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第五章　三角函数
5．1　任意角和弧度制
5．1.1　任意角
【素养目标】
1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)
2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)
3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)
4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　角的概念
角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形．
思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？
提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．
知识点2
　角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
(2)你能说出角的三要素吗？
提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
(2)角的三要素是顶点、始边、终边．
知识点3
　角的分类
类型
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．
(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．
知识点4
　象限角
如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？
提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．
知识点5
　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合！！！　S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？
提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．
基础自测
1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　B　)
A．1　　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
[解析]　正角有126°，99°共2个．
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　A　)
A．120°　　
B．－120°　　　
C．60°　
D．240°
3．(2021·济南外国语期中)下列各角中，与－1
110°的角终边相同的角是(　D　)
A．60°　　　　　　　　　　
B．－60°
C．30°
D．－30°
[解析]　－1
110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是690°.
[解析]　因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是390°、－150°、60°.
[解析]　题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　任意角的概念
例1
下列命题正确的是(　C　)
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
[分析]　角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．
[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
[归纳提升]　关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【对点练习】?
(1)(多选题)下列说法，不正确的是(　ACD　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　B　)
A．60°，720°　　　
B．－60°，－720°
C．－30°，－360°
D．－60°，720°
[解析]　(1)对A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确；对C中钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；对D,0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．
(2)顺时针旋转为负角，×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针、分针转过的角度分别为－60°，－720°.
题型二　终边相同的角
例2　已知α＝－1
845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
[解析]　因为－1
845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1
845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
[归纳提升]　(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．
【对点练习】?
(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是(　B　)
A．－390°
B．－330°
C．330°
D．570°
[解析]　－330°＝－360°＋30°，与30°终边相同．
题型三　终边在给定直线上的角的集合
例3　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
[分析]　先在0°～360°内找到终边在y＝x上的角；再推广到任意角；最后找出－360°≤β<720°内的角．
[解析]　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°。因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
注意解题过程的规范性：
①终边在直线y＝x上注意讨论两种情况．
②
这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合．
[归纳提升]　(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
【对点练习】?
写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
[解析]　S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}．
题型四　区域角的表示
例4　
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析]　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[归纳提升]　1.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
【对点练习】?
如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解析]　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
题型5　象限角的确定
例5　若α是第一象限角，则2α，分别是第几角限角？
[分析]　由α是第一象限角可知k·360°<α[解析]　因为k·360°<α所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．
所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角．
又k·180°<所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<所以是第一象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋180°<所以是第三象限角．故是第一、三象限角．
[归纳提升]　已知α角所在象限，判断nα，(n∈Z)所在象限的方法
(1)若已知角α是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
【对点练习】?
若φ是第二象限角，那么和90°－φ都不是(　B　)
A．第一象限角　　　　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ课堂检测·固双基
1．与－457°角终边相同的角的集合是(　C　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析]　－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．
2．－215°是(　B　)
A．第一象限角　　　　　　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
3．下列各组角中，终边相同的是(　B　)
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3
000°，－840°
4．若角α与β的终边互为反向延长线，则有(　D　)
A．α＝β＋180°
B．α＝β－180°
C．α＝－β
D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
[解析]　角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
5．写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析]　(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．
PAGE
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1
-5．1.2　弧度制
【素养目标】
1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．(数学运算)
2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．(数学运算)
3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　度量角的两种制度
(1)角度制．
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的！！！　为1度角，记作1°.
(2)弧度制
①定义：以弧度为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
③表示方法：1弧度记作1
rad.
思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？
提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点2
　弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
如果半径为r的圆的圆心角α
所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝！！！　.
思考2：(1)建立弧度制的意义是什么？
(2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．
知识点3
　弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°，于是360°＝2π
rad，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝()°，n°＝n·
rad.
(2)常用特殊角的弧度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
！！！　
！！！　
！！！　
！！！　
！！！　
！！！　
π
！！！　
2π
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
思考3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？
(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？
提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．
(2)弧度数＝角度数×；
角度数＝弧度数×()．
知识点4
　弧度制下的弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1
rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为
rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
思考4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？
(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？
提示：(1)①|α|＝；②R＝；
③|α|＝；④R＝.
(2)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于α，R，l，S四个量，可“知二求二”．这实质上是方程思想的应用．
基础自测
1．下列说法中正确的是(　D　)
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
[解析]　利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项
结论
理由
A
错误
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.
B
错误
C
错误
D
正确
2．－300°化为弧度是(　B　)
A．－　　　　　　　　
B．－
C．－
D．－
3．已知半径为10
cm的圆上，有一条弧的长是40
cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是4.
4．如果α＝－2，则α的终边所在的象限为(　C　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　因为－π<－2<－，所以α的终边在第三象限．
5．与60°终边相同的角可表示为(　D　)
A．k·360°＋(k∈Z)
B．2kπ＋60°(k∈Z)
C．2k·360°＋60°(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
[解析]　60°化为弧度制等于，与终边相同的角可表示为2kπ＋(k∈Z)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　角度与弧度的换算及应用
例1
将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.
[解析]　(1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－π；
(3)＝×()°＝105°；
(4)－π＝－π×()°＝－144°.
[归纳提升]　角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，充分利用1°＝rad和1
rad＝()°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数n，则α
rad＝α·()°；n°＝n·.
【对点练习】?
设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝、β2＝－.
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．
[解析]　(1)∵180°＝π
rad，
∴－570°＝－＝－，
∴α1＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
β2＝－＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．
题型二　用弧度制表示给定区域角的集合
例2　用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[分析]　本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界．
[解析]　(1)225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z}．
(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋<α<2kπ＋π＋，k∈Z}＝{α|nπ＋<α[归纳提升]　解答本题时常犯以下三种错误．
(1)弧度与角度混用．
(2)终边在同一条直线上的角未合并．
(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写．
【对点练习】?
用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合
(不包括边界)，如图所示．
[解析]　(1)330°和60°的终边分别对应－和，所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(2)210°和135°的终边分别对应－和，所表示的区域位于－与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
(3)30°＝，210°＝，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋π<θ<2kπ＋，k∈Z}＝{θ|2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋，k∈Z}＝{θ|nπ<θ题型三　弧长公式和扇形面积公式的应用
例3　(2020·东北师大附中单元测试)已知扇形的周长是8
cm，面积为3
cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数(圆心角为正)为！！！　或6.
[解析]　设这个扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为α，由题意得
解得或
∵α是扇形的圆心角的弧度数，∴0<α<2π.
当r＝3，l＝2时，α＝＝，符合题意；
当r＝1，l＝6时，α＝＝＝6，符合题意．
综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为或6.
[归纳提升]　1.运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题．
(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用．
(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多．若角是以“度”为单位的，则必须先将其化成弧度，再计算．
(3)在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式．
①l＝αr，α＝，r＝；
②S＝αr2，α＝.
2．解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值问题即可．
【对点练习】?
(1)一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为(　D　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
(2)(2021·厦门期末)若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　C　)
A．　　　　　　
B．
C．
D．2
[解析]　(1)设扇形的圆心角为θ，半径为r，则解得故扇形的圆心角为.
(2)设圆的直径的2r，则圆内接正方形的边长为r.
∵扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，
∴扇子的弧长等于r，
∴圆心角α(0<α<π)的弧度数为＝.
误区警示
角度和弧度混用致错
例4
　求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一]　　{α|k·360°＋330°<α[错解二]　　{α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．
[错因分析]　　错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．
[正解]　{α|2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z}，也可写成{α|k·360°－30°<α[方法点拨]　同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．
学科素养
数学文化题的功能是传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类问题的关键是理解题意，按照题中的方法解决问题．
例5
　《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4
m的弧田，按照上述经验公式，计算所得弧田面积约是(　B　)
A．6
m2
B．9
m2
C．12
m2
D．15
m2
[解析]　
如图，由题意得∠AOB＝，OA＝4
m，∴在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，∴OD＝AO＝×4＝2(m)，∴矢＝4－2＝2(m)．由AD＝AO·sin＝4×＝2(m)，得弦＝2AD＝2×2＝4(m)，∴弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．故选B．
课堂检测·固双基
1．在不等圆中1
rad的圆心角所对的(　D　)
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
[解析]　根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1
rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．
2．－转化为角度是(　B　)
A．－300°
B．－600°
C．－900°
D．－1
200°
[解析]　∵1
rad＝()°，
∴－＝－(×)°＝－600°.
3．与1°角终边相同的角的集合是(　C　)
A．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋，k∈Z}
C．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
D．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
4．已知扇形面积为π，半径是1，则扇形的圆心角是(　C　)
A．π
B．π
C．π
D．π
[解析]　设扇形圆心角为α，则S＝αR2＝π，∴α＝π.
5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为120平方步．
[解析]　由题意：
S＝·l·(2r)
＝lr＝×20×12＝120.
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10
-5．2　三角函数的概念
5．2.1　三角函数的概念
【素养目标】
1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学建模)
2．理解三角函数的概念．(数学抽象)
3．熟练掌握三角函数值在各象限的符号．(直观想象)
4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算)
5．通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
第1课时　三角函数的概念(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　三角函数的定义(坐标法)
如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
y＝sin
x，x∈R；
余弦函数
y＝cos
x，x∈R；
正切函数
y＝tan
x，x≠＋kπ(k∈Z).
思考1：(1)在初中是如何定义锐角三角函数的？
(2)已知P(a，b)，|OP|＝r，如果改变α终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，，这三个比值会改变吗？为什么？
提示：(1)如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．
在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0，过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，MP的长度为b，则有
sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝.
(2)不会改变．如图，
sin
α＝＝，sin
α＝＝，其中r1＝，r2＝，
又△MOP∽△NOQ，
∴＝，∴＝，
同理可知＝，＝.
因此，，这三个比值不会改变．
知识点2
　三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：
sin
α＝y；cos
α＝x；tan
α＝(x≠0)．
思考2：(1)什么是单位圆？
(2)对确定的锐角α，sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点的位置的改变而改变？
提示：(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆．
(2)不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．(　×　)
(2)sinα，cosα，tanα的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．(　√　)
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　×　)
(4)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－.(　×　)
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α等于(　D　)
A．　　　　　　　　
B．
C．－
D．－
[解析]　r＝＝5，∴cos
α＝＝－，故选D．
3．若角α的终边与单位圆相交于点(，－)，则sinα的值为(　B　)
A．　　
B．－　
　
C．　
D．－1
[解析]　x＝，y＝－，则sinα＝y＝－.
4．已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于.
[解析]　由三角函数的定义，tanα＝＝2，cosα＝＝，∴tanα·cosα＝.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　利用三角函数的定义求三角函数值
例1
(1)已知角α的终边经过点(－，－)，则sinα＝－，cosα＝－，tanα＝
.
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝－.
(3)若角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
[分析]　(1)利用三角函数的定义进行计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解．
[解析]　(1)因为(－)2＋(－)2＝1，
所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义知sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝，
∴P(－，－6)，∴sinα＝－，
∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.
(3)设P(a，a)(a≠0)是其终边上任一点，
则tanα＝＝，r＝＝2|a|，
当a>0时，sinα＝＝，cosα＝＝；
当a<0时，sinα＝＝－，cosα＝＝－.
所以tanα＝，sinα＝，cosα＝或tanα＝，sinα＝－，cosα＝－.
[归纳提升]　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sinα＝，cosα＝.
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【对点练习】?
(1)若角α的终边与单位圆的交点是P(x，)，则sinα＝，cosα＝±，tanα＝±.
(2)已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．
[解析]　(1)依题意，x2＋()2＝1，解得x＝±，于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.
(2)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝＝2.
题型二　三角函数概念的综合应用
例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin
α＋的值．
[解析]　由题意知，cos
α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，
y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sin
α＝＝＝－，＝＝＝，
所以10sin
α＋＝10×(－)＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin
α＝＝＝，＝＝＝－，
所以10sin
α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin
α＋＝0.
[归纳提升]　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
【对点练习】?
已知角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，且tan
θ＝－a，求sin
θ，cos
θ的值．
[解析]　因为角θ的终边在射线y＝－x(a≠0，y<0)上，所以可设P(a，－1)(a≠0)为角θ终边上任意一点，则r＝(a≠0)．
又tan
θ＝－a，所以－＝－a，解得a＝±1.
当a＝1时，r＝，sin
θ＝－，cos
θ＝；
当a＝－1时，r＝，sin
θ＝－，cos
θ＝－.
课堂检测·固双基
1．角α的终边上有一点P(1，－1)，则sinα的值是(　B　)
A．
B．－
C．±
D．1
[解析]　利用三角函数定义知：
sin＝＝＝－.
2．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是(　B　)
A．(，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(，－)
3．已知角α的终边与单位圆的交点为(－，y)(y<0)，则sin
αtan
α＝－.
4．已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos
α＝－，则sin
α＝.
5．利用定义求sin、cos、tan的值．
[解析]　如图所示，在坐标系中画出角π的终边．
设角的终边与单位圆的交点为P，
则有P(－，－)．
∴tan＝＝1，sin＝－，cos＝－.
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1
-第2课时　三角函数的概念(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负.
思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？
(2)三角函数值的符号有简记口诀吗？
提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
(2)有；简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知识点2
　诱导公式(一)
sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
思考2：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．
因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．
基础自测
1．sinπ等于(　A　)
A．　　　
B．　　　　
C．－　
D．－
[解析]　由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin＝sin(4π＋)＝sin＝.
2．若sinα>0，tanα<0，则α为(　B　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．
3．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是(　C　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
[解析]　∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0.
∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.
∴cosB和tanC中必有一个小于0.
即B、C中必有一个钝角，选C．
4．确定下列各三角函数值的符号：
(1)cos
260°；(2)sin(－)；(3)tan.
[解析]　(1)因为260°是第三象限角，所以cos
260°<0.
(2)因为－是第四象限角，所以sin(－)<0.
(3)因为是第三象限角，所以tan>0.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　三角函数在各象限的符号
例1
(1)若cosα>0，sinα<0，则角α的终边在(　D　)
A．第一象限　　　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)确定下列各式的符号：
①sin105°·cos230°；
②sin·tan.
[分析]　先确定角所在象限，进而确定各式的符号．
[解析]　(1)由cosα>0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上．由sinα<0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上．综上可得，角α的终边在第四象限．
(2)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.
②∵<<π，
∴是第二象限角，则sin>0，tan<0.
∴sin·tan<0.
[归纳提升]　(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．
【对点练习】?
(1)判断下列各式的符号：
①sin3·cos4·tan5；
②α是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若cosθ<0且sinθ>0，则是第__象限角．(　C　)
A．一　　　　　　
B．三
C．一或三
D．任意象限角
[解析]　(1)①<3<π，π<4<，<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0.
②∵α是第二象限角，
∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0.
(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是第二象限角，所以是第一或三象限角．
题型二　诱导公式一的应用
例2　计算下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)sin(－π)＋cos·tan6π.
[分析]　→→
[解析]　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin(－4π＋)＋cos(4π＋π)·tan6π＝sin＋cosπ×0＝.
[归纳提升]　诱导公式一的应用思路
1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．
2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．
【对点练习】?
求下列各式的值．
(1)cosπ＋tan(－π)；
(2)sin810°＋tan765°－cos360°.
[解析]　(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.
误区警示
对角的范围限定不准确
例3　已知sin＝，cos＝－，试确定角α是第几象限的角．
[错解]　因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，从而π＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第三或第四象限的角或终边在y轴的非正半轴上．
[错因分析]　错解中扩大了角的取值范围而导致出错．
[正解]　因为sin＝>0，cos＝－<0，所以是第二象限的角，所以＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)．由sin＝<知＋2kπ<<π＋2kπ(k∈Z)，所以＋4kπ<α<2π＋4kπ(k∈Z)，故角α是第四象限的角．
[方法点拨]　在确定α是第几象限的角时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α是第几象限角．
学科素养
分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
例4　设角α的终边不在坐标轴上，求函数y＝＋＋的值域．
[解析]　当α是第一象限角时，sinα，cosα，tanα均为正值，
∴＋＋＝3.
当α是第二象限角时，sinα为正值，cosα，tanα为负值，
∴＋＋＝－1.
当α是第三象限角时，sinα，cosα为负值，tanα为正值，
∴＋＋＝－1.
当α是第四象限角时，sinα，tanα为负值，cosα为正值，
∴＋＋＝－1.
综上可知，函数y的值域为{－1,3}．
[归纳提升]　对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
课堂检测·固双基
1．sin(－π)的值等于(　C　)
A．　　　　　　　　
B．－
C．
D．－
[解析]　sin(－π)＝sin(－4π＋π)＝sinπ＝，故选C．
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则α的终边在(　B　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　因为点P在第三象限，
所以tan
α<0，cos
α<0，所以α为第二象限角．
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则(　C　)
A．sinαtanα>0
B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0
D．sinαcosα<0
[解析]　∵角α的终边过点(－5，－3)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C．
4．计算：cos(－)＋sin·
tan
8π.
[解析]　原式＝cos＋sin·tan(0＋8π)＝cos＋sin·tan
0
＝＋0＝.
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1
-5．2.2　同角三角函数的基本关系式
【素养目标】
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系．(数学抽象)
2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．(数学运算、逻辑推理)
3．通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和创新意识．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中应先利用三角函数定义推导出同角函数基本关系，培养学生观察、分析探究、解决问题能力，提升学生的逻辑推理及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tanα.
2．公式推导
如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，过P作x轴的垂线，交x轴于M，则△OMP是直角三角形，而且OP＝1.
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，
即sin2α＋cos2α＝1.
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tanα.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[注意]　对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1?
tanα＝?
思考：变形公式的应用要注意哪些方面？
提示：(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
基础自测
1．下列四个结论中可能成立的是(　B　)
A．sin
α＝且cos
α＝
B．sin
α＝0且cos
α＝－1
C．tan
α＝1且cos
α＝－1
D．α是第二象限角时，tan
α＝－
[解析]　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin
α＝0且cos
α＝－1，所以B成立，而A，C，D都不成立．
2．化简的结果是(　C　)
A．cos　　　　　　
B．sin
C．－cos
D．－sin
[解析]　＝＝|cosπ|
＝－cos.
3．已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于(　D　)
A．　
　
B．　
　　
C．　
D．
[解析]　因为tanα＝＝＝.故选D．
4．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　D　)
A．　
B．－
C．
D．－
[解析]　因为sinα＝－，且α为第四象限角，所以cosα＝，所以tanα＝－，故选D．
5．化简＝cos80°.
[解析]　原式＝
＝＝＝|cos80°|＝cos80°.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　利用同角基本关系式求值角度1　已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例1
(1)已知sinα＝，求cosα，tanα的值；
(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
[分析]　已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
[解析]　(1)∵sinα＝>0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝＝＝，tanα＝＝；
当α为第二象限角时，cosα＝－，tanα＝－.
(2)∵cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，
∴sinα＝＝＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，
∴sinα＝－＝－＝－，tanα＝＝.
[归纳提升]　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【对点练习】?
已知sinα＝－，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．
[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0，
即cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝(－)×(－)＝.
角度2　利用弦切互化求值
例2　已知＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.
[分析]　所求式子都是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cosα的整数次幂，就把所求式子用tanα表示，因此可先由已知条件求tanα的值，再求各式的值．
[解析]　由＝2，得tanα＝2.
(1)＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝－1.
(2)＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝.
(3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
＝
＝＝.
∵tanα＝2，∴原式＝＝1.
[归纳提升]　已知角α的正切值，求由sinα和cosα构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cosα；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解．
【对点练习】?
已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)sinα＋2cosα；
(2)；
(3)；
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α.
[解析]　(1)tanα＝＝－，
∴cosα＝－2sinα.
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋4sin2α＝1，
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
∵tanα＝－<0，∴α为第二，四象限角
当α为第二象限角时，sinα＝，cosα＝－，
sinα＋2cosα＝－，
当α为第四象限角时，sinα＝－，cosα＝，
sinα＋2cosα＝.
(2)＝＝＝.
(3)
＝
＝＝＝.
(4)2sin2α－sinαcosα＋cos2α
＝＝＝.
题型二　三角代数式的化简
例3　化简下列各式：
(1)；
(2)·.
[分析]　(1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
(2)切化弦，将式子统一成正弦、余弦的表达式，再进一步化简．
[解析]　(1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝±1.
[归纳提升]　三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【对点练习】?
化简下列各式：
(1)；
(2)tanα(其中α是第二象限角)．
[解析]　(1)＝
＝＝＝1.
(2)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.
故tanα＝tanα
＝tanα＝·
＝·＝－1.
题型三　三角恒等式的证明
例4　求证：＝.
[分析]　思路一　→
思路二　→
[解析]　方法一：∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
方法二：∵左边＝＝，
右边＝＝
＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[归纳提升]　利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
【对点练习】?
求证：＝.
[解析]　方法一：因为右边分母为cosα，故可将左边分子分母同乘以cosα.
左边＝＝
＝＝＝右边．
方法二：因为左边分母是1－sinα，故可将右边分子分母同乘以1－sinα.
右边＝＝＝＝＝左边．
方法三：只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原式成立．
BBBB误区警示　　
忽略角的限制条件而致错
例5　已知A为△ABC的内角，且sinA＋cosA＝，求＋的值．
[错解]　由
得或
当sinA＝，cosA＝－时，＋＝5－5＝0；
当sinA＝－，cosA＝时，＋＝－＋＝－.
所以＋的值为0或－.
[错因分析]　题设条件中A为△ABC的内角，隐含了0[正解]　由
得或
因为0所以＋＝5－5＝0.
[方法点拨]　求解三角函数方程组时，经常会用到隐含条件sin2A＋cos2A＝1，这时一般都会求出两组解，此时一定要注意是否有其他(隐含)条件的限制，进而判断是否需要排除某个解．
学科素养
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．
例6　已知sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值．
[解析]　因为sinθ＋cosθ＝(0<θ<π)，
所以(sinθ＋cosθ)2＝，
即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝，
所以sinθcosθ＝－.
由上知，θ为第二象限角，
所以sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ
＝
＝＝.
[归纳提升]　在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ·cosθ，使问题得解．
课堂检测·固双基
1．已知sinα＝－，α为第四象限角，则tanα＝(　C　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　由于α为第四象限角，所以cosα>0，从而cosα＝＝，所以tanα＝＝－，故选C．
2．若α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于(　D　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]　∵tanα＝＝－，
∴cosα＝－sinα.
由sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝，
∵α是第四象限角，
∴sinα<0，∴sinα＝－.
3．已知cosα＝，则sin2α等于(　A　)
A．
B．±
C．
D．±
[解析]　sin2α＝1－cos2α＝.
4．已知tanα＝－，则等于(　A　)
A．
B．－
C．－7
D．7
[解析]　＝＝＝.
5．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.
[解析]　证法一：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2(cosα－sinα)＝1＋2(cosα－sinα)＋(cosα－sinα)2＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．
所以原式成立．
证法二：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα.故左边＝右边．所以原式成立．
证法三：令1－sinα＝x，cosα＝y，则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
故左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．所以原式成立．
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13
-5．3　诱导公式
【素养目标】
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程．(数学抽象)
2．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(数学运算)
3．通过积极参与，逐步培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．(逻辑推理)
【学法解读】
本节在学习中借助单位圆推导出角π±α，－α，±α的终边与角α的终边的关系，由三角函数的定义推导出诱导公式，学生应观察、分析公式的特点，便于记忆应用．
第1课时　诱导公式(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　诱导公式二
思考1：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称(如图)；P1与P也关于原点对称．
知识点2
　诱导公式三
思考2：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称(如图)，P2与P也关于x轴对称．
知识点3
　诱导公式四
思考3：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos
α，sin
α)有怎样的关系？
提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称(如图)，P3与P也关于y轴对称．
基础自测
1．下列说法中，正确的个数是(　B　)
①存在角α，使sin(π＋α)＝sin
α，cos(π－α)＝cos
α.
②当α是第三象限角时，tan(－α)＝tan
α.
③tan(α－π)＝tan
α.
④若α，β满足α＋β＝π，则sin
α＝sin
β且tan
α＝tan
β.
A．1　　
　
B．2　　
　　
C．3　　
D．4
[解析]　由诱导公式易知①③正确，②④错误，故选B．
2．已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　B　)
A．sin(－x)＝sin
x
B．sin(π－x)＝sin
x
C．sin(π＋x)＝sin
x
D．sin(2π－x)＝sin
x
[解析]　因为sin(－x)＝－sin
x，故A不成立；因为sin(π－x)＝sin
x，故B成立；因为sin(π＋x)＝－sin
x，故C不成立；因为sin(2π－x)＝－sin
x，故D不成立．
3．cos
150°＝(　B　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]　cos
150°＝cos(180°－30°)＝－cos
30°＝－.
4．计算sin(－)的值为(　C　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　sin(－)＝－sin＝－，故选C．
5．tan
690°的值为(　A　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　tan
690°＝tan(720°－30°)＝tan(－30°)＝－，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　给角求值问题
例1
求下列各三角函数值：
(1)sinπ；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．
[分析]　用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．
[解析]　(1)sin＝sin(4π＋)＝sin
＝sin(π＋)＝－sin＝－.
(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝.
(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－.
[归纳提升]　利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
【对点练习】?
求下列三角函数值：
(1)sin960°；(2)cos(－)．
[解析]　(1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
(2)cos(－)＝cos＝cos(＋6π)＝cos＝cos(＋π)＝－cos＝－.
题型二　三角函数式的化简问题
例2　化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
(2).
[分析]　先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．
[解析]　(1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα
＝－sinα·(－cosα)·＝sin2α.
(2)原式＝
＝＝1.
[归纳提升]　利用诱导公式一～四化简应注意的问题：
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
【对点练习】?
化简：
(1)；
(2).
[解析]　(1)原式＝
＝＝·＝1.
(2)原式＝
＝
＝
＝－cos2α.
题型三　给值求值问题
例3　(1)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值；
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[分析]　1.－α与＋α、α－存在什么关系？用－α表示其他角．
2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.
[解析]　(1)∵cos(＋α)＝cos[π－(－α)]
＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2[－(－α)]
＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
∴cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－.
(2)∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
[归纳提升]　解决给值求值问题的策略
(1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【对点练习】?
已知sin(－α)＝，求cos2(α－)·sin(＋α)的值．
[解析]　cos2(α－)·sin(＋α)
＝cos2[－(－α)]·sin[π－(－α)]
＝[1－sin2(－α)]·sin(－α)＝×＝.
课堂检测·固双基
1．tan(－)等于(　C　)
A．－　　　　　　　
B．
C．－
D．
2．tan300°＋sin450°的值是(　D　)
A．－1＋
B．1＋
C．－1－
D．1－
[解析]　tan300°＋sin450°＝tan120°＋sin90°＝－＋1，故选D．
3．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　C　)
①sinα＝sinβ；②sinα＝－sinβ；③cosα＝－cosβ；
④cosα＝cosβ；⑤tanα＝－tanβ.
A．1　　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
[解析]　由诱导公式四知①③⑤正确，故选C．
4．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝.
5．化简：·tan(2π－α)＝－1.
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7
-第2课时　诱导公式(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　诱导公式五
思考1：(1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？
(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？
提示：(1)如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称．
(2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)．
知识点2
　诱导公式六
思考2：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin(＋α)＝sin[π－(－α)]
＝sin(－α)＝cosα，
cos(＋α)＝cos[π－(－α)]
＝－cos(－α)＝－sinα.
知识点3
　对诱导公式的理解
1．对诱导公式五、六的两点说明
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式一～六的记忆口诀和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：
思考3：六组诱导公式各有什么作用？
提示：公式一：将角化为0～2π内的角求值；
公式二：将π～π内的角转化为0～内的角求值；
公式三：将负角转化为正角求值；
公式四：将～π内的角转化为0～内的角求值；
公式五、公式六：实现正弦与余弦的相互转化．
基础自测
1．已知sinα＝，则sin(＋α)的值为(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．－
B．－
C．
D．±
[解析]　∵sinα＝，∴cosα＝±，
∴sin(＋α)＝cosα＝±，故选D.
2．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．－
B．－
C．
D．
[解析]　因为sin(π＋α)＝sin(2π＋＋α)＝sin(＋α)＝－cosα，所以cosα＝－，故选B.
3．下列与sin(θ－)的值相等的式子为(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．sin(＋θ)
B．cos(＋θ)
C．cos(－θ)
D．sin(＋θ)
[解析]　sin(θ－)＝－sin(－θ)＝－cosθ.对于A，sin(＋θ)＝cosθ；对于B，cos(＋θ)＝－sinθ；对于C，cos(－θ)＝cos[π＋(－θ)]＝－cos(－θ)＝－sinθ；对于D，sin(＋θ)＝sin[π＋(＋θ)]＝－sin(＋θ)＝－cosθ.故选D.
4．化简：1＋cos(＋α)·sin(－α)·tan(π＋α)＝！！！
cos2α
###.
[解析]　原式＝1－sinα·cosα·tanα＝1－sin2α＝cos2α.
5．化简：＝！！！
－sinα
###.
[解析]　∵π－α＝π＋－α，π＋α＝π＋＋α，
∴原式＝＝－sinα.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　利用诱导公式进行化简、求值
例1
计算：
(1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
(2).
[分析]　利用诱导公式，先化简再求值．
[解析]　(1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝－1＋1－＋＝.
(2)原式＝
＝＝
＝＝＝.
[归纳提升]　利用诱导公式化简三角函数式的步骤
用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】?
.
[解析]　原式
＝
＝＝＝.
题型二　三角恒等式的证明
例2　求证：
＝.
[分析]　
.
[证明]　左边＝
＝
＝
＝＝＝.
右边＝＝＝.
∴左边＝右边，故原式得证．
[归纳提升]　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
【对点练习】?
求证：
＝－1.
[证明]　左边＝
＝＝＝－1＝右边，
故原式得证．
题型三　诱导公式的综合运用
例3　若α的终边与单位圆交于点P(m，)，且α为第二象限角，试求的值．
[解析]　由题意知m2＋()2＝1，
解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m<0，
所以m＝－，
所以sinα＝，cosα＝－.
原式＝
＝＝－.
[归纳提升]　用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
【对点练习】?
已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点(m，)．
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
[解析]　(1)由题得m2＋()2＝1，所以m＝±，
因为角α的终边在第二象限，所以m＝－.
所以tanα＝＝－2.
(2)＝
＝＝＝－.
误区警示
对诱导公式理解不透彻而致错
例4　已知sin(x＋)＝，则sin(－x)＋sin2(－x)＝！！！　　###.
[错解]　∵sin(x＋)＝，
∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，
∴sin(－x)＋sin2(－x)
＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]
＝－sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]
＝－＋[1－()2]＝.
[错因分析]　在利用诱导公式sin(π－α)时，没能正确利用“符号看象限”来判断符号．
[正解]　∵sin(x＋)＝，
∴cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝sin(x＋)＝，
∴sin(－x)＋sin2(－x)
＝sin[π－(x＋)]＋[1－cos2(－x)]
＝sin(x＋)＋[1－cos2(－x)]
＝＋[1－()2]＝.
[方法点拨]　利用诱导公式解题时，只有在利用诱导公式时才视公式中的角为锐角，变换前后原来是什么角就是什么角．
学科素养
分类讨论思想在三角函数化简中的应用
例5　化简：sin＋cos(n∈Z)．
[分析]　(1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．
[解析]　当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，
则原式＝sin＋cos
＝sin[2kπ＋(－－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]
＝sin(－－α)＋cos(－α)
＝－sin(＋α)＋cos[－(＋α)]
＝－sin(＋α)＋sin(＋α)＝0.
当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，
则原式＝sin＋cos
＝sin[2kπ＋(－α)]＋cos[2kπ＋(－α)]
＝sin(－α)＋cos(－α)
＝sin[π－(＋α)]＋cos[π＋(－α)]
＝sin(＋α)－cos(－α)
＝sin(＋α)－cos[－(＋α)]
＝sin(＋α)－sin(＋α)＝0.
故sin(π－α)＋cos(π－α)＝0.
[归纳提升]　1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
课堂检测·固双基
1．若cos65°＝a，则sin25°的值是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．－a
B．a
C．
D．－
[解析]　sin
25°＝sin(90°－65°)＝cos
65°＝a.
2．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析]　因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
3．已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A.
B．－
C．±
D．
[解析]　∵cos＝－，
∴－sinα＝－，∴sinα＝，
又α是第二象限角，∴cosα＝－，
∴sin＝cosα＝－.
4．若α∈(π，)，则＝(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．sinα
B．－sinα
C．cosα
D．－cosα
[解析]　∵α∈(π，π)，
∴sinα<0，
∴＝＝－sinα.
5．(2020·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．－
B．－
C．－
D．－4
[解析]　∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，
∴由三角函数的定义知sinα＝，
cosα＝.
∵
＝＝＝－.
∴选A.
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