3
B.2
C.1
D.－2
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　B
解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
二、填空题
8.在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列公比
答案　2
解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
9.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　80,40,20,10
解析　设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
10.数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
考点　等比中项
题点　利用等比中项解题
答案　1
解析　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
11.若{an}为公比大于1的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为______________.
考点　等比数列的通项公式
题点　已知数列为等比数列求通项公式
答案　an＝2×3n－3
解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>1.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q1＝(舍)，q2＝3.
由q＝3知，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
三、解答题
12.已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式.
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
解　(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
因为{an}的各项都为正数，
所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
13.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N
.若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求{an}的通项公式.
考点　等比数列的通项公式
题点　判断数列为等比数列后求通项
解　由Sn＋1＝qSn＋1①可知当n≥2时，Sn＝qSn－1＋1②，两式相减可得an＋1＝qan，又n＝1时，S2＝qS1＋1，
即a1＋a2＝qa1＋1，解得a2＝q≠0，
∴an≠0，∴＝q(n≥2).
又＝q，∴{an}是公比为q的等比数列.
根据2a2，a3，a2＋2成等差数列，
由等差数列性质可得2a2＋a2＋2＝2a3，
即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，
由q>0可知，q＝2，所以an＝2n－1，n∈N
.
四、探究与拓展
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为(　　)
…
A.
B.
C.
D.
考点　等比数列基本量的计算
题点　求等比数列的项
答案　C
解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
15.设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝
记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.
考点　等比数列的判定
题点　证明数列为等比数列
解　(1)a2＝a1＋＝a＋，
a3＝a2＝a＋.
(2)因为a4＝a3＋＝a＋，
所以a5＝a4＝a＋，
所以b1＝a1－＝a－，
b2＝a3－＝，
b3＝a5－＝.
猜想：数列{bn}是公比为的等比数列.
证明如下：
因为bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－
＝－
＝＝bn(n∈N
)，
又b1＝a1－＝a－≠0，所以bn≠0，
所以＝，n∈N
所以数列{bn}是首项为a－，公比为的等比数列.

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