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第02讲
集合间的基本关系
【学习目标】
1.理解集合之间的包含与相等的含义．
2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．
3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．
【知识结构】
【考点总结】
一、子集
定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
记法与读法：记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
或
结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA．
(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC．
【注】对子集的理解　
(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB．
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．此时记作AB或BA．
(3)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．
二、集合相等
如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．用Venn图表示如图所示．
【注】对集合相等的理解
(1)A＝BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；
(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；
(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
三、真子集
定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．
记法：记作AB(或BA)．
结论：(1)AB且BC，则AC；
(2)AB且A≠B，则AB．
四、空集
定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集．
记法：
规定：空集是任何集合的子集，即A
特性：(1)空集只有一个子集，即它本身，
(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A
【例题讲解】
题型一　集合关系的判断
例1、指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
解析　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.
规律方法　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　)
A．A?B　　　
B．A＝B
C．A?B　　
D．B?A
(2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0A．A＝B　　　
B．A?B
C．B?A　　
D．A?B
解析　(1)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案　(1)D　(2)C
题型二　子集、真子集个数问题
例2、(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}?P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
(1)解析　集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．
答案　?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7
(2)解　由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
规律方法　1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
【训练2】　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.
题型三　由集合间的包含关系求参数
【探究1】　设集合A＝{a，b}，且B?A，求B.
解　B是A的子集，则B可能是?，{a}，{b}，{a，b}．
【探究2】　下列命题正确的是(　　)
A．A??　　　
B．??A
C．A??　　
D．??A
解析　由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选B．
答案　B
【探究3】　设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1解　集合A，B，C都可能是空集．当a＝0时，集合A是空集，当Δ＝1－4a<0，且a≠0，即a>时，集合B是空集；当a＋1≥2a，即a≤1时，集合C是空集．
【探究4】　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解　∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
规律方法　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
【训练3】　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解　(1)若A?B，由图可知a>2.
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
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