资源简介

第三章
圆锥曲线的方程
3.2
双曲线
3.2.2
双曲线的简单几何性质
学案
一、学习目标
1.
掌握双曲线的简单几何性质.
2.
能够运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题.
二、基础梳理
双曲线的简单几何性质：
1.
范围：双曲线上点的横坐标的范围是_____________，纵坐标的范围是_____________.
2.
对称性：关于____________对称.________是双曲线的对称轴，________是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的________.
3.
顶点：
________叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；________叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4.
渐近线：_______________.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线.
5.
离心率：________.
三、巩固练习
1.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于(
)
A.
B.
C.4
D.
3.等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为(
)
A.
B.
C.
D.
4.“”是“双曲线的离心率为”的(
)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充分不必要条件
5.若实数k满足，则曲线与曲线的(
)
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
8.过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线l与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，则双曲线C的实轴长为(
)
A.2
B.
C.4
D.
9.双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是__________.
10.已知双曲线的渐近线方程为，且焦距是，则双曲线的方程为_________.
11.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线.
12.已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的大小.
参考答案
基础梳理
或；
x轴、y轴和原点；坐标轴；原点；中心
线段；线段
；等轴
巩固练习
1.答案：C
解析：由题意，选项A，B表示的双曲线的焦点在轴上，故排除A，B；C项表示的双曲线的渐近线方程为，D项表示的双曲线的渐近线方程为.故选C.
2.答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.
3.答案：D
解析：等轴双曲线的一个焦点为，，即双曲线的标准方程为.
4.答案：D
解析：当时，双曲线方程化为标准方程是，其离心率；
当双曲线，即的离心率为时，则，得.
故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.
5.答案：A
解析：因为，所以方程与均表示焦点在x轴上的双曲线.双曲线中，实轴长为10，虚轴长为，焦距为；双曲线中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为.因此两曲线的焦距相等，故选A.
6.答案：D
解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为.由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为.故选D.
7.答案：D
解析：设，根据对称性，知，
所以.
因为在双曲线上，所以，两式相减，得，
所以，所以.
8.答案：B
解析：如图，设双曲线的两条渐近线为，直线l与的交点分别为.
直线过双曲线C的右焦点，且是面积为的正三角形，
，，.
又，且，解得，
则双曲线C的实轴长为.故选B.
9.答案：
解析：由题意可得解得因此，该双曲线的虚轴长为.
10.答案：或
解析：由题意，设双曲线方程为.
若，则.由题设知，所以，故所求双曲线的方程为.
若，则.由，得，故所求双曲线的方程为.
综上，所求双曲线的方程为或.
11.答案：（1）对圆的方程，令，得，
解得，即圆与轴的两个交点分别为.
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点.
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点.
设双曲线的标准方程为，
则，所以，
从而双曲线的标准方程为.
（2）由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以.
由顶点到渐近线的距离为1，得，
所以.
从而双曲线的标准方程为.
（3）设所求双曲线的标准方程为.
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为.
12.答案：（1）由双曲线方程得，
，
焦点坐标分别为，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，
则.

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