资源简介

5．4　三角函数图象与性质
5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【素养目标】
1．了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法．(数学抽象)
2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线．(直观想象)
3．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．(逻辑推理)
4．通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．(逻辑推理)
【学法解读】
本节学习中，学生首先回顾三角函数的定义，再利用单位圆作出正弦函数的图象，从而得出“五点法”，培养学生的直观想象.
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫！！！
正弦曲线
###.
思考1：作正弦函数的图象时，函数自变量(x)应使用什么作单位？为什么？
提示：作正弦函数的图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．
知识点2
　正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)“五点法”：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的！！！
五个关键点
###(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
思考2：观察上图，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，将y＝sinx在[0,2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．
知识点3
　余弦曲线
余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．
思考3：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
提示：诱导公式　左右平移
知识点4
　余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin(x＋)．
(2)用“五点法”：画余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考4：正弦曲线和余弦曲线有怎样的关系？
提示：
基础自测
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．过原点
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
2．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图象来看，满足cosx＝的x有(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．1个值
B．2个值
C．3个值
D．4个值
3．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．(，)
B．(，1)
C．(π，0)
D．(2π，0)
4．已知正弦函数过点(，m)，则m的值为(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．　　　
B．－　　　
C．　　　
D．1
5．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．　
　　
B．π
C．　
　　
D．2π
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　用“五点法”作三角函数的图象
例1
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[分析]　先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
[解析]　(1)列表
x
0
π
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
[归纳提升]　用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
π
2π
sinx或cosx
0或1
1或0
0或－1
－1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
【对点练习】?
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1.
[解析]　(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2－sinx
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
cosx－1
0
－1
－2
－1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
题型二　利用图象平移作三角函数的图象
例2　利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[分析]　先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．
[解析]　(1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
[归纳提升]　1.平移变换
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．
(2)函数y＝f(x)＋b的图象是由函数y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的．
2．对称变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左边得到．
(3)函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(4)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(5)函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
【对点练习】?
函数y＝cosx|tanx|(0≤x<，且x≠)的图象是(＋＋＋＋　D　－－－－)
[解析]　将函数写成分段函数可得
y＝
观察选项可知选D.
误区警示
利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数
例3　方程sinx＝lgx的实根个数有(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个
[错解]　如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A.
[错因分析]　作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
[正解]　在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．
[方法点拨]　有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．
学科素养
利用正、余弦函数的图象解不等式
例4　利用正弦曲线，求满足[分析]　作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解．
[解析]　首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以{x|＋2kπ[归纳提升]　用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
课堂检测·固双基
1．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．(π，－1)
B．(0,2)
C．(，3)
D．(π，3)
2．函数y＝－sinx，x∈[－，]的简图是(＋＋＋＋　D　－－－－)
[解析]　用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin0＝0，排除选项A、C；又x＝－时，y＝－sin(－)＝1，排除选项B.
3．(2020·广州海珠区期中)函数y＝的定义域为(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．[0，π]
B．{第一或第二象限的角}
C．{x|2kπD．(0，π)
[解析]　要使函数y＝有意义，则需sinx>0，由y＝sinx的图象可得{x|2kπ4．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析]　如图所示，y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝－的图象有2个交点．
5．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．
[解析]　利用“五点法”作图．
(1)列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
－sinx
0
－1
0
1
0
描点作图，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
1＋cosx
2
1
0
1
2
描点作图，如图．
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1
-5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质
【素养目标】
1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)
2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)
3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)
4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)
5．让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．
第1课时　正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　函数的周期
(1)！！！
周期函数
###：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)！！！
最小正周期
###：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
知识点2
　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
思考2：(1)正弦曲线对称吗？
(2)余弦曲线对称吗？
提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
基础自测
1．下列函数中，周期为的是(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．y＝sin
B．y＝sin2x
C．y＝cos
D．y＝cos4x
[解析]　A项中，sin＝sin＝sin，故T＝4π；B项中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；
C项中，cos＝cos＝cos，故T＝8π；
D项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋)]＝cos4x，故T＝，综上，D项正确．
2．函数y＝sin2x的奇偶性为(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数y＝－sin2x，x∈R是(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
[解析]　函数y＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为！！！
3
###的周期函数．
5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝！！！
f(x)
###.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　三角函数的周期例1
求下列函数的周期：
(1)y＝sinx；(2)y＝2sin；(3)y＝|cosx|，x∈R.
[分析]　可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝直接求解．
[解析]　(1)解法1：令u＝x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.
∴sin＝sinx，
即sin＝sinx.
∴y＝sinx的周期是4π.
解法2：(公式法)∵ω＝，∴T＝＝4π.
(2)解法1：∵2sin＝2sin，
∴2sin＝2sin，
∴y＝2sin的周期是6π.
解法2：∵ω＝，∴T＝＝6π.
(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.
[归纳提升]　求三角函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
【对点练习】?
求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sinx|；
(3)y＝sin.
[解析]　(1)∵ω＝3，T＝.
(2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
(3)∵ω＝，∴T＝＝π2.
题型二　三角函数奇偶性的判断
例2　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝.
[分析]　先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．
[解析]　(1)函数的定义域为R.
∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝sin＝－cos，x∈R.
∵f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
∴函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)函数应满足1＋sinx≠0，
则函数f(x)＝的定义域为
{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}．
显然定义域不关于原点对称，
故函数f(x)＝为非奇非偶函数．
[归纳提升]　1.判断函数奇偶性的常用方法：
(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．
(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．
(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．
2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．
【对点练习】?
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos(＋2x)·cos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋.
[解析]　(1)函数的定义域为R，
由f(x)＝cos(＋2x)·cos(π＋x)
＝－sin2x·(－cosx)＝sin2x·cosx
f(－x)＝sin(－2x)·cos(－x)＝－sin2x·cosx
所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
题型三　三角函数奇偶性与周期性的综合运用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，求f()的值．
[分析]　利用周期性与奇偶性将化到[0，]内再求值．
[解析]　∵f(x)的最小正周期为π，
∴f()＝f(＋π)＝f()＝f(π－)＝f(－)．
又f(x)是偶函数．
∴f(－)＝f()＝sin＝.
[归纳提升]　1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
【对点练习】?
若f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－)的值．
[解析]　∵f(x)为以为周期的奇函数，
∴f(－π)＝－f(π)＝－f(＋)＝－f()＝－1.
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝xsin是(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
[解析]　函数f(x)＝xsin＝xcosx，
∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．
2．下列函数中，最小正周期为4π的是(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin
D．y＝cos2x
[解析]　A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，故C项符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝＝π，故D项不符合题意．故选C.
3．函数y＝cos2x的图象(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．关于直线x＝－对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　函数的对称轴满足2x＝kπ，k∈Z.
所以x＝π，k∈Z，取k＝－1得B选项，选B.
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝！！！
2
###.
[解析]　f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
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7
-第2课时　正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　正弦、余弦函数的最值
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的！！！
定义域
###都是实数集R，！！！
值域
###都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2
　正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cosx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
思考2：(1)正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知：
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.
基础自测
1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．[0，π]
B．[，]
C．[－，]
D．[π，2π]
2．下列函数中在上是增函数的是(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
[解析]　y＝sinx在上是减函数，不满足条件．y＝cosx在上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在上是增函数，满足条件．故选D.
3．函数y＝3sin的一个单调递减区间为(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．
B．
C．
D．
[解析]　y＝3sin＝－3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B.
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为！！！　2kπ－(k∈Z)　###.
[解析]　∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－(k∈Z)．
5．函数y＝sinx(≤x≤)的值域为！！！　[－，1]　###.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　三角函数的单调区间
例1
求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos(2x＋)；
(2)y＝3sin(－3x)．
[分析]　(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
[解析]　(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)y＝3sin(－3x)＝－3sin(3x－)．
令z＝3x－，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．
∴－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.
即－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以原函数的单调减区间为[－＋，＋]，k∈Z.
[归纳提升]　单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
提醒：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sinx的单调区间来解决．当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sinx的单调性的关系．
【对点练习】?
求下列函数的单调区间：
(1)函数y＝sin(x＋)的单调增区间；
(2)函数y＝3sin(－2x)的单调减区间．
[解析]　(1)∵函数y＝sinx在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ时，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴函数y＝sin(x＋)的单调增区间为：[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
(2)令u＝－2x，则u是x的减函数．
∵y＝sinu在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上为增函数，
由－＋2kπ≤－2x≤＋2kπ，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴原函数y＝3sin(－2x)的单调减区间为：[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二　三角函数单调性的应用
例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)cos，cos.
(2)cos1，sin1.
(3)sin164°与cos110°.
[解析]　(1)cos＝cos，cos＝cos，因为0<<<π，则y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos.
(2)因为cos1＝sin(－1)，而0<－1<1<且y＝sinx在[0，]上单调递增，
所以sin(－1)(3)sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，
cos110°＝cos(90°＋20°)＝－sin20°.
因为sin16°>0，－sin20°<0，所以－sin20°即cos11°[归纳提升]　三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－，]或[，]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
【对点练习】?
(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．sinαB．cosαC．cosαD．cosα>cosβ
(2)将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为！！！
cos150°###.
[解析]　(1)由题意可知0<α<，0<β<，且α＋β>，所以β>－α，且0<－α<.
∵y＝sinx在[0，]上为单调递增函数，∴sinβ>sin(－α)，即sinβ>cosα.故选B.
(2)cos150°<0，sin470°＝sin110°＝cos20°>0，cos760°＝cos40°>0，且cos20°>cos40°，所以cos150°题型三　正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题
例3　已知函数f(x)＝asin(2x－)＋b(a>0)．当x∈[0，]时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
[分析]　可先由x的范围，求出2x－的范围，再将2x＋看作整体求出sin(2x－)的范围．
[解析]　因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，
因为a>0，所以f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
[归纳提升]　求y＝sin(ωx＋φ)型三角函数的值域的方法
令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．
【对点练习】?
求y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域．
[解析]　由y＝cos(x＋)，x∈[0，]可得x＋∈[，]，
因为函数y＝cosx在区间[，]上单调递减，所以函数的值域为[－，]．
误区警示
忽略函数的定义域而致错
例4　已知定义在[0，π]上的函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
[错解]　∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是[－＋2kπ，－＋2kπ]，k∈Z.
[错因分析]　造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．
[正解]　∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[，π]．
[方法点拨]　解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．
学科素养
与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
例5　(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
①y＝2sinx－1；
②y＝－sin2x＋sinx＋.
(2)求下列函数的值域：
①y＝2sin(2x－)，x∈[，]；
②y＝.
[分析]　(1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
[解析]　(1)①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
②y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
(2)①∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x－∈[，]，
由y＝sint的图象(如图所示)可得sin(2x－)∈[－，1]，
则2sin(2x－)∈[－1,2]，
即y＝2sin(2x－)，x∈[，]的值域为[－1,2]．
②方法一：y＝＝＝1－.
当sinx＝1时，ymax＝－，
由题易得该函数的值域为(－∞，－]．
方法二：由y＝，得(sinx＋1)y＝sinx－2，
即(1－y)sinx＝y＋2，显然y≠1，∴sinx＝.
∵－1课堂检测·固双基
1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,1]
D．[0,2]
2．下列关系式中正确的是(＋＋＋＋　C　－－－－)
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°[解析]　cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.
3．函数y＝sin2x的单调减区间是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．(k∈Z)
B.(k∈Z)
C．(k∈Z)
D.(k∈Z)
[解析]　由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z得
kπ＋≤x≤kπ＋π，
∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
4．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是！！！　[－，]　###.
[解析]　0≤x≤，≤x＋≤，－≤cos(x＋)≤，所以函数的值域为[－，]．
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为！！！
[2,10]
###.
[解析]　令t＝cosx，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
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10
-5．4.3　正切函数的性质与图象
【素养目标】
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(数学抽象)
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(逻辑推理)
3．通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精神和创新思维．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，利用诱导公式推导正切函数的周期性及奇偶性，再利用单位圆作出正切函数y＝tanx，x∈(－，)的图象，进而研究其单调性，培养学生的直观想象、逻辑推理的能力．
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做！！！
正切曲线
###.
(2)性质：如下表所示.
函数性质　　　　
y＝tanx
定义域
值域
R
周期
！！！　π　###
奇偶性
！！！
奇函数
###
单调性
增区间
！！！　(k∈Z)　###
减区间
无
[拓展](1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝.
思考：(1)正切函数的图象有怎样的特征？
(2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？
提示：(1)①图象关于原点对称；
②图象在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸；
③图象被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交．
(2)不正确．正切函数在定义域内不具备单调性，但在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)内是增函数．
基础自测
1．下列说法正确的个数是(＋＋＋＋　A　－－－－)
①正切函数的定义域和值域都是R；
②正切函数在其定义域内是单调递增函数；
③函数y＝|tanx|与y＝tanx的周期相等，都是π；
④函数y＝tanx的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　①②④错误，③正确，故选A.
2．函数y＝2tan的最小正周期是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
3．函数f(x)＝sinxtanx是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
4．与函数y＝tan(2x＋)的图象不相交的一条直线是(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
[解析]　∵2x＋≠＋kπ，(k∈Z)，
∴x≠＋(k∈Z)，故选D.
5．比较大小：tan(－)！！！
<
###tan(－)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　正切函数的定义域、值域问题
例1
(1)若y＝tan(2x－)，则该函数定义域为
！！！　{x|x≠＋，k∈Z}　###；
(2)函数y＝tan(＋)，x∈(0，]的值域是！！！　(1，]　###.
[分析]　(1)由2x－≠＋kπ(k∈Z)，即可求出结果．(2)根据x∈(0，]，求解＋的范围，结合正切函数的性质可得值域．
[解析]　(1)因为y＝tan(2x－)，所以2x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋，k∈Z，
所以该函数定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
(2)因为x∈(0，]，所以＋∈(，]．
结合正切函数的性质可得：1[归纳提升]　求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
【对点练习】?
(1)函数f(x)＝tan2x在[－，]上的最大值与最小值的差为(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．2
B．
C．2
D．
(2)函数y＝tan2x－2tanx(|x|≤)的值域为！！！　[－1,3＋2]　###.
[解析]　(1)函数f(x)＝tan2x在[－，]上单调递增，可得f(x)max＝tan(2×)＝；
可得f(x)min＝tan(－2×)＝－；
所以最大值与最小值的差为2.
(2)令u＝tanx，∵|x|≤，
∴由正切函数的图象知u∈[－，]，
∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，
∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，
∴当u＝1时，ymin＝－1，
当u＝－时，ymax＝3＋2，
∴原函数的值域为[－1,3＋2]．
题型二　正切函数的单调性及应用
例2　(1)求函数y＝tan(x－)的单调区间．
(2)比较tan(－)与tan(－)的大小．
[分析]　(1)利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间．(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小．
[解析]　(1)由kπ－(2)由于tan(－)＝tan(－4π＋)＝tan＝－tan，tan(－)＝－tan(2π＋)＝－tan，又0<<<，而y＝tanx在(0，)上单调递增，所以tan－tan，
即tan(－)>tan(－)．
[归纳提升]　1.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
【对点练习】?
(1)比较tan1，tan2，tan3的大小；
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
[解析]　(1)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．
又因为<2<π，所以－<2－π<0.
因为<3<π，所以－<3－π<0.
显然－<2－π<3－π<1<，
又y＝tanx在(－，)内是单调递增的，
所以tan(2－π)(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ得，
－＋所以y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)．
题型三　正切函数的周期性与奇偶性
例3　(1)求函数f(x)＝tan(3x－)的最小正周期；
(2)已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋2，若f(3)＝－1，求f(－3)的值．
[分析]　(1)根据正切函数最小正周期求解；(2)根据函数y＝asinx＋btanx是奇函数求解．
[解析]　(1)因为tan(3x－)＝tan(3x－＋π)，
即tan[3(x＋)－]＝tan(3x－)．
因此f(x＋)＝f(x)，故函数的最小正周期为T＝.
(2)令g(x)＝asinx＋btanx，则f(x)＝g(x)＋2.
因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asinx＋btanx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3，
则g(－3)＝3.
故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5.
[归纳提升]　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性：
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求与正切函数有关函数的周期．
(2)函数y＝tanx是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y＝tan(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝(k∈Z)．
【对点练习】?
(1)函数f(x)＝(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝！！！
±2
###.
误区警示
错用正切函数的对称中心
例4　下列是函数f(x)＝2tan(3x＋)＋1图象的一个对称中心的是！！！
③④
###.
①(，0)；②(－，0)；③(，1)；④(－，1)．
[错解]　令3x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)．
所以当k＝0时，x＝－.
因为f(x)＝2tan(3x＋)＋1的图象是由f(x)＝2tan(3x＋)的图象向上平移1个单位长度得到的，
所以函数f(x)＝2tan(3x＋)＋1的图象的一个对称中心可以是(－，1)，故填④.
[错因分析]　误把正切函数的对称中心认为只有(kπ，0)(k∈Z)．
[正解]　令3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)．
所以当k＝0时，x＝－.
因为f(x)＝2tan(3x＋)＋1的图象是由f(x)＝2tan(3x＋)的图象向上平移1个单位长度得到的，
所以函数f(x)＝2tan(3x＋)＋1的图象的一个对称中心可以是(－，1)．
同理，当k＝1时，x＝，从而得另一个对称中心可以是(，1)，故填③④.
[方法点拨]　正切函数图象的对称中心为(k∈Z)．
学科素养
数形结合思想—利用图象解三角不等式
例5　观察正切曲线，解不等式tanx>1.
[分析]　先确定在一个周期内的x值的范围，再写出不等式的解集．
[解析]　函数y＝tanx在区间内的图象如图所示．
作直线y＝1，则在内，当tanx>1时，有则tanx>1的解集是
.
[归纳提升]　解形如tanx>a的不等式的步骤
―→
↓
―→
↓
―→
↓
―→
课堂检测·固双基
1．(2020·福建龙岩期中)函数y＝tan(x＋)的定义域是(＋＋＋＋　A　－－－－)
A．{x∈R|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x∈R|x≠kπ－，k∈Z}
C．{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}
D．{x∈R|x≠2kπ－，k∈Z}
[解析]　由正切函数的定义域可得，x＋≠＋kπ，k∈Z，
∴x≠＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}．
2．下列各式中正确的是(＋＋＋＋　D　－－－－)
A．tan735°>tan800°
B．tan1>－tan2
C．tanD．tan[解析]　tan＝tan(π＋)＝tan.
因为0<<<，y＝tanx在(0，)上是增函数，所以tan3．函数y＝2tan的最小正周期是(＋＋＋＋　B　－－－－)
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝tan(－x)(x∈[－，]，且x≠0)的值域为！！！
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
###.
5．(1)求f(x)＝tan(2x＋)的周期；
(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．
[解析]　(1)方法一：因为tan(2x＋＋π)＝tan(2x＋)，
即tan[2(x＋)＋]＝tan(2x＋)，
所以f(x)＝tan(2x＋)的周期是.
方法二：由T＝得，周期为.
(2)定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，
因为f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．
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