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(共37张PPT)
第1讲
交变电流的产生和描述
第十二章
交变电流
传感器
课程标准内容及要求
核心素养及关键能力
核心素养
关键能力
1.通过实验，认识交变电流。能用公式和图像描述正弦交变电流。
概念及规律的理解
理解能力，应用数学知识分析问题
2.实验十五：探究并了解变压器原、副线圈电压与匝数的关系。
物理规律
应用能力
3.知道远距离输电时通常采用高压输电的原因。
物理规律
理解及应用能力
4.了解发电机和电动机工作过程中的能量转化。认识电磁学在人类生活和社会发展中的作用。
?
?
5.知道非电学量转换成电学量的技术意义。
?
?
6.实验十六：通过实验，了解常见传感器的工作原理。会利用传感器制作简单的自动控制装置。
科学探究
电路设计能力
一、正弦式交变电流
1.产生
线圈绕________磁场方向的轴匀速转动。
2.两个特殊位置的特点
垂直于
最大
发生改变
最大
不改变
3.电流方向的改变
一个周期内线圈中电流的方向改变____次。
4.交变电动势的最大值
Em＝______，与转轴位置无关，与线圈形状无关。
5.交变电动势随时间的变化规律(中性面开始计时)
e＝______________。
两
nBSω
nBSωsin
ωt
【自测1】
(多选)关于中性面，下列说法正确的是(　　)
A.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零
B.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大
C.线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次
D.线圈每转动一周即经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次
AC
1.周期和频率
二、描述交变电流的物理量
时间
周期性变化
赫兹(Hz)
(1)周期T：交变电流完成一次周期性变化所需要的______，单位是秒(s)。表达式为T＝＝(n为转速)。
(2)频率f：交变电流完成____________的次数与所用时间之比，单位是______________。
2.峰值、有效值和平均值
(1)峰值：交变电流或电压所能达到的最大的值。
(2)有效值：让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻，如果在交流的一个周期内它们____________相等，就可以把恒定电流的数值规定为这个交变电流的有效值。
(3)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
产生的热量
(4)交变电流的平均值
【自测2】
[2020·河南省九师联盟模拟(二)]当矩形线框在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动时，产生的交变电流随时间的变化规律如图1甲所示。已知图乙中定值电阻R的阻值为10
Ω，电容器C的击穿电压为5
V。则下列选项正确的是(　　)
图1
A.矩形线框中产生的交变电流的瞬时值表达式为i＝0.6sin(100πt)A
B.矩形线框的转速大小为100
r/s
C.若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，电容器不会被击穿(通过电容器电流可忽略)
D.矩形线框的转速增大一倍，则交变电流的表达式为i＝1.2sin(100πt)A
A
研透命题点
命题点二　交流电有效值的求解
命题点一　交变电流的产生及变化规律
命题点三　交变电流“四值”的理解和计算
命题点一　交变电流的产生及变化规律
1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
2.交变电流瞬时值表达式
(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值。
(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。如：
①线圈从中性面位置开始计时，则i－t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin
ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时，则i－t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos
ωt。
【例1】
(2020·安徽合肥市第二次教学质检)如图2所示，矩形线圈处在磁感应强度大小为B、方向水平向右的匀强磁场中，线圈通过电刷与定值电阻R及理想电流表相连接，线圈绕中心轴线OO′
以恒定的角速度ω匀速转动，t＝0时刻线圈位于与磁场平行的位置。已知线圈的匝数为n、面积为S、阻值为r。则下列说法正确的是(　　)
D
图2
解析　t＝0时刻线框与磁场方向平行，即线框的速度与磁场方向垂直，由右手定则可知，流过电阻R
的电流方向向右，故A错误；
从与中性面垂直的位置开始计时，感应电动势随时间按余弦规律变化，且最大感应电动势Em＝nBSω，所以感应电动势的瞬时值表达式为e＝nBSωcos
ωt，故B错误；
【变式1】
(2020·北京市丰台区二模)某交变电动势瞬时值表达式e＝10sin(2πt)
V，则(　　)
A.交变电流的频率为2
Hz
B.交变电流的周期为0.25
s
C.交变电动势的有效值为10
V
D.当t＝0.25
s时，感应电动势为10
V
D
【变式2】
(多选)如图3所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内，两导线框圆弧半径相等。过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。现使导线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)
图3
BC
命题点二　交流电有效值的求解
1.有效值的规定
让交变电流和恒定电流I直分别通过同一电阻R，在一个周期内产生的焦耳热分别为Q交、Q直，若Q交＝Q直，则交变电流的有效值I＝I直(直流有效值也可以这样算)。
2.有效值的理解
(1)交流电流表、交流电压表的示数是指有效值。
(2)用电器铭牌上标的值(如额定电压、额定功率等)指的均是有效值。
(3)计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值。
(4)没有特别加以说明的，是指有效值。
3.有效值的计算
(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，列式求解。
(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。
【例2】
(2018·全国卷Ⅲ，16)一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正。该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图4所示。则Q方∶Q正等于(　　)
D
图4
【变式3】
(2020·云南省师大附中第五次月考)阻值为100
Ω
的纯电阻元件通以如图5所示的交流电，则该元件的发热功率为(　　)
B
图5
A.121
W
B.302.5
W
C.484
W
D.605
W
B
图6
A.10
W
B.15
W
C.25
W
D.30
W
C
含二极管的交流电有效值的求解
图7
命题点三　交变电流“四值”的理解和计算
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
【例4】
(多选)
(2020·山东济南市5月高考模拟)如图8所示为一台小型发电机结构示意图，线圈绕垂直匀强磁场方向的轴匀速转动，通过电刷接有一盏小灯泡。已知线圈匝数为N，内阻为r，转动的周期为T，小灯泡的电阻为9r，电压表的示数为U。从图示位置开始计时，下列说法中正确的是(　　)
BD
图8
【变式5】
(多选)(2019·天津卷，8)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图9所示。下列说法正确的是(　　)
BC
图9
【变式6】
(多选)(2020·四川成都市第二次诊断)如图10(a)为一交流发电机示意图，线圈abcd在匀强磁场中绕固定轴OO′沿顺时针方向匀速转动，图(b)是该发电机的电动势随时间t按余弦规律变化的图像。已知线圈电阻为2.5
Ω，定值电阻R＝10
Ω，电表均为理想交流电表。由此可以判定(　　)
图10
A.电流表读数为0.8
A
B.电压表读数为10
V
C.t＝0.1
s时刻，穿过线圈的磁通量为零
D.0～0.05
s内，通过电阻R的电荷量为0.04
C
AC
课时限时练
本节内容结束
THANKS课时限时练
(限时：30分钟)
对点练1　交变电流的产生及变化规律
1.(2020·北京市朝阳区5月等级考模拟)图1甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，A为交流电流表。线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图甲所示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
图1
A.电流表的示数为20
A
B.线圈转动的角速度为50π
rad/s
C.t＝0.01
s时，穿过线圈的磁通量为零
D.t＝0.02
s时，线圈平面与磁场方向垂直
答案　C
解析　电流表的示数为I＝
A＝10
A，故A错误；由图乙可知，T＝0.02
s则角速度为ω＝＝
rad/s＝100π
rad/s，故B错误；由图乙可知t＝0.01
s时，感应电流最大，则此时穿过线圈的磁通量为0，故C正确；由图乙可知t＝0.02
s时，感应电流最大，则此时穿过线圈的磁通量为0，故D错误。
2.(2020·北京市石景山区上学期期末)如图2所示，一单匝正方形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈边长为L，电阻为R，转动的角速度为ω。当线圈转至图示位置时(　　)
图2
A.线圈中感应电流的方向为abcda
B.线圈中感应电流的大小为
C.穿过线圈的磁通量为BL2
D.穿过线圈磁通量的变化率为BL2ω
答案　D
解析　根据右手定则判断出，线圈中感应电流的方向为adcba，故A错误；线圈中的感应电动势为E＝BL2ω，线圈中的感应电流为I＝，故B错误；图示时刻ad、bc两边垂直切割磁感线，穿过线圈磁通量为0，故C错误；线圈中的感应电动势为E＝BL2ω，由法拉第电磁感应定律E＝得＝BL2ω，故D正确。
3.(多选)(2020·河北邯郸市上学期期末)如图3所示，交流发电机的线圈绕垂直于匀强磁场的水平轴逆时针匀速转动，每秒转动10转，线圈从图示位置开始计时，电流表的示数为1
A，已知线圈匝数为500匝，线圈内阻r＝1.0
Ω，外接电阻R＝9.0
Ω，以下判断正确的是(　　)
图3
A.图示时刻交变电流方向为ADCBA
B.通过线圈磁通量的最大值为×10－3
Wb
C.t＝
s时线圈磁通量的变化率为
Wb/s
D.t＝
s时外接电阻R所消耗的电功率为10
W
答案　AB
解析　由右手定则可知，图示时刻电流方向为ADCBA，故A正确；电动势的有效值E＝I(R＋r)＝1×(9.0＋1.0)V＝10
V，电动势的峰值Em
＝E＝10
V，感应电动势峰值Em＝NBSω，通过线圈磁通量的最大值Φm＝BS＝＝，代入数据解得Φm＝×10－3
Wb，故B正确；线圈做圆周运动的角速度ω＝2πn＝20π
rad/s，从图示位置开始计时，电动势的瞬时值表达式e＝Emsin(ωt＋90°)＝Emcos
ωt＝10cos(20πt
)V，t＝
s
时，感应电动势瞬时值e＝10
V，此时磁通量的变化率＝
Wb/s，故C错误；t＝
s时外接电阻R所消耗的电功率P＝I2R＝2R＝2×9
W＝9
W，故D错误。
4.(多选)[2020·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]一矩形金属线圈，绕垂直磁场方向的转轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t变化的规律如图4所示，下列说法中正确的是(　　)
图4
A.此交流电的频率为10
Hz
B.此感应电动势的有效值为
V
C.t＝0.1
s时，线圈平面与磁场方向垂直
D.在线圈平面与磁场方向成30°时，感应电动势的大小为1
V
答案　BC
解析　由图像知，周期T＝0.2
s，所以频率f＝5
Hz，A错误；感应电动势的最大值为2
V，有效值为E＝
V＝
V，故B正确；t＝0.1
s时，感应电动势为0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C正确；在线圈平面与磁场方向成30°时，感应电动势的大小e＝2sin
60°
V＝
V，故D错误。
对点练2　交流电有效值的求解
5.(2020·南京、盐城一模)一只电阻分别通过四种不同形式的电流，电流随时间变化的情况如下图所示，在相同时间内电阻产生热量最大的是(　　)
答案　D
解析　选项A、B中交变电流的有效值都为
A，选项C中恒定电流的大小为1.5
A，选项D中交变电流的有效值为2
A，根据热量的表达式Q＝I2Rt得出选项D正确。
6.(2020·北京市朝阳区上学期期末)A、B是两个完全相同的电热器，A、B分别通以图5甲、乙所示的交变电流。则(　　)
图5
A.通过A、B两电热器的电流有效值之比为IA∶IB
＝3∶4
B.通过A、B两电热器的电流有效值之比为IA∶IB
＝3∶2
C.A、B两电热器的电功率之比为
PA∶PB
＝3∶2
D.A、B两电热器的电功率之比为
PA∶PB
＝5∶4
答案　D
解析　对甲：IR＋2R＝IRT，解得IA＝I0，对乙：IB＝I0，则IA∶IB
＝∶2，选项A、B错误；根据P＝I2R可知，A、B两电热器的电功率之比为PA∶PB
＝5∶4，选项C错误，D正确。
对点练3　交变电流“四值”的理解和计算
7.(2020·北京市东城区上学期期末)一台手摇交流发电机，线圈内阻1.0
Ω，产生的电动势随时间变化的规律为e＝10sin(10πt)
V。发电机与9.0
Ω的电阻组成闭合电路。则(　　)
A.交变电流的频率为10
Hz
B.电动势的峰值为20
V
C.电路中电流的有效值为1.0
A
D.一周期内外接电阻消耗电能9.0
J
答案　C
解析　交变电流的频率为f＝＝
Hz＝5
Hz，选项A错误；电动势的峰值为10
V，选项B错误；电动势的有效值为E＝10
V，则电路中电流的有效值为I＝＝
A＝1.0
A，选项C正确；因为T＝＝0.2
s，则一周期内外接电阻消耗电能E电＝I2RT＝12×9×0.2
J＝1.8
J，选项D错误。
8.
(2020·山东泰安市4月多校联考)如图6甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线框产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框电阻为10
Ω，线框面积为0.1
m2，取π＝3.14，＝1.41。则(　　)
图6
A.该交流电的有效值为31.4
V
B.当线框平面与中性面的夹角为30°时，电动势的瞬时值为15.7
V
C.匀强磁场的磁感应强度为1
T
D.从t＝0到t＝0.01
s时间内，通过线框某一截面的电荷量为2.82×10－2
C
答案　D
解析　交流电瞬时值e＝31.4sin(ωt)
V＝31.4sin(100πt)
V，则交流电有效值为E＝＝31.4
V，选项A错误；当线框平面与中性面的夹角为30°时ωt＝30°，电动势的瞬时值为e＝31.4sin
30°
V＝17.4
V，选项B错误；电动势峰值Em＝BSω，则B＝＝
T，选项C错误；从t＝0到t＝0.01
s时间内即半个周期内通过线框某一截面的电荷量为q＝＝＝2.82×10－2
C，选项D正确。
9.(2020·浙江杭州市教学质量检测)如图7所示，KLMN是一个竖直的电阻为R的单匝矩形导体线框，全部处于磁感应强度为B的水平向右的匀强磁场中，线框面积为S，KL边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动(俯视逆时针转动)。下列说法正确的是(　　)
图7
A.在图示位置时，线框中的感应电动势为BSω
B.在图示位置时，线框中电流的方向是KLMNK
C.从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为
D.该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为
答案　D
解析　在图示位置时，线框中的感应电动势为e＝BSωcos
30°＝BSω，选项A错误；根据楞次定律可知，在图示位置时，线框中电流的方向是KNMLK，选项B错误；从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为＝＝＝＝，选项C错误；该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为I＝＝＝，选项D正确。
10.[2020·天津市等级考模拟(一)]如图8所示，线圈ABCD匝数n＝10，面积S＝0.4
m2，边界MN(与线圈的AB边重合)右侧存在磁感应强度B＝
T的匀强磁场，若线圈从图示位置开始绕AB边以ω＝10π
rad/s的角速度匀速转动。则以下说法正确的是(　　)
图8
A.线圈产生的是正弦交流电
B.线圈在转动过程中产生的最大感应电动势为40
V
C.线圈转动
s时瞬时感应电动势为40
V
D.线圈产生的感应电动势的有效值为40
V
答案　D
解析　线圈出了磁场不再产生感应电流，故线圈在有界磁场中产生正弦交流电的一半，故A错误；线圈在转动过程中产生的最大感应电动势为Em＝nBSω，代入解得Em＝80
V，故B错误；线圈从中性面位置开始计时，产生正弦式交变电流，其瞬时表达式e＝Emsin
ωt，当线圈转动
s时，转过的角度为，此时瞬时感应电动势为e＝Emsin
＝40
V，故C错误；在一个周期内，只有半个周期产生感应电动势，故线圈产生的电动势的有效值为R＝RT，解得E＝40
V，故D正确。
11.(多选)(2020·山东威海市模拟考试)如图9(a)所示为一线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流的u－t图像，假设将此电压加在图(b)所示的回旋加速器上给氘核加速，已知氘核的质量为3.3×10－27
kg，下列说法正确的是(　　)
图9
A.该交流电电压的有效值为2
000
kV
B.t＝0.5×10－7
s时，穿过线圈的磁通量最大
C.氘核在回旋加速器中运动的周期为1.0×10－7
s
D.加在回旋加速器上的匀强磁场的磁感应强度大小约为1.3
T
答案　BCD
解析　由图可知该交流电电压的最大值是2
000
kV，有效值为
kV＝1
000
kV,
选项A错误；t＝0.5×10－7
s时，线圈在中性面位置，穿过线圈的磁通量最大，选项B正确；氘核在回旋加速器中运动的周期与交流电电压的周期T相同为1.0×10－7
s，选项C正确；氘核在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝m，氘核运动的周期为T′＝＝，式中q＝1.6×10－19
C，m＝3.3×10－27
kg，欲使氘核能不断加速，必须满足T＝T′，解得B＝1.3
T，选项D正确。
12.(2020·北京市第13中学开学测试)如图10所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L1＝0.40
m、L2＝0.25
m，其匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0
Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)焊接在一起，并通过电刷和R＝3.0
Ω的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0
T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动，角速度ω＝2.0
rad/s。求：
图10
(1)电阻R两端电压的最大值；
(2)在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。
答案　(1)15
V　(2)157
J
解析　(1)线圈中感应电动势的最大值
Em＝nBSω＝nBL1L2ω＝20
V
线圈中感应电流的最大值Im＝＝5.0
A
电阻R两端电压的最大值Um＝ImR＝15
V。
(2)线圈中感应电流的有效值I＝＝
A
线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热
Q热＝I2T＝157
J。课程标准内容及要求
核心素养及关键能力
核心素养
关键能力
1.通过实验，认识交变电流。能用公式和图像描述正弦交变电流。
概念及规律的理解
理解能力，应用数学知识分析问题
2.实验十五：探究并了解变压器原、副线圈电压与匝数的关系。
物理规律
应用能力
3.知道远距离输电时通常采用高压输电的原因。
物理规律
理解及应用能力
4.了解发电机和电动机工作过程中的能量转化。认识电磁学在人类生活和社会发展中的作用。
5.知道非电学量转换成电学量的技术意义。
6.实验十六：通过实验，了解常见传感器的工作原理。会利用传感器制作简单的自动控制装置。
科学探究
电路设计能力
第1讲　交变电流的产生和描述
一、正弦式交变电流
1.产生
线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。
2.两个特殊位置的特点
(1)线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变。
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变。
3.电流方向的改变
一个周期内线圈中电流的方向改变两次。
4.交变电动势的最大值
Em＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关。
5.交变电动势随时间的变化规律(中性面开始计时)
e＝nBSωsin__ωt。
【自测1】
(多选)关于中性面，下列说法正确的是(　　)
A.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零
B.线圈在转动中经中性面位置时，穿过线圈的磁通量为零，磁通量的变化率最大
C.线圈每经过一次中性面，感应电流的方向就改变一次
D.线圈每转动一周即经过中性面一次，所以线圈每转动一周，感应电流的方向就改变一次
答案　AC
二、描述交变电流的物理量
1.周期和频率
(1)周期T：交变电流完成一次周期性变化所需要的时间，单位是秒(s)。表达式为T＝＝(n为转速)。
(2)频率f：交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝或f＝。
2.峰值、有效值和平均值
(1)峰值：交变电流或电压所能达到的最大的值。
(2)有效值：让恒定电流和交变电流分别通过阻值相等的电阻，如果在交流的一个周期内它们产生的热量相等，就可以把恒定电流的数值规定为这个交变电流的有效值。
(3)正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝，U＝，E＝。
(4)交变电流的平均值
＝n，＝。
【自测2】
[2020·河南省九师联盟模拟(二)]当矩形线框在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动时，产生的交变电流随时间的变化规律如图1甲所示。已知图乙中定值电阻R的阻值为10
Ω，电容器C的击穿电压为5
V。则下列选项正确的是(　　)
图1
A.矩形线框中产生的交变电流的瞬时值表达式为
i＝0.6sin(100πt)A
B.矩形线框的转速大小为100
r/s
C.若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，电容器不会被击穿(通过电容器电流可忽略)
D.矩形线框的转速增大一倍，则交变电流的表达式为
i＝1.2sin(100πt)A
答案　A
解析　由图像可知，矩形线框转动的周期T＝0.02
s，则ω＝＝100π
rad/s，所以线框中产生的交变电流的表达式为i＝0.6sin(100πt)A，故A项正确；矩形线框转动的周期T＝0.02
s，所以线框1
s转50转，即转速为50
r/s，故B项错误；若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，通过电容器电流可忽略，则定值电阻两端电压为u＝iR＝0.6×10sin(100πt)V＝6sin(100πt)V，由于最大电压大于电容器的击穿电压，电容器将被击穿，故C项错误；若矩形线框的转速增大一倍，角速度增大一倍，即为ω′＝200π
rad/s，角速度增大一倍，电流的最大值增大一倍，即为Im′＝1.2
A，则电流的表达式为i2＝1.2sin(200πt)A，故D项错误。
命题点一　交变电流的产生及变化规律
1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量　　
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcos
ωt＝BScos
ωt
电动势
e＝Emsin
ωt＝nBSωsin
ωt
电压
u＝Umsin
ωt＝sin
ωt
电流
i＝Imsin
ωt＝sin
ωt
2.交变电流瞬时值表达式
(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值。
(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。如：
①线圈从中性面位置开始计时，则i－t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin
ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时，则i－t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos
ωt。
【例1】
(2020·安徽合肥市第二次教学质检)如图2所示，矩形线圈处在磁感应强度大小为B、方向水平向右的匀强磁场中，线圈通过电刷与定值电阻R及理想电流表相连接，线圈绕中心轴线OO′
以恒定的角速度ω匀速转动，t＝0时刻线圈位于与磁场平行的位置。已知线圈的匝数为n、面积为S、阻值为r。则下列说法正确的是(　　)
图2
A.t＝0时刻流过电阻R的电流方向向左
B.线圈中感应电动势的瞬时表达式为e＝nBSωsin
ωt
C.线圈转动的过程中，电阻R两端的电压为
D.从t＝0时刻起，线圈转过60°时电阻R两端的电压为
答案　D
解析　t＝0时刻线框与磁场方向平行，即线框的速度与磁场方向垂直，由右手定则可知，流过电阻R
的电流方向向右，故A错误；从与中性面垂直的位置开始计时，感应电动势随时间按余弦规律变化，且最大感应电动势Em＝nBSω，所以感应电动势的瞬时值表达式为e＝nBSωcos
ωt，故B错误；线圈转过的过程中，最大感应电动势Em＝nBSω，则产生的感应电动势的有效值为E＝nBSω，因此电阻R两端的电压为U＝，故C错误；线圈从t＝0开始转过60°时，电阻R两端的电压为UR＝＝，故D正确。
【变式1】
(2020·北京市丰台区二模)某交变电动势瞬时值表达式e＝10sin(2πt)
V，则(　　)
A.交变电流的频率为2
Hz
B.交变电流的周期为0.25
s
C.交变电动势的有效值为10
V
D.当t＝0.25
s时，感应电动势为10
V
答案　D
解析　交变电动势瞬时值表达式e＝10sin(2πt)
V，可知ω＝2π，则交变电流的周期T＝＝1
s，频率为f＝＝1
Hz，选项A、B错误；交变电动势瞬时值表达式e＝10sin(2πt)
V，可知交变电动势的最大值为10
V，则有效值为
V＝5
V，选项C错误；当t＝0.25
s时，感应电动势为e＝10sin
V＝10
V，选项D正确。
【变式2】
(多选)如图3所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内，两导线框圆弧半径相等。过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。现使导线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)
图3
A.两导线框中均会产生正弦交流电
B.两导线框中感应电流的周期都等于T
C.在t＝时，两导线框中产生的感应电动势相等
D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等
答案　BC
解析　导线框进入磁场时，逆时针匀速转动，此线框切割磁感线的有效长度不变，设圆弧半径为R，则E＝BR2ω，即产生的电动势恒定，不会产生正弦交流电，A项错误；导线框每转动一圈，产生的感应电流的变化为一个周期，B项正确；在t＝时，导线框转过的角度为45°，切割磁感线的有效长度相同，均为绕圆心的转动切割形式，设导线框半径为R，则感应电动势均为E＝BR2ω，C项正确；导线框N转动的一个周期内，有半个周期无感应电流产生，所以两导线框的感应电动势的有效值并不相同，由闭合电路欧姆定律可知，两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值一定不相同，D项错误。
命题点二　交流电有效值的求解
1.有效值的规定
让交变电流和恒定电流I直分别通过同一电阻R，在一个周期内产生的焦耳热分别为Q交、Q直，若Q交＝Q直，则交变电流的有效值I＝I直(直流有效值也可以这样算)。
2.有效值的理解
(1)交流电流表、交流电压表的示数是指有效值。
(2)用电器铭牌上标的值(如额定电压、额定功率等)指的均是有效值。
(3)计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值。
(4)没有特别加以说明的，是指有效值。
(5)“交流的最大值是有效值的倍”仅适用于正(余)弦式交变电流。
3.有效值的计算
(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，列式求解。
(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。
(3)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝t可分别求得电流有效值和电压有效值。
(4)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝、U＝求解。
【例2】
(2018·全国卷Ⅲ，16)一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正。该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图4所示。则Q方∶Q正等于(　　)
图4
A.1∶
　
B.∶1
C.1∶2
　　
D.2∶1
答案　D
解析　根据焦耳定律知热量与方波中的电流方向的变化无关，故Q方＝T；而正弦交变电流、电压的有效值等于峰值的，故Q正＝T＝·T，所以＝，D正确。
【变式3】
(2020·云南省师大附中第五次月考)阻值为100
Ω
的纯电阻元件通以如图5所示的交流电，则该元件的发热功率为(　　)
图5
A.121
W
B.302.5
W
C.484
W
D.605
W
答案　B
解析　电热Q＝T，代入数据得×0.01＋×0.01＝×0.02，解得电压有效值为U＝174
V，发热功率P＝＝302.5
W，故选项B正确。
【变式4】
已知某电阻元件在正常工作时，通过它的电流按如图6所示的规律变化，其中0～时间内为正弦交流电的一部分，将一个理想多用电表(已调至交变电流挡)与这个电阻元件串联，则多用电表的读数为(　　)
图6
A.4
A
B.
A
C.
A
D.5
A
答案　B
解析　在0～时间内，正弦交流电的有效值为
A；在～时间内，电流为0；在～T时间内，直流电的电流为3
A。根据交流电有效值的定义可知，在单个周期内此交变电流的有效值为I时产生的焦耳热与该周期内不同电流值在对应的各段时间里产生的焦耳热的关系满足I2RT＝R×＋(3
A)2R×，解得I＝
A，选项B正确。
含二极管的交流电有效值的求解
【例3】
如图7所示电路，电阻R1与电阻R2串联接在交变电源上，且R1＝R2＝10
Ω，正弦交流电的表达式为u＝20sin(100πt)V，R1和理想二极管D(正向电阻为零，反向电阻为无穷大)并联，则R2上的电功率为(　　)
图7
A.10
W
B.15
W
C.25
W
D.30
W
答案　C
解析　由题图可知，当电流从A流入时，R1被短路，则此时R2上电压有效值为U2＝＝20
V；当电流从B流入时，R1、R2串联，则R2两端电压有效值为U2′＝＝10
V。设在一个周期内R2两端的电压有效值为U，则×＋×＝×T，解得U＝5
V，则有P2＝＝
W＝25
W。故选项C正确。
命题点三　交变电流“四值”的理解和计算
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin
ωt
i＝Imsin
ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电流
(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值
(3)保险丝的熔断电流为有效值
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值
＝BL
＝n
＝
计算通过导线横截面的电荷量
【例4】
(多选)
(2020·山东济南市5月高考模拟)如图8所示为一台小型发电机结构示意图，线圈绕垂直匀强磁场方向的轴匀速转动，通过电刷接有一盏小灯泡。已知线圈匝数为N，内阻为r，转动的周期为T，小灯泡的电阻为9r，电压表的示数为U。从图示位置开始计时，下列说法中正确的是(　　)
图8
A.从开始计时到t＝过程中，通过灯泡的电荷量为
B.从开始计时到t＝过程中，灯泡消耗的电能为
C.线圈产生的电动势瞬时值表达式为e＝Ucos
t
D.线圈转动过程中穿过线圈的磁通量的最大值为
答案　BD
解析　由题意可知U＝E，得E＝U，最大感应电动势为Emax＝U，又Em＝NBSω＝NBS·，得NBS＝＝，从开始计时到t＝过程中，通过灯泡的电荷量为q＝＝＝＝，故A错误；电路中的电流为I＝，则从开始计时到t＝过程中，灯泡消耗的电能为E＝I2×9r×＝×9r×＝，故B正确；线圈产生的电动势瞬时值表达式为e＝Emaxcos
ωt＝Ucos
t，故C错误；线圈转动过程中穿过线圈的磁通量的最大值为Φmax＝BS＝，故D正确。
【变式5】
(多选)(2019·天津卷，8)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图9所示。下列说法正确的是(　　)
图9
A.时刻线框平面与中性面垂直
B.线框的感应电动势有效值为
C.线框转一周外力所做的功为
D.从t＝0到t＝过程中线框的平均感应电动势为
答案　BC
解析　中性面的特点是与磁场方向垂直，穿过线框平面的磁通量最大，磁通量变化率最小，则时刻线框在中性面上，A错误；电动势最大值为Em＝BSω＝Φmω＝Φm，对正弦交流电，E有＝＝，B正确；由功能关系知，线框转一周外力做的功等于线框中产生的焦耳热，W＝·T＝，C正确；由法拉第电磁感应定律知，＝＝＝，D错误。
【变式6】
(多选)(2020·四川成都市第二次诊断)如图10(a)为一交流发电机示意图，线圈abcd在匀强磁场中绕固定轴OO′沿顺时针方向匀速转动，图(b)是该发电机的电动势随时间t按余弦规律变化的图像。已知线圈电阻为2.5
Ω，定值电阻R＝10
Ω，电表均为理想交流电表。由此可以判定(　　)
图10
A.电流表读数为0.8
A
B.电压表读数为10
V
C.t＝0.1
s时刻，穿过线圈的磁通量为零
D.0～0.05
s内，通过电阻R的电荷量为0.04
C
答案　AC
解析　电动势有效值为E＝＝10
V，电流表的读数I＝＝
A＝0.8
A，电压表读数U＝IR＝8
V，选项A正确，B错误；t＝0.1
s时刻，感应电动势最大，此时穿过线圈的磁通量为零，选项C正确；0～0.05
s内，通过电阻R的电荷量为q＝Δt，＝＝＝，则q＝＝
C＝
C，选项D错误。
课时限时练
(限时：30分钟)
对点练1　交变电流的产生及变化规律
1.(2020·北京市朝阳区5月等级考模拟)图1甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，A为交流电流表。线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图甲所示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
图1
A.电流表的示数为20
A
B.线圈转动的角速度为50π
rad/s
C.t＝0.01
s时，穿过线圈的磁通量为零
D.t＝0.02
s时，线圈平面与磁场方向垂直
答案　C
解析　电流表的示数为I＝
A＝10
A，故A错误；由图乙可知，T＝0.02
s则角速度为ω＝＝
rad/s＝100π
rad/s，故B错误；由图乙可知t＝0.01
s时，感应电流最大，则此时穿过线圈的磁通量为0，故C正确；由图乙可知t＝0.02
s时，感应电流最大，则此时穿过线圈的磁通量为0，故D错误。
2.(2020·北京市石景山区上学期期末)如图2所示，一单匝正方形线圈abcd在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，沿着OO′观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈边长为L，电阻为R，转动的角速度为ω。当线圈转至图示位置时(　　)
图2
A.线圈中感应电流的方向为abcda
B.线圈中感应电流的大小为
C.穿过线圈的磁通量为BL2
D.穿过线圈磁通量的变化率为BL2ω
答案　D
解析　根据右手定则判断出，线圈中感应电流的方向为adcba，故A错误；线圈中的感应电动势为E＝BL2ω，线圈中的感应电流为I＝，故B错误；图示时刻ad、bc两边垂直切割磁感线，穿过线圈磁通量为0，故C错误；线圈中的感应电动势为E＝BL2ω，由法拉第电磁感应定律E＝得＝BL2ω，故D正确。
3.(多选)(2020·河北邯郸市上学期期末)如图3所示，交流发电机的线圈绕垂直于匀强磁场的水平轴逆时针匀速转动，每秒转动10转，线圈从图示位置开始计时，电流表的示数为1
A，已知线圈匝数为500匝，线圈内阻r＝1.0
Ω，外接电阻R＝9.0
Ω，以下判断正确的是(　　)
图3
A.图示时刻交变电流方向为ADCBA
B.通过线圈磁通量的最大值为×10－3
Wb
C.t＝
s时线圈磁通量的变化率为
Wb/s
D.t＝
s时外接电阻R所消耗的电功率为10
W
答案　AB
解析　由右手定则可知，图示时刻电流方向为ADCBA，故A正确；电动势的有效值E＝I(R＋r)＝1×(9.0＋1.0)V＝10
V，电动势的峰值Em
＝E＝10
V，感应电动势峰值Em＝NBSω，通过线圈磁通量的最大值Φm＝BS＝＝，代入数据解得Φm＝×10－3
Wb，故B正确；线圈做圆周运动的角速度ω＝2πn＝20π
rad/s，从图示位置开始计时，电动势的瞬时值表达式e＝Emsin(ωt＋90°)＝Emcos
ωt＝10cos(20πt
)V，t＝
s
时，感应电动势瞬时值e＝10
V，此时磁通量的变化率＝
Wb/s，故C错误；t＝
s时外接电阻R所消耗的电功率P＝I2R＝2R＝2×9
W＝9
W，故D错误。
4.(多选)[2020·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]一矩形金属线圈，绕垂直磁场方向的转轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t变化的规律如图4所示，下列说法中正确的是(　　)
图4
A.此交流电的频率为10
Hz
B.此感应电动势的有效值为
V
C.t＝0.1
s时，线圈平面与磁场方向垂直
D.在线圈平面与磁场方向成30°时，感应电动势的大小为1
V
答案　BC
解析　由图像知，周期T＝0.2
s，所以频率f＝5
Hz，A错误；感应电动势的最大值为2
V，有效值为E＝
V＝
V，故B正确；t＝0.1
s时，感应电动势为0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C正确；在线圈平面与磁场方向成30°时，感应电动势的大小e＝2sin
60°
V＝
V，故D错误。
对点练2　交流电有效值的求解
5.(2020·南京、盐城一模)一只电阻分别通过四种不同形式的电流，电流随时间变化的情况如下图所示，在相同时间内电阻产生热量最大的是(　　)
答案　D
解析　选项A、B中交变电流的有效值都为
A，选项C中恒定电流的大小为1.5
A，选项D中交变电流的有效值为2
A，根据热量的表达式Q＝I2Rt得出选项D正确。
6.(2020·北京市朝阳区上学期期末)A、B是两个完全相同的电热器，A、B分别通以图5甲、乙所示的交变电流。则(　　)
图5
A.通过A、B两电热器的电流有效值之比为IA∶IB
＝3∶4
B.通过A、B两电热器的电流有效值之比为IA∶IB
＝3∶2
C.A、B两电热器的电功率之比为
PA∶PB
＝3∶2
D.A、B两电热器的电功率之比为
PA∶PB
＝5∶4
答案　D
解析　对甲：IR＋2R＝IRT，解得IA＝I0，对乙：IB＝I0，则IA∶IB
＝∶2，选项A、B错误；根据P＝I2R可知，A、B两电热器的电功率之比为PA∶PB
＝5∶4，选项C错误，D正确。
对点练3　交变电流“四值”的理解和计算
7.(2020·北京市东城区上学期期末)一台手摇交流发电机，线圈内阻1.0
Ω，产生的电动势随时间变化的规律为e＝10sin(10πt)
V。发电机与9.0
Ω的电阻组成闭合电路。则(　　)
A.交变电流的频率为10
Hz
B.电动势的峰值为20
V
C.电路中电流的有效值为1.0
A
D.一周期内外接电阻消耗电能9.0
J
答案　C
解析　交变电流的频率为f＝＝
Hz＝5
Hz，选项A错误；电动势的峰值为10
V，选项B错误；电动势的有效值为E＝10
V，则电路中电流的有效值为I＝＝
A＝1.0
A，选项C正确；因为T＝＝0.2
s，则一周期内外接电阻消耗电能E电＝I2RT＝12×9×0.2
J＝1.8
J，选项D错误。
8.
(2020·山东泰安市4月多校联考)如图6甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线框产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框电阻为10
Ω，线框面积为0.1
m2，取π＝3.14，＝1.41。则(　　)
图6
A.该交流电的有效值为31.4
V
B.当线框平面与中性面的夹角为30°时，电动势的瞬时值为15.7
V
C.匀强磁场的磁感应强度为1
T
D.从t＝0到t＝0.01
s时间内，通过线框某一截面的电荷量为2.82×10－2
C
答案　D
解析　交流电瞬时值e＝31.4sin(ωt)
V＝31.4sin(100πt)
V，则交流电有效值为E＝＝31.4
V，选项A错误；当线框平面与中性面的夹角为30°时ωt＝30°，电动势的瞬时值为e＝31.4sin
30°
V＝17.4
V，选项B错误；电动势峰值Em＝BSω，则B＝＝
T，选项C错误；从t＝0到t＝0.01
s时间内即半个周期内通过线框某一截面的电荷量为q＝＝＝2.82×10－2
C，选项D正确。
9.(2020·浙江杭州市教学质量检测)如图7所示，KLMN是一个竖直的电阻为R的单匝矩形导体线框，全部处于磁感应强度为B的水平向右的匀强磁场中，线框面积为S，KL边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动(俯视逆时针转动)。下列说法正确的是(　　)
图7
A.在图示位置时，线框中的感应电动势为BSω
B.在图示位置时，线框中电流的方向是KLMNK
C.从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为
D.该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为
答案　D
解析　在图示位置时，线框中的感应电动势为e＝BSωcos
30°＝BSω，选项A错误；根据楞次定律可知，在图示位置时，线框中电流的方向是KNMLK，选项B错误；从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为＝＝＝＝，选项C错误；该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为I＝＝＝，选项D正确。
10.[2020·天津市等级考模拟(一)]如图8所示，线圈ABCD匝数n＝10，面积S＝0.4
m2，边界MN(与线圈的AB边重合)右侧存在磁感应强度B＝
T的匀强磁场，若线圈从图示位置开始绕AB边以ω＝10π
rad/s的角速度匀速转动。则以下说法正确的是(　　)
图8
A.线圈产生的是正弦交流电
B.线圈在转动过程中产生的最大感应电动势为40
V
C.线圈转动
s时瞬时感应电动势为40
V
D.线圈产生的感应电动势的有效值为40
V
答案　D
解析　线圈出了磁场不再产生感应电流，故线圈在有界磁场中产生正弦交流电的一半，故A错误；线圈在转动过程中产生的最大感应电动势为Em＝nBSω，代入解得Em＝80
V，故B错误；线圈从中性面位置开始计时，产生正弦式交变电流，其瞬时表达式e＝Emsin
ωt，当线圈转动
s时，转过的角度为，此时瞬时感应电动势为e＝Emsin
＝40
V，故C错误；在一个周期内，只有半个周期产生感应电动势，故线圈产生的电动势的有效值为R＝RT，解得E＝40
V，故D正确。
11.(多选)(2020·山东威海市模拟考试)如图9(a)所示为一线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流的u－t图像，假设将此电压加在图(b)所示的回旋加速器上给氘核加速，已知氘核的质量为3.3×10－27
kg，下列说法正确的是(　　)
图9
A.该交流电电压的有效值为2
000
kV
B.t＝0.5×10－7
s时，穿过线圈的磁通量最大
C.氘核在回旋加速器中运动的周期为1.0×10－7
s
D.加在回旋加速器上的匀强磁场的磁感应强度大小约为1.3
T
答案　BCD
解析　由图可知该交流电电压的最大值是2
000
kV，有效值为
kV＝1
000
kV,
选项A错误；t＝0.5×10－7
s时，线圈在中性面位置，穿过线圈的磁通量最大，选项B正确；氘核在回旋加速器中运动的周期与交流电电压的周期T相同为1.0×10－7
s，选项C正确；氘核在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝m，氘核运动的周期为T′＝＝，式中q＝1.6×10－19
C，m＝3.3×10－27
kg，欲使氘核能不断加速，必须满足T＝T′，解得B＝1.3
T，选项D正确。
12.(2020·北京市第13中学开学测试)如图10所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L1＝0.40
m、L2＝0.25
m，其匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0
Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)焊接在一起，并通过电刷和R＝3.0
Ω的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0
T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动，角速度ω＝2.0
rad/s。求：
图10
(1)电阻R两端电压的最大值；
(2)在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。
答案　(1)15
V　(2)157
J
解析　(1)线圈中感应电动势的最大值
Em＝nBSω＝nBL1L2ω＝20
V
线圈中感应电流的最大值Im＝＝5.0
A
电阻R两端电压的最大值Um＝ImR＝15
V。
(2)线圈中感应电流的有效值I＝＝
A
线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热
Q热＝I2T＝157
J。

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