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专题10
数列
重点题型
题型一、等差数列基本量的计算
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．
3．等差数列的通项公式
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．
4．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
5．等差数列的常用性质
A.由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
B.利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
题型二、等比数列基本量的计算
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
5．等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
题型三、数列通项的求解
1．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；
（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；
（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；
（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；
（5）数列1，，，，…的通项公式为；
（6）数列，，，，…的通项公式为；
（7）的通项公式为.
（8）的通项公式为.
2．公式法：直接利用等差数列、等比数列的通项公式求解.
3．已知求：
（1）先利用求出；
（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
4．已知数列的递推公式求通项：
（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．
（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．
（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．
（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．
（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．
（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
题型四、数列的求和
1．公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
2．倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
3．裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4．错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前n项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：把Sn=a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
5．分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
题型五、数列的单调性
1．数列单调性的判断方法：
①作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；
数列是常数列．
②作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；
数列是常数列．
当时，数列是递减数列；数列是递增数列；
数列是常数列．
2．数列单调性的应用：
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．如：
①由等差数列的通项公式，可得．令，，则，其中，为常数．当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
②首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
③等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
④首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
（2）根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．
考点集训
一、单选题
1．在等比数列中，，，则（
）
A．32
B．16
C．8
D．4
2．设为等差数列的前项和，若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．在数列中，，，（，），则（
）
A．
B．6
C．10
D．
4．设公差为-2的等差数列，如果，那么（
）
A．-72
B．-78
C．-182
D．-82
5．数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么（
）
A．150
B．-200
C．150或-200
D．400或-50
6．在等差数列中，首项，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
7．数列中的前项和，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（
）
A．
B．
C．
D．
9．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（
）
A．尺
B．尺
C．尺
D．尺
10．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（
）
A．
B．3
C．
D．
二、多选题
11．记等差数列的前项和为.若，，则（
）
A．
B．
C．的最大值为30
D．的最大值为15
12．设等差数列的公差为，前项和为，则的充分条件是（
）
A．
B．
C．且
D．且
13．设数列的前项和为，，，则（
）
A．是等比数列
B．是单调递增数列
C．是单调递减数列
D．的最大值为12
14．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（
）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和为
15．已知数列满足，且，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则下列命题正确的是（
）
A．；
B．，，成等差数列
C．是等比数列；
D．，，，，，成等差数列
17．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（
）
A．数列是公比为的等比数列
B．
C．数列是公比为的等比数列
D．数列的前n项和
三、填空题
18．若数列满足，，则_________，数列的通项公式________．
19．在等比数列中，，，，则的公比为______.
20．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
21．在数列中，，，，则的值为______．
22．已知数列满足，，则数列的前项的和等于_______．
23．正项数列中，，若，则________．
四、解答题
24．已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
25．已知正项数列的前n项和为，，当时，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
26．在数列中，.等差数列的前两项依次为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
27．设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
28．已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
29．已知等差数列的公差为2，其前n项和，.
（1）求实数p的值及数列的通项公式；
（2）在等比数列中，，，若的前n项和为，求证：数列为等比数列.
30．已知正项数列的首项，前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列前和为，求使得成立的的最大值．
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专题10
数列
重点题型
题型一、等差数列基本量的计算
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．
3．等差数列的通项公式
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．
4．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
5．等差数列的常用性质
A.由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
B.利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
题型二、等比数列基本量的计算
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
5．等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；
若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
（4）成等比数列，公比为．
（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列．
（6）当时，；当时，．
（7）．
（8）若项数为，则，若项数为，则．
（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
题型三、数列通项的求解
1．常见的数列的通项公式：
（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；
（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；
（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；
（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；
（5）数列1，，，，…的通项公式为；
（6）数列，，，，…的通项公式为；
（7）的通项公式为.
（8）的通项公式为.
2．公式法：直接利用等差数列、等比数列的通项公式求解.
3．已知求：
（1）先利用求出；
（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.
4．已知数列的递推公式求通项：
（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．
（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．
（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．
（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．
（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3．
（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．
（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
题型四、数列的求和
1．公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
2．倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
3．裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4．错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前n项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：把Sn=a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn=a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
5．分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
题型五、数列的单调性
1．数列单调性的判断方法：
①作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；
数列是常数列．
②作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；
数列是常数列．
当时，数列是递减数列；数列是递增数列；
数列是常数列．
2．数列单调性的应用：
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．如：
①由等差数列的通项公式，可得．令，，则，其中，为常数．当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
②首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
③等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
④首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点．当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
（2）根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．
考点集训
一、单选题
1．在等比数列中，，，则（
）
A．32
B．16
C．8
D．4
【答案】A
【解析】因为在等比数列中，，，所以，故选A.
2．设为等差数列的前项和，若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差，∵，且，
∴，解得.
则，故选C.
3．在数列中，，，（，），则（
）
A．
B．6
C．10
D．
【答案】B
【解析】因为，，（，），即（，），
所以，，，故选B.
4．设公差为-2的等差数列，如果，那么（
）
A．-72
B．-78
C．-182
D．-82
【答案】D
【解析】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣82．故选D．
5．数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么（
）
A．150
B．-200
C．150或-200
D．400或-50
【答案】A
【解析】∵数列为各项都是正数的等比数列，设公比为，则，由已知数据可知，
∴，①，，②
①②两式相除可得，解得或（舍去），
把代入①可得，∴.故选A.
6．在等差数列中，首项，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】因为是等差数列，，且是与的等比中项，则即
设的公差为，所以，即，解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，所以的值为或，故选C.
7．数列中的前项和，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
经检验不满足上式，所以，
设，则，
所以，故选D.
8．已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将整数对进行重新排列如图：
，，
，，，
，，，，，
，
每一行两个整数的和相等，第行的第一个数为，第行有个整数对，则前行的整数对共有，
当时，，
当时，，
则第2021个整数对位于第64行的第5个数为，故选C.
9．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（
）
A．尺
B．尺
C．尺
D．尺
【答案】A
【解析】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：，解得：
所以，所以，即春分时节的日影长为4.5.故选A.
10．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（
）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，即，即，
又，所以数列是以1为首项以2为公差的等差数列.所以，所以，则，
令，则，时，，所以在上单调递增.即是单调递增数列.
所以当时，取得最小值.故选D.
二、多选题
11．记等差数列的前项和为.若，，则（
）
A．
B．
C．的最大值为30
D．的最大值为15
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，则由题可得，解得，
，，
，故A正确；，故B错误；
当或4时，取得最大值为30，故C正确；
由于，所以的最大值为，故D正确.
故选ACD.
12．设等差数列的公差为，前项和为，则的充分条件是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】CD
【解析】因为，，则，因此只要能得出数列从开始均为正的条件都符合题意，必然有，又，因此CD可得．AB不可得出结论．故选CD．
13．设数列的前项和为，，，则（
）
A．是等比数列
B．是单调递增数列
C．是单调递减数列
D．的最大值为12
【答案】CD
【解析】由，得，知是等差数列，不是等比数列，故A错误；
因为是公差的等差数列，所以是单调递减数列，故B错误，C正确；
由得，即，所以当或4时，取得最大值，最大值为，故D正确.
故选CD.
14．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则（
）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和为
【答案】BC
【解析】令，所以，
当时，，所以数列为数列的子数列，
所以，所以的前项为.故选BC.
15．已知数列满足，且，数列的前项和为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为，，
令，则，，所以，故正确，错误；
因为且，同除以，得，
所以，，，
，
所以，
即，故正确，错误．
故选.
16．已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则下列命题正确的是（
）
A．；
B．，，成等差数列
C．是等比数列；
D．，，，，，成等差数列
【答案】BC
【解析】由，，成等差数列，可得，，，所以不正确；
，，，，成等差数列，所以正确；
，所以，所以是等比数列，所以正确；
若，，即，，成等差数列，不妨设，则，，
即，显然左边奇数，右边偶数，不相等，错误；
故选．
17．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（
）
A．数列是公比为的等比数列
B．
C．数列是公比为的等比数列
D．数列的前n项和
【答案】BD
【解析】如图：
由图知，
对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；
对于BC：因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为，故D正确，
故选BD.
三、填空题
18．若数列满足，，则_________，数列的通项公式________．
【答案】
【解析】，，，，
，
，，
.
故答案为：；.
19．在等比数列中，，，，则的公比为______.
【答案】
【解析】设公比为，因为，，即，所以，
又因，所以，解得：或（舍去），故答案为：.
20．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.
【答案】64
【解析】设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.故答案为：64.
21．在数列中，，，，则的值为______．
【答案】1
【解析】，，从而，即数列是以4为周期的数列，又由，，
得，即，，得，，
，故答案为：1．
22．已知数列满足，，则数列的前项的和等于_______．
【答案】
【解析】，，
所以，当时，有；
当时，有，
所以，数列是每项均为的常数列，数列是首项为，公差为的等差数列，
设数列的前项和为，
则，故答案为：.
23．正项数列中，，若，则________．
【答案】9
【解析】，化简得，故数列为等比数列，．故答案为：9.
四、解答题
24．已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列公差为，
①，
，，成等比数列得：,整理得：,
∵，∴②,
由①②解得：，，
（2）由（1）得：,由于为常数,∴数列为公比为的等比数列，
.
25．已知正项数列的前n项和为，，当时，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【解析】（1）由题得，当时，①，
当时，②，
①-②，得，
所以③.
当时，由，得，
整理得，解得或(舍去).
又，符合③式.
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.
（2）由（1）得.
所以.
所以
.
26．在数列中，.等差数列的前两项依次为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【解析】（1）∵a1=b1=1，∴，
则数列{cn}的公差d=6-(-2)=8.
∴数列{cn}的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.
（2）an+1=3an-bn-3n-1，①
bn+1=3bn-an+3n+1，②
①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).
∵a1+b1=2，∴数列{an+bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+bn=2n.
∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，
则2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，
∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，
即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，
∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.
27．设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
【解析】（1）令，则，可得，得；
当时，由可得，
两式相减得，即，
由数列的各项为正，可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
即数列的通项公式为；
（2）由得，则有，
因为
，
因此，.
28．已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
29．已知等差数列的公差为2，其前n项和，.
（1）求实数p的值及数列的通项公式；
（2）在等比数列中，，，若的前n项和为，求证：数列为等比数列.
【解析】（1）
又，，
所以，，即，
所以.
（2）因为，，所以，
所以，所以
所以，
所以，
又，所以
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.
30．已知正项数列的首项，前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式：
（2）设数列前和为，求使得成立的的最大值．
【解析】（1）由①
得②
②-①得，
因为，所以
由此可知…，…是公差为2的等差数列，
其通项公式为；
故时，
（2）方法①：
由（1）可知
要使，即，
由可知数列为递增数列，
由知数列为递减数列，
因为
所以当时，，
当时，
故满足条件的的最大值为4．
方法②：
由（1）可知
要使，有，即；
令，，
由，，可知当时是增函数，当时是减函数
由，，可知时，时，
所以当时，当且时，
所以时，故满足条件的的最大值为4．
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