资源简介

(共25张PPT)
北师大版数学八年级
精品教学课件
第一组
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”。国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派（公元前580--前500）首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理。
世界上对这个定理的证明方法很多，有500多种，其中包括大画家达·芬奇和美国总统加菲尔德的证法。
图1称为“弦图”，最早是由三国时期(公元200年)的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图2是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．
图1
图2
毕达哥拉斯定理：
　　“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．　
　　毕达哥拉斯（Pythagoras，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．
第二组
毕达哥拉斯发现勾股定理
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，最后毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。
正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
看 一 看
9
9
18
9
9
18
B
C
图1--1
A
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
C
图1--2
A
B
c
（2）观察图1-2
结果如何？
A
B
C
图1--3
A
B
C
图1--4
做一做
观察图1-3，图1-4，并填写下表：
A的面积(单位面积） B的面积(单位面积） C的面积（单位面积）
图1-3
图1-4
16
9
25
4
9
13
a
b
c
a2 + b2 = c2
面积A
面积B
面积C
=a2
=b2
=c2
面积A+面积B=面积C
议一议：
∟
The end
第三组 拼图法
b
a
c
利用四个一样大的直角三角形来拼一个新的图形，
从而得到勾股定理的证明。
美国总统证法
1881 年成为美国第 20 任总统
1876 年提出有关证明
伽菲尔德
第四组
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。
　　1876年一个周末的傍晚，伽菲尔德在郊外散步，突然发现附近的有两个小孩正在大声争论，由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，伽菲尔德问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
　　于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于给出了简洁的证明方法。
　　1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
我们的证明方法和第二组的比较
两个证明方法基本相同！
第五组 勾股定理的其他证法
c
印度婆什迦罗的证明
分开
a
b
www..cn
a
第六组
印度婆什迦罗(po shi jia luo)的证明
c
c2 = b2 + a2
b
出入相补
刘徽（生于公元三世纪）
三國魏晋时代人。
为古籍《九章算术》作注释。在注作中，提出以「出入相补」的原理来证明「勾股定理」。后人称该图为「青朱入出图」。
黄色部分面积为a2
绿色部分面积为b2
边长为c
c2
a2 + b2 = c2
www..cn
1972年发射的星际飞船“先锋10号”带着这张《青朱入出图》飞向太空。勾股定理课堂学习方案设计
年级 八年级（上册） 学科 数学 主 题 勾股定理 导学教师 卞霞
课型 综合解决课 课时 1 学习日期 2011年10月22日
教材分析 本节是义务教育课程标准实验教材北师大版本八年级数学上册第一章第一节。勾股定理是人类数学最伟大的发现之一，也是几何学中几个最重要、最基本的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，又是后续学习解直角三角形的基础，他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。勾股定理导致了无理数的发现以及第一次数学危机，有人把它提为人类科学史上的十大发现之一，天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的“黄金”。
学生分析 ● 知识基础：学生在知识上已掌握了直角三角形的一些性质、图形的变换、图形的面积公式、面积与代数恒等式、二次根式等知识以及其它学科的相关知识，这对学习本节知识做好了铺垫。● 认知水平与能力：学生已具备了一些简单的拼图、推理能力，但由于年龄和认知的特点，感性认识强于理性认识。● 任教班级学生特点：八年级学生,求知欲强,具有较强的动手能力,对游戏、小组合作等形式多样的学习方式很感兴趣,有较强的参与欲望。
设计理念 新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，通过学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，来倡导新的学习观，教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，根据活动的示范和指导培养学生大胆阐述并讨论的观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。从而营造一个接纳的、支持的、宽松的良好氛围进行学习。
教学目标 知识与技能：学生在建立勾股定理的探索过程中理解掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。过程与方法：通过走进生活发现数学，动手实践探究数学，联系实际运用数学的模式，学会运用数据描述信息、利用直观数据进行推测的方法，体会数形结合的思想。情感受态度与价值观：体验合作的愉快和成功的喜悦，感受数学发现方法，确立“实践出真知”的观念。通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
重点难点 重点：探索和证明勾股定理并能运用勾股定理解决简单的数学问题
难点：理解和证明勾股定理。
关键问题 通过学生互动研讨,加深对数形结合思想的理解,并配合由浅入深的练习，使学生了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
教学方法 1、问题发现法：在教师的启发引导下，鼓励学生积极参与，采用“探究—发现—证明—应用”的研究模式，让学生借助《问题导读—评价单》，自主探索，合作学习，归纳结论，掌握规律。2、尝试研讨法：通过教师指导，学生积极思考，主动学习预习，让学生理解勾股定理证明方法。3、问题训练法：通过学生尝试《问题训练—评价单》，教师针对个别问题进行点拨指导，实现全优的教育效果。4、拓展延伸法：通过教师的有效指导，学生小组合作等形式进行的勾股定理实际应用。
教学准备 教师准备：《问题导读----评价单》 《问题解决----评价单》《问题训练---评价单》Ppt，几何画板学生准备：拼图用的全等的直角三角形，以及Ppt
教 学 过 程 设 计
程序（要素） 时间 创设情景 教师行为 期望的学生行为
创设情境引入主题 20分钟 创设问题情境 【教师话白】由勾股树引出课题（教师板书课题）在结构化预习中我们借助《问题导读—评价单》预习勾股定理的证明。教师对知识进行规范指导 学生分组展示勾股定理的证明。
小组讨论自主合作 6分钟 创设自主探究情境 【教师话白】通过我们的学习，生成了一些非常有价值的问题。老师把这些问题进行了归纳、整理，生成了《问题解决—评价单》。让我们再次走进《勾股定理》，共同探究一下《问题解决—评价单》上的问题。教师巡视指导，个性化指导。 1、学生在小组内交流、讨论热烈。2、小组内积极展示，发表自己的见解，发现不足之处互相补充、完善。3、学科长确定展示题目及准备工作。
重点问题展示解决 5分钟 创设展示情境 【教师话白】我们对于所要解决的问题已经有了很好的思路，哪个小组展示汇报一下。小组展示，其他小组倾听、追问。组间交流，知识共享。教师质疑、评价、补充。 展示到位， 全员参与。
问题训练小组评价 10分钟 创设评价情境 【教师话白】我们对于《问题解决---评价单》中的问题是否很好的掌握，让我们走进训练单的探究中。 1、学生自主完成，小组评价。2、小组竞赛，全班评价。
总结归纳提升意义 2分钟 创设反思情境 【教师话白】1、本节课你学到哪些知识？学习中你有何收获与体会？2、教师补充。 1、学生总结知识点；2、谈体会（如何分析问题、解决问题）
《勾股定理》问题导读—评价单
班级： 姓名： 学号： 指导教师： 卞霞
学习目标：学生在建立勾股定理的探索过程中理解掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。通过走进生活发现数学，动手实践探究数学，联系实际运用数学的模式，学会利用直观数据进行推测的方法，体会数形结合的思想。
学习过程：
一、以小组为单位来探究勾股定理的证明。
活动一：关于勾股定理历史的大概讲解
要求：（1）时间控制在3分钟以内
（2）可以上网搜索有关，通过设计ppt等辅助手段
（3）语言精简、准确、生动。
活动二：用面积法证明
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积。
正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
（2）观察图1-2结果如何？
观察图1-3，图1-4，并填写下表：
A的面积(单位面积） B的面积(单位面积） C的面积（单位面积）
图1-3
图1-4
结论
活动三：用拼图证明
用拼图的办法，做四个全等的直角三角形，拼成一个大的正方形
要求：（1）学生拼出图形写出推导过程
（2）书写清晰，和学生有互动
方法一 方法二
活动四：总统证法
要求：（1）学生拼出图形写出推导过程
（2）书写清晰，和学生有互动
活动五：其他证明方法欣赏
《勾股定理》问题解决—评价单
班级： 姓名： 学号： 指导教师： 卞霞
利用勾股定理解决以下问题：
问题一：判断以下语句是否正确，并说明理由
(1)在中，若则。
(2)在中，若则。
(3)在中,若则。
问题二：求出下列各图中x值
问题三
诗情画意里的勾股定理
问题四（拓展题目）
如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C,小虫走的路程最短为____厘米
附件三： 《勾股定理》问题训练—评价单
班级： 姓名： 学号： 指导教师：卞霞
一、（夯实基础）
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
② 若c=25，b=15，则a=________。
二、（能力提高）如图，受台风韦伯影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
三、（拓展训练）
3、如图,已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；
(2)△ABC的面积 。
表现能力 合作能力 问题训练评价单完成情况 总评
个人评价
学科长评价
备注：评价等级为：A+,A,B+,B
简介：本课内容是出自义务教育课程标准实验教科书北师大版本，八年级数学上册第一章第一节的《勾股定理》，采用“先学后导---自主合作---展示评价”的教学模式，在学生自主、合作、探究的基础上，通过《问题导读—评价单》的引导,进行观察、分析、归纳、得出，发展学生有条理地思考问题和用数学知识解决问题的能力。通过生生互动、组间互动、师生互动，生成《问题解决—评价单》，继而培养学生有针对性地从问题中收集、整理、分析、处理问题的能力，从而突出重点，突破难点，完成教学目标。借助《问题训练—评价单》让学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，充分发挥学生的聪明才智。体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学新理念。
A
B
C
图1--3
A
B
C
图1--4
B
C
图1--1
A
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
C
图1--2
c
b
a
a
a
b
c
b
c
（1）
(2)
A
C
C
A
B
a
b
c
4米
3米
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