2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.5-5.7学案含解析(8份打包)新人教A版必修第一册

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2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.5-5.7学案含解析(8份打包)新人教A版必修第一册

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5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
【素养目标】
1.能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式.(逻辑推理)
2.准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式进行三角变换.(数学运算)
3.能用公式求值,求角,化简.(数学运算)
4.能用公式证明三角恒等式.(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中,利用单位圆推导两角差的余弦公式,再借助两角差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式.学生应熟练利用公式进行求值、化简,培养学生的逻辑推理及数学运算的素养.
第1课时 两角差的余弦公式
必备知识·探新知
基础知识
知识点
 两角差的余弦公式
公式:!!!
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β
###.
(1)简记符号:C(α-β)
(2)适用条件:公式中的角α,β都是!!!
任意角
###.
思考:(1)公式写成cos(α-β)=cosα+sinβ或cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ可以吗?
(2)公式的结构特征是怎样的?
(3)公式中的角α,β可以为几个角的组合吗?
提示:(1)不可以.
(2)左端为两角差的余弦,右端为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.
(3)可以.公式中α,β都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合.
基础自测
1.下列说法正确的个数是(++++ B ----)
①对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cosα-cosβ.
②对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cosα-cosβ.
③存在角α,β,使得cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
④当α,β为锐角时,必有cos(α-β)>cosαcosβ.
A.1  
  B.2     C.3  
  D.4
[解析] ①②错误,③④正确,故选B.
2.cos(30°-45°)等于(++++ D ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=×+×=.
3.cos45°cos15°+sin45°sin15°=(++++ B ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] 原式=cos(45°-15°)=cos30°=.
4.cos43°cos13°+sin43°sin13°的值为(++++ C ----)
A.
B.-
C.
D.-
[解析] 原式=cos(43°-13°)=cos30°=.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值例1
(1)求值:cos15°=!!!  ###;
(2)求值:sin7°cos23°+sin83°cos67°=!!!  ###;
(3)计算:cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=!!!  ###.
[分析] 尝试逆用公式求解,非特殊角转化为特殊角的差,然后正用C(α-β)进行求值.
[解析] (1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=×+×=.
(2)原式=cos83°cos23°+sin83°sin23°=cos(83°-23°)=cos60°=.
(3)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=.
[归纳提升] 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征,切忌死记.
(2)在逆用公式解题时,还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
【对点练习】?
求下列各式的值.
(1)cos40°cos20°-sin40°sin20°;
(2)cosπcosπ+sinπsinπ.
[解析] (1)原式=cos(40°+20°)=cos60°=.
(2)原式=cos(2π+)cos(2π-)+sin(π-)sin(π-)
=coscos+sinsin=cos(-)
=cos=.
题型二 给值求值
例2 (1)已知sinα=-,sinβ=,且180°<α<270°,90°<β<180°,则cos(α-β)=!!!  ###;
(2)已知sin(α+)=,且<α<,求cosα的值.
[分析] (1)求出cosα,cosβ,利用公式进行求解;
(2)利用cosα=cos(α+-)进行凑角.
[解析] (1)∵180°<α<270°,∴cosα=-;
又∵90°<β<180°,∴cosβ=-;
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=(-)×(-)+(-)×=.
(2)∵<α<,∴<α+<π,
∴cos(α+)=-,
cosα=cos[(α+)-]
=cos(α+)·cos+sin(α+)sin
=-×+×=.
[归纳提升] (1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.其解题策略有:
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.
【对点练习】?
已知sin
α=,α∈(,π),cos
β=-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
[解析] 由sinα=,α∈(,π),得
cosα=-=-=-.
又由cosβ=-,β是第三象限角,得
sinβ=-=-=-.
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×(-)+×(-)=-.
题型三 给值求角
例3 (1)已知α为三角形的内角且cosα+sinα=,则α=!!! π ###;
(2)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈(,π),α+β∈(,2π),求角β的值.
[分析] (1)由公式可求出cos(α-)的值,再根据α的范围确定α-的值.
(2)由条件可发现角与角之间的关系:2β=(α+β)-(α-β),所以应先求出2β的值,再求β的值.
[解析] (1)∵cosα+sinα=cos(α-)=.
又∵0<α<π,∴-<α-<,
∴α-=,∴α=π.
(2)由α-β∈(,π),且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=.
由α+β∈(,2π),且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-.
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=-×+(-)×=-1.
又因为α+β∈(,2π),α-β∈(,π),所以2β∈(,).所以2β=π,所以β=.
[归纳提升] 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
【对点练习】?
已知sin(π-α)=,cos(α-β)=,0<β<α<,求β的大小.
[解析] ∵sin(π-α)=sinα=,0∴cosα=,
又∵0<β<α<,∴0<α-β<,
又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.
∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×==.
又∵0<β<,∴β=.
课堂检测·固双基
1.cos
20°=(++++ B ----)
A.cos
30°cos
10°-sin
30°sin
10°
B.cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°
C.sin
30°cos
10°-sin
10°cos
30°
D.cos
30°cos10°-sin
30°cos
10°
[解析] cos
20°=cos(30°-10°)
=cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°,故选B.
2.cos(α-85°)cos(35°+α)+sin(α-85°)sin(35°+α)的值为(++++ A ----)
A.-
  
B.  
C.  
D.-
[解析] 原式=cos[(α-85°)-(35°+α)]
=cos(-120°)=cos
120°=-cos
60°=-,故选A.
3.已知sin
α=,α∈(,π),则sin(+α)=!!!  ###.
[解析] sin(+α)=cos(-α)
=coscos
α+sinsin
α=.
4.sin(α-β)sinα+cos(α-β)cosα=!!!
cosβ
###.
[解析] 原式=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cosβ.
5.已知sin(+α)=,α∈(π,),求sin(+α)的值.
[解析] ∵sin(+α)=-cosα=,∴cosα=-.
又α∈(π,),∴sinα=-,
∴sin(+α)=cos[-(+α)]=cos(-α)
=cos·cosα+sin·sinα
=×(-)+×(-)=-.
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5
-第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
 两角和的余弦公式
简记符号
公式
使用条件
C(α+β)
cos(α+β)=!!!
cosαcosβ-sinαsinβ
###
α,β∈R
思考1:(1)你能说出公式C(α+β)的特点吗?
(2)如何识记两角和与差的余弦公式?
提示:(1)公式左端为两角和的余弦,右端为角α,β的同名三角函数积的差,即和角余弦等于同名积之差.
(2)可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.
知识点2
 两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
!!!
S(α+β)
###
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
α,β∈R
两角差的正弦公式
!!!
S(α-β)
###
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
α,β∈R
思考2:如何记忆公式S(α+β),S(α-β)?
提示:记忆口诀:正余余正,符号相同.正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
基础自测
1.下列说法中正确的个数是(++++ B ----)
①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ对于任意角α,β均成立.
②不存在角α,β,使得sin(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
③sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.
A.0    
B.1    
C.2    
D.3
[解析] ①正确,②③错误,故选B.
2.sin(30°+45°)=!!!  ###.
[解析] sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°·sin45°=×+×=.
3.cos55°cos5°-sin55°sin5°=!!!  ###.
[解析] 原式=cos(55°+5°)=cos60°=.
4.sin70°sin65°-sin20°sin25°=!!!  ###.
[解析] 原式=sin70°cos25°-cos70°sin25°
=sin(70°-25°)=sin45°=.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 公式的正用与逆用
例1
求值:
(1)sin20°cos40°+cos20°sin40°=!!!  ###;
(2)sin15°+sin75°=!!!  ###;
(3)已知α,β为锐角,且sinα=,sinβ=,则
sin(α+β)的值为!!!  ###,sin(α-β)的值为!!!  ###.
[解析] (1)sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin(20°+40°)=sin60°=.
(2)sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=sin45°cos30°-cos45°·sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30°=2sin45°cos30°=.
(3)∵α,β都是锐角,且sinα=,sinβ=,
∴cosα===,
cosβ===.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×=.
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×-×=.
[归纳提升] 探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.
【对点练习】?
求下列各式的值:
(1)sin347°cos148°+sin77°cos58°;
(2)sin+cos.
[解析] (1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°)
=sin13°cos32°+cos13°sin32°
=sin(13°+32°)=sin45°=.
(2)原式=2
=2
=2sin=2sin=.
题型二 给值求值
例2 (1)已知α为锐角,sinα=,β是第四象限角,cosβ=,则sin(α+β)=!!!
0
###;
(2)已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值.
[分析] (1)先求出cosα,sinβ的值,再代入公式S(α+β).
(2)由α、β的范围,确定α-β,α+β的范围,求出sin(α-β)、cos(α+β)的值,再由2α=(α-β)+(α+β)变形求值.
[解析] (1)∵α为锐角,sinα=,∴cosα=.
∵β为第四象限角,cosβ=,∴sinβ=-,
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=×+×(-)=0.
(2)因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<π.
又cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)===,
cos(α+β)=-=-=-.
所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×(-)+×(-)=-.
[归纳提升] (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【对点练习】?
(1)已知sinα=,α∈(,π),求sin(-α)的值;
(2)若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,求cos(α+).
[解析] (1)因为sinα=,α∈(,π),所以cosα=-=-=-.
所以sin(-α)=sincosα-cossinα
=×(-)-×=-.
(2)∵0<α<,∴<+α<π,
∴sin(+α)=,
∵-<β<0,∴<-<,
∴sin(-)=.
cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×+×=.
题型三 给值求角
例3 已知sinα=,sinβ=,且α、β为锐角,求α+β的值.
[解析] ∵α、β为锐角,sinα=,sinβ=,
∴cosα==,cosβ==,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×-×=,
∵α、β为锐角,
∴0°<α+β<180°,
∴α+β=45°.
[归纳提升] (1)本题型本质上仍等同于给值求值问题,但需要根据所给条件,选择某种适当的三角函数,求出所求角的三角函数值.在选择函数时应尽量避免一值多角的情况,所以若角的范围是(0,),(π,),则选正弦函数、余弦函数皆可;若角的范围是(-,),则最好选正弦函数;若角的范围是(0,π),则最好选余弦函数.
(2)使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)时,不要将cos(α+β)和sin(α+β)展开,而应采用整体思想,作如下变形:
sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα.
【对点练习】?
已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈(0,),求β的值.
[解析] ∵α,β∈(0,),∴0<α+β<π,
sinα==,sin(α+β)==.
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-×+×=,
∴β=.
课堂检测·固双基
1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于(++++ A ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.∴选A.
2.sin75°cos30°-sin15°sin150°的值等于(++++ C ----)
A.1
B.
C.
D.
[解析] 原式=cos15°cos30°-sin15°sin30°
=cos(15°+30°)=cos45°=.
3.cosα-sinα可化为(++++ A ----)
A.sin(-α)
B.sin(-α)
C.sin(+α)
D.sin(+α)
4.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),规定a·b=x1x2+y1y2.已知a=(cos40°,sin40°),b=(sin20°,cos20°),则a·b等于(++++ B ----)
A.1
B.
C.
D.
5.若sinα=,α∈(0,),则sin(α+)=!!!  ###.
[解析] 易得cosα=,
故sin(α+)=sinαcos+cosα·sin=.
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-第3课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点
 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α+β)
tan(α+β)=!!!
tanα+tanβ
###!!!
1-tanαtanβ
###
α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tanα·tanβ≠1
两角差的正切
T(α-β)
tan(α-β)=!!!
tanα-tanβ
###!!!
1+tanαtanβ
###
α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tanα·tanβ≠-1
思考:(1)由同角三角函数的商数关系如tan(α+β)=,由此能否推导出两角和的正切公式?
(2)两角和与差的正切公式中,α,β,α±β的取值是任意的吗?为什么?
提示:(1)能.
tan(α+β)==,分子分母同除以cosαcosβ可得tan(α+β)=.
(2)不是.α,β,α±β的取值都不能等于+kπ(k∈Z).这是由正切函数的定义域决定的.
基础自测
1.下列说法中正确的个数是(++++ B ----)
①tan(α+β)=.
②存在角α,β,使得tan(α-β)=.
③tan(+)能根据公式tan(α+β)直接展开.
A.0    
B.1    
C.2    
D.3
[解析] ①③错误,②正确,故选B.
2.若tanα=2,tanβ=,则tan(α-β)=(++++ B ----)
A.-         
B.
C.3 
D.
[解析] tan(α-β)=
==.
3.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于(++++ B ----)
A.
B.1
C.
D.
[解析] ∵=tan30°=,
∴tan10°+tan20°=(1-tan10°tan20°).
∴原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.
4.若α,β∈(0,)且tanα=,tanβ=,则tan(α+β)=!!!
1
###.
[解析] tan(α+β)===1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值例1
(1)(2019·全国卷Ⅰ)tan255°=(++++ D ----)
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
(2)计算:=!!!
1
###.
(3)tan10°+tan50°+tan10°tan50°=!!!  ###.
[分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值.
[解析] (1)tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)====2+.
(2)原式==tan(45°+15°)
=tan60°=×=1.
(3)原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°
=(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°
=.
[归纳提升] 公式T(α+β),T(α-β)应用的解题策略
(1)公式T(α+β),T(α-β)有tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“tan”,“”与“tan”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
【对点练习】?
求值:
(1);
(2)(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.
[解析] (1)原式=
=tan(45°+105°)=tan150°=-.
(2)原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)tan10°,
∵tan10°=tan(40°-30°)=
∴1+tan30°tan40°=.
同理,1+tan40°tan50°=,
1+tan50°tan60°=.
∴原式=
·
tan10°=tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60°=-+=.
题型二 给值求值
例2 (1)已知cosα=-,且α∈(,π),则tan(-α)=(++++ D ----)
A.-
B.-7
C.    
D.7
(2)若tanα=2,tanβ=,则tan(α+β)等于(++++ C ----)
A.1        
B.-1
C.7
D.-7
[解析] (1)由cosα=-,且α∈(,π),得sinα=,
所以tanα==-,
所以tan(-α)===7,故选D.
(2)tan(α+β)=
===7,故选C.
[归纳提升] 在阅读条件时要注意观察,善于发现并总结条件与公式结构之间的联系,分析已知角与待求角的关系.
【对点练习】?
(1)tan(α-β)=,tanβ=,则tanα=(++++ A ----)
A.1
B.
C.
D.
(2)已知tan(α+β)=,tan(β-)=,那么tan(α+)等于(++++ C ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] (1)tanα=tan[(α-β)+β]

==1.
(2)tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]

==.
题型三 给值求角
例3 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ;
②α+2β=(α+β)+β.
解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ,再求sinα、sinβ,从而求出tanα、tanβ,然后利用公式T(α+β),求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)得到α+2β的值.
[解析] (1)由三角函数的定义可知cosα=,cosβ=;所以sinα=,sinβ=,
所以tanα=7,tanβ=,于是tan(α+β)==-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
===-1.
又0<α<,所以0<α+2β<π,
所以α+2β=π.
[归纳提升] 给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是(0,),选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是(-,),选正弦较好.
【对点练习】?
已知α∈(0,),β∈(,π),cos
β=-,sin(α+β)=,求角α的值.
[解析] ∵cos
β=-,且β∈(,π),∴sin
β=.
∵α∈(0,),β∈(,π),∴α+β∈(,),
又sin(α+β)=>0,∴α+β∈(,π),
∴cos(α+β)=-
=-=-,
∴sin
α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)·cos
β-cos(α+β)·sin
β
=×(-)-(-)×=,
又α∈(0,),∴α=.
课堂检测·固双基
1.设角θ的终边过点(2,3),则tan(θ-)=(++++ A ----)
A.
B.- 
 
 
C.5
D.-5
[解析] 由于角θ的终边过点(2,3),所以tanθ=,
tan(θ-)===.
2.的值为(++++ B ----)
A.0
B.1
C.
D.2
[解析] 原式==tan45°=1.
3.若α、β∈(0,)且tanα=,tanβ=,则tan(α-β)(++++ C ----)
A.-
B.1
C.
D.
[解析] tan(α-β)===.
4.已知tanα=4,tan(π-β)=-3,则tan(α+β)=(++++ B ----)
A.
B.-
C.
D.-
[解析] 由已知得tanα=4,tanβ=3,
∴tan(α+β)=
==-.
5.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=(++++ A ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] tan(α+β)===,解得tanβ=.
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-
8
-第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
 二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α=2sinαcosα(S2α).
(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α).
(3)tan2α=(T2α).
思考1:(1)所谓的“二倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗?
(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:(1)不对.对于“二倍角”应该广义的理解,如:8α是4α的二倍角,3α是α的二倍角,α是的二倍角,是的二倍角,…这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.
(2)对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1-tan2α≠0.
知识点2
 二倍角公式的转换
(1)因式分解变换.
cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).
(2)配方变换:
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换.
cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α),
sinαcosα=sin2α.
思考2:如何证明“缩角升幂公式”?
提示:因为sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=cos2α-sin2α
=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
cos2α=cos2α-sin2α
=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α.
基础自测
1.下列说法正确的个数是(++++ A ----)
①对任意的角总有sin2θ=2sinθ.
②不存在角α,使得cos2θ=2cosθ.
③公式tan2α=成立的条件是α≠kπ+,k∈Z.
④对于任意角α,都有sin=2sincos.
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] ①②③错误,④正确,故选A.
2.已知sinα=,cosα=,则sin2α等于(++++ D ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] sin2α=2sinαcosα=.
3.已知cosα=,则cos2α等于(++++ C ----)
A.
B.
C.-
D.
[解析] cos2α=2cos2α-1=-1=-.
4.(cos-sin)(cos+sin)的值为(++++ D ----)
A.-
B.-
C.
D.
[解析] 原式=cos2-sin2=cos=.
5.设sinα=2cosα,则tan2α的值为!!! - ###.
[解析] tanα==2,
所以tan2α==-.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用二倍角公式给角求值问题例1
求下列各式的值:
(1)sincos;(2)1-2sin2750°;(3);
(4)-;(5)cos20°cos40°cos80°.
[分析] →→→
[解析] (1)原式===.
(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°
=cos(4×360°+60°)=cos60°=.
(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)
=-tan60°=-.
(4)原式=

===4.
(5)原式=
==
==.
[归纳提升] 对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【对点练习】?
求下列各三角函数式的值:
(1)cos72°cos36°;
(2)+.
[解析] (1)原式=cos36°·cos72°
===.
(2)原式====4.
题型二 利用二倍角公式给值求值问题
例2 (1)若cos(-α)=,则sin2α=!!!  ###.
(2)已知α是第二象限角,tan(π+2α)=-,则tanα=!!! - ###.
[解析] (1)方法一:由cos(-α)=,得(sinα+cosα)=.两边同时平方,得(sinα+cosα)2=.故1+sin2α=.所以sin2α=.
方法二:由二倍角公式,得cos2(-α)===,所以sin2α=.
方法三:因为cos(-α)=,所以sin2α=cos(-2α)=cos2(-α)=2cos2(-α)-1=2×-1=.
(2)由题设得tan(π+2α)=tan2α=-.由二倍角公式,得tan2α==-,整理得2tan2α-3tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-.因为α是第二象限的角,所以tanα=-.
[归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多,(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角),再通过三角基本公式得到所求值;(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系:如cos2α与sin2α及cos2α之间的关系,cosα±sinα与sin2α的关系等.
【对点练习】?
已知tanα+=,α∈(,),求cos2α和sin(2α+)的值.
[解析] 由tanα+=,得+=.
则=,即sin2α=,因为α∈(,),所以2α∈(,π),所以cos2α=-=-,sin(2α+)=sin2α·cos+cos2α·sin=×-×=.
题型三 利用二倍角公式给值求角
例3 已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
[分析] 本题根据tanβ=-<0且β∈(0,π),确定<β<π,可求得tanα=且α∈(0,π),确定0<α<,这是求角的范围的关键.
[解析] 因为2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=,
而tan2(α-β)==.
从而tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]
===1.
又因为tanα=tan[(α-β)+β]
==<1,
且α∈(0,π),所以0<α<.所以0<2α<.
又因为tanβ=-<0,且β∈(0,π),
所以<β<π,-π<-β<-,所以-π<2α-β<0.
所以2α-β=-.
[归纳提升] 本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题,关键在于对角的范围的讨论,注意合理利用不等式的性质,必要时,根据三角函数值,缩小角的范围,从而求出准确的角.
【对点练习】?
已知tanα=,tanβ=,并且α,β均为锐角,求α+2β的值.
[解析] 因为tanβ=,
所以tan2β===.
所以tan(α+2β)===1.
0题型四 三角函数式化简
例4 (1)化简:2+;
(2)设α∈(,2π),化简:.
[分析] (1)1+sin8=sin24+2sin4cos4+cos24=(sin4+cos4)2,2(1+cos8)=4cos24.
(2)连续运用公式:1+cos2α=2cos2α.
[解析] (1)原式=2+
=2|sin4+cos4|+2|cos4|.
因为4∈(π,),
所以sin4<0,cos4<0.
故原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4=-2(sin4+2cos4).
(2)因为α∈(,2π),所以cosα>0,cos<0.
故原式====|cos|=-cos.
[归纳提升] 化简三角函数式的基本思路
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点,利用相应的公式,对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面,结合所给“形”的特征入手解决.一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形,同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换,达到化简的目的,在化简时,要注意角的取值范围.
【对点练习】?
(1)化简:+.
(2)求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B.
[解析] (1)原式=+=|sin20°-cos20°|+
=cos20°-sin20°+sin20°
=cos20°.
(2)证明:左边=-
==·(cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2B)=cos2Acos2B=右边,所以等式成立.
误区警示
利用二倍角公式化简时忽略原函数的定义域
例5 已知函数f(x)=,求该函数的值域.
[错解] ∵f(x)====cosx,∴f(x)∈[-1,1].
[错因分析] 没有注意函数本身的定义域,即分母要求sin2x≠0,∴sinx≠0且cosx≠0,由此可知x≠,k∈Z,故函数的值域出现了错误.
[正解] f(x)==
==cosx.
∵sin2x≠0,∴sinx≠0且cosx≠0,
由此可知x≠,k∈Z,
∴f(x)∈(-1,1)且f(x)≠0.
∴函数f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1).
[方法点拨] 运用公式化简函数解析式的过程中,忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点.要想正确求解,需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法.
学科素养
二倍角公式在三角形问题中的应用
三角形中最多只有一个钝角或直角,且其内角的正弦值均为正,但余弦值和正切值则不一定为正,解题时这些都要注意.
例6 已知△ABC的三个内角为A,B,C,f(B)=4cosB·sin2(+)+cos2B-2cosB.
(1)若f(B)=2,求B的大小;
(2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
[分析] (1)f(B)的式子过于烦琐,需将其化简,在求B的大小时应考虑其在三角形中,所以角B的范围为(0,π).
(2)将化简得到的f(B)代入不等式中,即可求得实数m的取值范围.
[解析] (1)f(B)=4cosB·+cos2B-2cosB=2cosB(1+sinB)+cos2B-2cosB=2cosBsinB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin(2B+).
∵f(B)=2,∴2sin(2B+)=2,即sin(2B+)=1.
∴2B+=+2kπ,k∈Z.又∵0(2)f(B)-m>2恒成立,即2sin(2B+)>2+m恒成立.
∵0∴2sin(2B+)∈[-2,2],
∴2+m<-2,解得m<-4.
课堂检测·固双基
1.已知α为第三象限角,且cosα=-,则tan2α的值为(++++ A ----)
A.-
B.
C.-
D.-2
[解析] 由题意可得tanα=2,所以tan2α==-.
2.下列各式中,值为的是(++++ D ----)
A.sin15°cos15°
B.2cos2-1
C.
D.
[解析] sin15°cos15°=sin30°=;
2cos2-1=cos=,
=cos15°≠,
=tan45°=,∴选D.
3.化简·cos28°的结果为(++++ A ----)
A.
B.sin28°
C.2sin28°
D.sin14°cos28°
[解析] ·cos28°=×·cos28°=tan28°·cos28°=,故选A.
4.化简-的结果为(++++ D ----)
A.-2sin40°
B.2cos40°
C.-2sin40°
D.2sin40°
[解析] 原式=-=(sin40°+cos40°)-(cos40°-sin40°)=2sin40°.
5.已知sin2α=,α∈,则cosα-sinα的值是(++++ A ----)
A.-
B.
C.
D.-
[解析] ∵α∈,∴sinα>cosα.
又∵(cosα-sinα)2=1-sin2α=1-=,
∴cosα-sinα=-.
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1
-5.5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算)
3.进一步掌握两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,半角公式,并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式,利用二倍角公式推导半角公式,并掌握半角适用条件.培养学生数学中的逻辑推理.
必备知识·探新知
基础知识
知识点
 半角公式
cos=±(C),
sin=±(S),
tan=±(T).
思考:(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
(3)半角公式对α∈R都成立吗?
提示:(1)二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得:cosα=1-2sin2=2cos2-1.
所以sin2=,cos2=,
tan2=.开方可得半角公式.
(2)不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.
(3)公式C,S对α∈R都成立,但公式T要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
基础自测
1.下列说法中正确的个数是(++++ A ----)
①sin=±.
②cos20°=±.
③tan==.
④sin4α+cos4α=2sin(4α+).
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] ①②③错误,④正确,故选A.
2.已知180°<α<360°,由cos的值等于(++++ C ----)
A.-
B.
C.-
D.
3.已知cosα=,α∈,则sin等于(++++ B ----)
A.-
B.
C.
D.-
[解析] ∵α∈,∴∈,
∴sin==.
4.sinx-cosx等于(++++ C ----)
A.sin2x        
B.sin
C.sin
D.sin
[解析] 原式==sin.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 应用半角公式求值
例1 已知sinθ=,且<θ<3π,求sin,cos,tan.
[分析] 已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系,从而选择半角公式求值.
[解析] ∵sinθ=,<θ<3π,
∴cosθ=-=-.
∵<<,
∴sin=-=-,
cos=-=-,tan==2.
[归纳提升] 已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可.
【对点练习】?
设π<θ<2π,cos=-,求:
(1)sinθ的值;(2)cosθ的值;(3)sin2的值.
[解析] (1)∵π<θ<2π,∴<<π,
又cos=-,∴sin=
==,
∴sinθ=2sincos=2×(-)×=-.
(2)cosθ=2cos2-1=2×(-)2-1=-.
(3)sin2===.
题型二 三角恒等式的化简与证明
例2 化简:(-π<α<0).
[证明] 原式=


=.
因为-π<α<0,所以-<<0,
所以sin<0,
所以原式==cosα.
[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【对点练习】?
求证:=sin2α.
[证明] 证法一 左边=

==
=sincoscosα=sinαcosα=sin2α=右边.
∴原式成立.
证法二 左边=
==sinαcosα=sin2α=右边.
∴原式成立.
证法三: 左边==cos2α·=cos2α·tanα=cosαsinα=sin2α=右边.
∴原式成立.
题型三 利用辅助角公式研究函数性质
例3 已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
[解析] (1)∵f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)=sin[2(x-)]+1-cos[2(x-)]
=2{sin[2(x-)]-cos[2(x-)]}+1
=2sin[2(x-)-]+1
=2sin(2x-)+1,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin(2x-)=1,
有2x-=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
[归纳提升] (1)公式形式:公式asinα+bcosα=sin(α+φ)(或asinα+bcosα=cos(α-φ))将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
【对点练习】?
(1)cos+sin的值是(++++ B ----)
A.  
 
B.2 
  
C.2  
 
D.
(2)y=cosx+cos(x+)的最大值是!!!  ###.
[解析] (1)原式=2(cos+sin)
=2sin(+)=2sin=2,故选B.
(2)y=cosx+cosx·-sinx·=cosx-sinx
=(cosx-sinx)=-(sinx-cosx)
=-sin(x-),
当x=2kπ-时,(k∈Z),ymax=.
误区警示
忽略对角的终边所在象限的讨论
例4 已知sinα=,求sin,cos与tan的值.
[错解] ∵sinα=,∴cosα=±.
(1)当cosα=时,sin=±=±,cos=±=±,tan==±.
(2)当cosα=-时,sin=±=±,cos=±=±,tan==±3.
[错因分析] 由sinα=>0,知角α是第一或第二象限角,从而必为第一或第三象限角,所以tan的值必然为正.上述解法中忽视了sinα>0,从而为第一或第三象限角这一隐含条件,导致解中的tan有正负两个值.
另外,错解中还有一点不妥,就是解法过于笼统与简单,没有细分sin,cos与tan的值的对应情况,依上述解法,sin,cos与tan的值对应着2×2×2+2×2×2=16(组)情况,但实际情况却只有4组(见下面正确解法),这就造成了解的结果混乱,不能体现三个数值的对应情况.
[正解] 由sinα=>0,知角α是第一或第二象限角.
(1)当α是第一象限角时,cosα=,且为第一或第三象限角,于是
①当为第一象限角时,sin==,cos==,tan==;
②当为第三象限角时,sin=-,cos=-,tan==.
(2)当α是第二象限角时,cosα=-,且为第一或第三象限角,于是
①当为第一象限角时,sin=,cos=,tan==3;
②当为第三象限时,sin=-,cos=-,tan==3.
[方法点拨] (1)应用公式sin=±,cos=±以及tan=±时,一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则,充分挖掘题设中的隐含条件,利用隐含条件,判断解的符号,缩小解的范围,减少解答中的失误.另外,在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性,规范表述,不要给出模糊不清的过程与结果.(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致.
学科素养
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简,在综合讨论三角函数性质时,通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式,再去研究其图象与性质是考试的重点.
例5 已知f(x)=(1+)sin2x-2sin(x+)·sin(x-).
(1)若tanα=2,求f(α)的值;
(2)若x∈[,],求f(x)的取值范围.
[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子,由tanα=2,求出sin2α与cos2α的值,代入f(x)求f(α).
(2)将f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式,利用正弦函数的图象与性质求解.
[解析] (1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+)·cos(x+)=+sin2x+sin(2x+)
=+(sin2x-cos2x)+cos2x
=(sin2x+cos2x)+.
由tanα=2,得sin2α===.
cos2α===-.
所以,f(α)=(sin2α+cos2α)+=.
(2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+=sin(2x+)+.由x∈[,],得≤2x+≤.
所以-≤sin(2x+)≤1,0≤f(x)≤.
所以f(x)的取值范围是[0,].
[归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧
(1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为正切tanα,为第(1)问铺平道路.
(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
课堂检测·固双基
1.若cosα=-,α是第三象限角,则=(++++ A ----)
A.-
B.
C.2
D.-2
[解析] ∵α是第三象限角,cosα=-,
∴sinα=-.
∴===·===-.故选A.
2.若θ∈[,],且sin2θ=,则sinθ=(++++ D ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式.∵θ∈[,],∴2θ∈[,π],
∴sinθ>0,cos2θ<0,∴cos2θ=-=-,
又sin2θ=,∴sin2θ=,∴sinθ=,故选D.
3.设-3π<α<-,则化简的结果是(++++ C ----)
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
[解析] ∵-3π<α<-π,∴-π<<-π,
∴cos<0,
∴原式==|cos|=-cos.
4.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°cos13°,c=,则有(++++ C ----)
A.cB.aC.aD.b[解析] a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°,b=sin26°,c==sin25°,∴b>c>a.故选C.
5.已知cos
θ=,且270°<θ<360°,试求sin和cos的值.
[解析] ∵270°<θ<360°,∴135°<<180°,
∴sin>0,cos<0.
∴sin===;
cos=-=-=-.
PAGE
-
11
-5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
【素养目标】
1.深刻理解五点的取法,特别是作正弦型函数的图象时取的五点.(数学运算)
2.从φ、ω、A的变化总结图象.(直观想象)
3.能由y=sinx平移和伸缩变换为y=Asin(ωx+φ)及逆向平移和伸缩变换.(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中,借助实例构建三角函数y=Asin(ωx+φ)的形式,利用PPT观察φ,A,ω对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,学会由y=sinx如何变化为y=Asin(ωx+φ),提升数学素养中的直观想象.
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
 参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响
(1)φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响.
(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响.
(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
思考1:(1)如何由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象?
(2)函数y=sinωx的图象是否可以通过y=sinx的图象得到?
提示:(1)向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度.
(2)可以,只要横向“伸”或“缩”倍y=sinx的图象即可.
知识点2
 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A,ω,φ的物理意义
(1)简谐运动的振幅就是A.
(2)简谐运动的周期T=.
(3)简谐运动的频率f==.
(4)ωx+φ称为相位.
(5)x=0时的相位φ称为初相.
思考2:若函数y=Asin(ωx+φ)中的A<0或ω<0时怎么办?
提示:当A<0或φ<0时,应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相φ.
知识点3
 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[-A,A]
周期性
T=
对称中心
(,0)(k∈Z)
对称轴
x=+(k∈Z)
!!!
奇偶性
###
当!!! φ=kπ(k∈Z) ###时是奇函数当!!! φ=kπ+(k∈Z) ###时是偶函数
!!!
单调性
###
由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得单调递增区间由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得单调递减区间
思考3:(1)怎样判断函数的奇偶性?
(2)判断函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调性时,应用了什么数学思想?
提示:(1)判断函数的奇偶性,必须先求函数的定义域,若定义域关于原点不对称,则此函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,再根据奇偶函数的定义判断.
(2)判断函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调性时,要把ωx+φ看作一个整体,应用了“整体代入”的数学思想.
基础自测
1.下列说法中正确的个数是(++++ A ----)
①y=sin3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y=sin(3x+).
②y=sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sin2x.
③y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sinx.
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析] ①y=sin3x的图象向左平移个单位得y=sin[3(x+)]=sin(3x+π),故①不正确;②y=sin2x应改为y=sinx,故②不正确;③y=sinx应改为y=2sinx,故③不正确.故选A.
2.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A=(++++ C ----)
A.5
B.-5
C.4
D.-4
3.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点(++++ A ----)
A.向左平行移动1个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度
D.向右平行移动π个单位长度
4.函数f(x)=sin(x-)的图象的对称轴方程是!!! x=+kπ(k∈Z) ###.
5.函数y=3sin(x-)的频率为!!!  ###,相位为!!! x- ###,初相为!!! - ###.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 “五点法”作图例1
用“五点法”画函数y=2sin(3x+)的简图.
[分析] 列表时,取值要简单(与y=sinx中五点比较).
[解析] 先画函数在一个周期内的图象.令X=3x+,则x=(X-).列表
X
0
π

x

y
0
2
0
-2
0
描点作图,再将图象左右延伸即可.
[归纳提升] 用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表.
ωx+φ
0
π

x





y
0
A
0
-A
0
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到一个周期内的图象,再将图象左右延伸即可.
【对点练习】?
已知f(x)=2sin(+).
(1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;
(2)写出f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.
[解析] (1)列表:

0
π

x

f(x)
0
2
0
-2
0
作图:
(2)由2kπ-≤+≤2kπ+,得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[4kπ-,4kπ+],k∈Z.
(3)当+=+2kπ,即x=+4kπ(k∈Z)时,f(x)max=2.
题型二 三角函数的图象变换
例2 如何由函数y=sinx的图象得到函数y=3sin(2x-)+1的图象?
[分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换,可根据两种变换方式中的一种进行,正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可.
[解析] 解法一:y=sinx
y=sin(x-)
y=sin(2x-)
y=3sin(2x-)
y=3sin(2x-)+1.
解法二:y=sinx
y=sin2xy=sin2(x-)
y=3sin2(x-)
=3sin(2x-)
y=3sin(2x-)+1.
[归纳提升] 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点:
(1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是|φ|和||,但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的.
【对点练习】?
(1)将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(++++ D ----)
A.y=2sin(2x+)
B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(2x-)
D.y=2sin(2x-)
(2)要得到y=sin(2x-)的图象,只要将y=sin2x的图象(++++ B ----)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
[解析] (1)函数y=2sin(2x+)的周期为π,所以将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个单位长度后,得到函数图象对应的解析式为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-).故选D.
(2)y=sin2xy=sin2(x-)=sin(2x-).故选B.
题型三 由图象确定函数的解析式
例3 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(++++ D ----)
A.f(x)=2sin(x+)
B.f(x)=2sin(x-)
C.f(x)=2sin(2x-)
D.f(x)=2sin(2x+)
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是!!! f(x)=sin(2x+) ###.
[分析] (1)由图象可以确定最大值为2,周期为π,再利用一个点的坐标求φ.
(2)先由图象确定A,由T确定ω,代点求φ值.
[解析] (1)由图象可知,A=2,T=4(-)=π,所以=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),因为图象过点(,2),所以2sin(+φ)=2,
所以sin(+φ)=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+).
(2)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,
可得A=,=·=-,
∴ω=2.由图象过点(,0),可得2×+φ=kπ(k∈Z).
∴φ=kπ-(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=sin(2x+).
[归纳提升] 由图象确立三角函数的解析式时,若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A,ω,φ.
(1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定.
(2)ω:因为T=,故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)φ:从“五点法”中的第一个点(-,0)(也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置.
依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系如下:
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx+φ=;
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;
“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx+φ=;
“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.
在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.
(4)A,ω,φ三个量中初相φ的确定是一个难点,除使用初始点(-,0)外,还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.
【对点练习】?
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(++++ A ----)
A.y=2sin(2x-)
B.y=2sin(2x-)
C.y=2sin(2x+)
D.y=2sin(2x+)
(2)(2020·云南昆明高一月考)如图所示是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象,则f()=(++++ B ----)
A.-2
B.-
C.2
D.
[解析] (1)由图知,A=2,周期T=2[-(-)]=π,
所以ω==2,所以y=2sin(2x+φ).因为图象过点(,2),所以2=2sin(2×+φ),所以sin(+φ)=1,所以+φ=2kπ+(k∈Z).令k=0得φ=-,所以y=2sin(2x-).
(2)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象,可得振幅A=2,=-(-)=,即T=π=,
所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数图象过点(,2),
将此点坐标代入函数解析式可得2=2sin(2×+φ),
由2×+φ=+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z.
又因为0<φ<,所以φ=,
所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+),
所以f()=2sin(+)=-.
题型四 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性
例4 在函数y=2sin(4x+)的图象的对称中心中,离原点最近的一个对称中心的坐标是!!! (,0) ###.
[分析] 利用整体代换法求解.
[解析] 设4x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数y=2sin(4x+)图象的对称中心坐标为(-,0)(k∈Z).取k=1得(,0)满足条件.
[归纳提升] 正弦型函数对称轴与对称中心的求法
对称轴
对称中心
y=Asin(ωx+φ)
令ωx+φ=kπ+(k∈Z)求对称轴
令ωx+φ=kπ(k∈Z)求对称中心的横坐标
【对点练习】?
(1)将本例中对称中心改为对称轴,其他条件不变,则离y轴最近的一条对称轴方程为!!! x=- ###.
(2)已知函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象(++++ A ----)
A.关于点(,0)对称
B.关于点(,0)对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
[解析] (1)由4x+=kπ+(k∈Z),得x=-,取k=0时,x=-满足题意.
(2)∵函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,
∴sin(+φ)=1,∴cos=0,
∴函数y=cos(2x+φ)的图象关于点(,0)对称.故选A.
误区警示
例5 函数y=2sin(-2x+)的相位和初相分别是(++++ C ----)
A.-2x+,
B.2x-,-
C.2x+,
D.2x+,
[错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下:
常见错误
错误原因
相位和初相分别是-2x+,
错解均忽视了相位和初相的概念:概念中要求A>0,ω>0.当不满足条件时应设法创造出条件.
y=2sin(-2x+)=-2sin(2x-)∴相位和初相分别是2x-,-
[错因分析] 此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“A>0,ω>0”,若不满足,则必须先利用诱导公式转换为“A>0,ω>0”再求.
[正解] ∵y=2sin(-2x+)
=2sin[π-(-2x+)]=2sin(2x+)
∴相位和初相分别是2x+,.
[方法点拨] 要正确理解函数y=Asin(ωx+φ)中A、ω、φ的意义.
学科素养
函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用
例6 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),
y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调区间及最值;
(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
[分析] 本题关键是对图象的对称轴为x=这一条件的利用,由图象一对称轴为x=得:当x=时2x+φ=kπ+(k∈Z)进而可求φ值.
[解析] (1)由2x+φ=kπ+,k∈Z得x=+-,
令+-=,解得φ=kπ+,k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-.
(2)由(1)知,f(x)=sin(2x-),
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数的单调递增区间是
[kπ+,kπ+](k∈Z).
同理可得函数的单调递减区间是
[kπ+,kπ+](k∈Z).
当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时函数有最大值1;
当2x-=2kπ-(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时函数有最小值-1.
(3)由y=sin(2x-)知,
x
0
π
2x-


0
π
y

-1
0
1
0

故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是
课堂检测·固双基
1.将函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(++++ D ----)
A.y=cos2x     
 
B.y=sin(2x+)
C.y=sin(x+)
D.y=sin(x+)
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅为,周期为,初相为,则该函数的表达式为(++++ C ----)
A.y=sin(+)   
B.y=sin(-)
C.y=sin(3x+)
D.y=sin(3x-)
3.函数y=cos(2x-)+1的一个对称中心为(++++ D ----)
A.(,0)
B.(,0)
C.(,1)  
D.(,1)
4.要得到函数y=cos2x的图象,只需将y=cos(2x+)的图象(++++ B ----)
A.向左平移个单位长度
 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
 D.向右平移个单位长度
[解析] 平移问题遵循“左加右减,只针对x而言”的原则.则y=cos2x只需向左平移个单位即可.而y=cos(2x+)需右移个单位,得到y=cos2x.
5.函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为!!! y=2sin(x-)+1 ###.
[解析] 根据函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,可得k==1,A=3-1=2,·=-2,∴ω=,∴y=2sin(x+φ)+1.
由图象过点(2,3),则3=2sin(+φ)+1,
∴sin(+φ)=1,∴+φ=2kπ+(k∈Z),
∴φ=2kπ-(k∈Z).又|φ|<,∴φ=-.
故函数的解析式为y=2sin(x-)+1.
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-5.7 三角函数的应用
【素养目标】
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(数学抽象)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(逻辑推理)
3.通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中,对生活中周期现象作分析,再把课本中实例与三角函数结合,构建三角函数模型,使学生掌握解决此类问题的思路,提升学生的数学建模能力.
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
 三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中!!!
周期现象
###的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.
思考:三角函数模型的应用主要体现在哪几个方面?
提示:三角函数模型的应用体现在两个方面:
①已知函数模型求解数学问题;
②把实际问题转化成数学问题,抽象出有关的数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.
知识点2
 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步:阅读理解,审清题意.
读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.
第二步:收集、整理数据,建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现实际问题的数学化.
第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.
基础自测
1.下列说法正确的个数是(++++ B ----)
①三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型.
②与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决.
③若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y=3sin(4x+),则其往复振动一次所需时间为秒.
④若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=4sin200πt,t∈[0,+∞),则电流的最大值为4A.
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] ①④正确,②③错误,故选B.
2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是(++++ A ----)
A.
s
B.50
s
C.
s
D.100
s
[解析] T==
s,故选A.
3.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s=6sin(2πt+),那么单摆来回摆动一次所需的时间为(++++ D ----)
A.2πs 
  
B.π
s  
 
C.0.5
s 
  
D.1
s
[解析] 本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式,单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期.即ω=2π,所以T==1.
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的(++++ C ----)
A.[0,5]
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
[解析] 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]?[3π,5π].
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 三角函数模型在物理中的应用
例1
已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A,那么正整数ω的最小值是多少?
[分析] 对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.
[解析] (1)由题图知,A=300.
T=-(-)=,
∴ω==100π.
∵(-,0)是该函数图象的第一个零点,
∴-=-.∴φ==.符合|φ|<,
∴I=300sin(100πt+)(t≥0).
(2)问题等价于T≤,即≤,
∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.
[归纳提升] 解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,实质就是确定其中的参数A,ω,φ.其中A由最值确定;ω由周期确定,而周期由特殊点求得;φ由点在图象上求得,确定φ时,注意它的不唯一性,一般是求|φ|中最小的φ.
【对点练习】?
本例(1)中,在其他条件不变的情况下,当t=10秒时的电流强度I应为多少?
[解析] 由例1(1)可得I=300sin(100πt+)(t≥0),将t=10秒代入可得,I=150安培.
题型二 建立三角函数模型解决实际问题
例2 如图,一个大风车的半径为8米,风车按逆时针方向匀速旋转,并且12分钟旋转一周,它的最低点离地面2米,设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点,求:
(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式;
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米?
[解析] (1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b,
由题意得A=8,T=12,b=10;
则ω==,当t=0时,h=2,即sinφ=-1,因此,φ=-.
故h(t)=8sin(t-)+10,t≥0.
(2)由题意h(t)>14,即8sin(t-)+10>14,则cost<-.
又因为0≤t≤12,所以4故在第一圈4[归纳提升] 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程.
【对点练习】?
如图为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮自点B开始1
min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有(++++ A ----)
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
[解析] 由1
min旋转4圈,则转1圈的时间为T=
min=×60=15(s),则ω==.又由图可知,A=3.
误区警示
对物理概念理解不清,错求初相
例3 如图,弹簧挂着一个小球作上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=2sin(t+φ),t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=3时,小球处于平衡位置,并开始向下移动,则小球在开始振动(即t=0)时h的值为!!!  ###.
[错解] ∵当t=3时,h=0,∴2sin(+φ)=0,∴φ=-.故h=2sin(t-),
∴当t=0时,h=2sin(-)=-.
[错因分析] 没有认真审题,不懂利用题目中的“并开始向下移动”条件求初相.
[正解] ∵当t=3时,h=0,∴2sin(+φ)=0.又∵当t=3时,h=0,并开始向下移动,∴+φ=π+2kπ,k∈Z.∵φ∈(-π,π),∴φ=,故h=2sin(t+).∴当t=0时,h=2sin=.
[方法点拨] 在利用零点求初相时,要注意函数在零点处的单调性,当函数在零点处单调递增时,ωx+φ=2kπ(k∈Z);当函数在零点处单调递减时,ωx+φ=π+2kπ(k∈Z).
学科素养
数据拟合三角函数问题
处理此类问题时,先要根据表格或数据正确地画出散点图,然后运用数形结合的思想方法求出问题中所需要的相关量,如周期、振幅等,最后根据三角函数的相关知识解决问题.
例4 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(2)根据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
[分析] 本题以实际问题引入,注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征.
[解析] (1)由表中数据,知周期T=12,
∴ω==.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.
又由t=3,y=1.0,得b=1.0,
∴A=0.5,b=1.0,即振幅为.
∴y=cost+1.
(2)由题意知,当y>1时才对冲浪者开放,
∴cost+1>1,∴cost>0,
∴2kπ-∵0≤t≤24,∴令k分别为0,1,2,得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动,即上午9∶00至下午15∶00.
[归纳提升] 处理此类问题时,先要根据图表或数据正确地画出简图,然后运用数形结合思想求出问题中的关键量,如周期、振幅等.
课堂检测·固双基
1.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(++++ A ----)
A.T=6,φ=
B.T=6,φ=
C.T=6π,φ=
D.T=6π,φ=
[解析] T==6.由图象过(0,1)点得sinφ=.
∵-<φ<,∴φ=.
2.某星星的亮度变化周期为10天,此星星的平均亮度为3.8星等,最高亮度距离平均亮度0.2星等,则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数可以是下列中的(++++ C ----)
A.y=0.2sin10t+3.8
B.y=3.8sint+0.2
C.y=0.2sin(t+φ)+3.8
D.y=3.8sin10t+0.2
[解析] 设所求函数为y=Asin(ωt+φ)+b,
依题意得T=10,ω=,A=0.2,b=3.8,
所以解析式可以为y=0.2sin(t+φ)+3.8,故选C.
3.某人的血压满足函数式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为(++++ C ----)
A.60
B.70
C.80
D.90
[解析] 由于ω=160π,故函数的周期T==,
所以f==80,即每分钟心跳的次数为80.故选C.
4.如图某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)这一天的最大用电量为!!!
50
###万度,最小用电量为!!!
30
###万度;
(2)这段曲线的函数解析式为!!! y=10sin(x+)+40,x∈[8,14] ###.
[解析] 由图知,b=40,A=10,ω===,
∴y=10sin(x+φ)+40,
又x=8时,y=30,
∴sin(+φ)=-1,∴φ=.
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8
-5.5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(数学运算)
3.进一步掌握两角和与差的三角函数公式,二倍角公式,半角公式,并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题.(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式,利用二倍角公式推导半角公式,并掌握半角适用条件.培养学生数学中的逻辑推理.
必备知识·探新知
基础知识
知识点
 半角公式
cos=±(C),
sin=±(S),
tan=±(T).
思考:(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
(3)半角公式对α∈R都成立吗?
提示:(1)二倍角的余弦公式.推导如下:在二倍角公式cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得:cosα=1-2sin2=2cos2-1.
所以sin2=,cos2=,
tan2=.开方可得半角公式.
(2)不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.
(3)公式C,S对α∈R都成立,但公式T要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
基础自测
1.下列说法中正确的个数是(++++ A ----)
①sin=±.
②cos20°=±.
③tan==.
④sin4α+cos4α=2sin(4α+).
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] ①②③错误,④正确,故选A.
2.已知180°<α<360°,由cos的值等于(++++ C ----)
A.-
B.
C.-
D.
3.已知cosα=,α∈,则sin等于(++++ B ----)
A.-
B.
C.
D.-
[解析] ∵α∈,∴∈,
∴sin==.
4.sinx-cosx等于(++++ C ----)
A.sin2x        
B.sin
C.sin
D.sin
[解析] 原式==sin.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 应用半角公式求值
例1 已知sinθ=,且<θ<3π,求sin,cos,tan.
[分析] 已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系,从而选择半角公式求值.
[解析] ∵sinθ=,<θ<3π,
∴cosθ=-=-.
∵<<,
∴sin=-=-,
cos=-=-,tan==2.
[归纳提升] 已知θ的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可.
【对点练习】?
设π<θ<2π,cos=-,求:
(1)sinθ的值;(2)cosθ的值;(3)sin2的值.
[解析] (1)∵π<θ<2π,∴<<π,
又cos=-,∴sin=
==,
∴sinθ=2sincos=2×(-)×=-.
(2)cosθ=2cos2-1=2×(-)2-1=-.
(3)sin2===.
题型二 三角恒等式的化简与证明
例2 化简:(-π<α<0).
[证明] 原式=


=.
因为-π<α<0,所以-<<0,
所以sin<0,
所以原式==cosα.
[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【对点练习】?
求证:=sin2α.
[证明] 证法一 左边=

==
=sincoscosα=sinαcosα=sin2α=右边.
∴原式成立.
证法二 左边=
==sinαcosα=sin2α=右边.
∴原式成立.
证法三: 左边==cos2α·=cos2α·tanα=cosαsinα=sin2α=右边.
∴原式成立.
题型三 利用辅助角公式研究函数性质
例3 已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
[解析] (1)∵f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)=sin[2(x-)]+1-cos[2(x-)]
=2{sin[2(x-)]-cos[2(x-)]}+1
=2sin[2(x-)-]+1
=2sin(2x-)+1,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin(2x-)=1,
有2x-=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
[归纳提升] (1)公式形式:公式asinα+bcosα=sin(α+φ)(或asinα+bcosα=cos(α-φ))将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
【对点练习】?
(1)cos+sin的值是(++++ B ----)
A.  
 
B.2 
  
C.2  
 
D.
(2)y=cosx+cos(x+)的最大值是!!!  ###.
[解析] (1)原式=2(cos+sin)
=2sin(+)=2sin=2,故选B.
(2)y=cosx+cosx·-sinx·=cosx-sinx
=(cosx-sinx)=-(sinx-cosx)
=-sin(x-),
当x=2kπ-时,(k∈Z),ymax=.
误区警示
忽略对角的终边所在象限的讨论
例4 已知sinα=,求sin,cos与tan的值.
[错解] ∵sinα=,∴cosα=±.
(1)当cosα=时,sin=±=±,cos=±=±,tan==±.
(2)当cosα=-时,sin=±=±,cos=±=±,tan==±3.
[错因分析] 由sinα=>0,知角α是第一或第二象限角,从而必为第一或第三象限角,所以tan的值必然为正.上述解法中忽视了sinα>0,从而为第一或第三象限角这一隐含条件,导致解中的tan有正负两个值.
另外,错解中还有一点不妥,就是解法过于笼统与简单,没有细分sin,cos与tan的值的对应情况,依上述解法,sin,cos与tan的值对应着2×2×2+2×2×2=16(组)情况,但实际情况却只有4组(见下面正确解法),这就造成了解的结果混乱,不能体现三个数值的对应情况.
[正解] 由sinα=>0,知角α是第一或第二象限角.
(1)当α是第一象限角时,cosα=,且为第一或第三象限角,于是
①当为第一象限角时,sin==,cos==,tan==;
②当为第三象限角时,sin=-,cos=-,tan==.
(2)当α是第二象限角时,cosα=-,且为第一或第三象限角,于是
①当为第一象限角时,sin=,cos=,tan==3;
②当为第三象限时,sin=-,cos=-,tan==3.
[方法点拨] (1)应用公式sin=±,cos=±以及tan=±时,一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则,充分挖掘题设中的隐含条件,利用隐含条件,判断解的符号,缩小解的范围,减少解答中的失误.另外,在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性,规范表述,不要给出模糊不清的过程与结果.(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致.
学科素养
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简,在综合讨论三角函数性质时,通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式,再去研究其图象与性质是考试的重点.
例5 已知f(x)=(1+)sin2x-2sin(x+)·sin(x-).
(1)若tanα=2,求f(α)的值;
(2)若x∈[,],求f(x)的取值范围.
[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子,由tanα=2,求出sin2α与cos2α的值,代入f(x)求f(α).
(2)将f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式,利用正弦函数的图象与性质求解.
[解析] (1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+)·cos(x+)=+sin2x+sin(2x+)
=+(sin2x-cos2x)+cos2x
=(sin2x+cos2x)+.
由tanα=2,得sin2α===.
cos2α===-.
所以,f(α)=(sin2α+cos2α)+=.
(2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+=sin(2x+)+.由x∈[,],得≤2x+≤.
所以-≤sin(2x+)≤1,0≤f(x)≤.
所以f(x)的取值范围是[0,].
[归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧
(1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为正切tanα,为第(1)问铺平道路.
(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
课堂检测·固双基
1.若cosα=-,α是第三象限角,则=(++++ A ----)
A.-
B.
C.2
D.-2
[解析] ∵α是第三象限角,cosα=-,
∴sinα=-.
∴===·===-.故选A.
2.若θ∈[,],且sin2θ=,则sinθ=(++++ D ----)
A.
B.
C.
D.
[解析] 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式.∵θ∈[,],∴2θ∈[,π],
∴sinθ>0,cos2θ<0,∴cos2θ=-=-,
又sin2θ=,∴sin2θ=,∴sinθ=,故选D.
3.设-3π<α<-,则化简的结果是(++++ C ----)
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
[解析] ∵-3π<α<-π,∴-π<<-π,
∴cos<0,
∴原式==|cos|=-cos.
4.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°cos13°,c=,则有(++++ C ----)
A.cB.aC.aD.b[解析] a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°,b=sin26°,c==sin25°,∴b>c>a.故选C.
5.已知cos
θ=,且270°<θ<360°,试求sin和cos的值.
[解析] ∵270°<θ<360°,∴135°<<180°,
∴sin>0,cos<0.
∴sin===;
cos=-=-=-.
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