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2021-2022学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
2．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（　　）
A．4m
B．6m
C．8m
D．10m
3．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）
A．12cm
B．17cm
C．20cm
D．25cm
4．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（　　）cm．
A．5
B．5π
C．3+
D．3+
5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4
B．3≤h≤4
C．2≤h≤4
D．h＝4
6．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　）
A．5尺
B．10尺
C．12尺
D．13尺
7．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）
A．600米
B．800米
C．1000米
D．不能确定
8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，若该圆柱底面周长为40cm，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）
A．20cm
B．18cm
C．25cm
D．40cm
9．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．14cm
B．15cm
C．24cm
D．25cm
10．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米．
A．1.3米
B．1.4米
C．1.5米
D．1.2米
二、填空题
11．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度　
　．
12．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为11cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为　
　cm．
13．现将一支长26cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为　
　cm．
14．长方形零件尺寸（单位：mm）如图，则两孔中心A和B的距离为
　
　mm．
15．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是　
　m．
三、解答题
16．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，求需要绿化部分的面积．
17．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
18．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为25米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；
（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．
求风筝的高度CE．
19．为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
20．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
21．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．
（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．
参考答案
1．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．
2．解：在Rt△AOB中，AB＝10m，
∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．
即少走了4m．
故选：A．
3．解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
4．解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：
则AB的长度为所求的最短距离，
根据题意圆柱的高为4cm，底面半径为cm，
则可以知道AC＝4cm，BC＝底面周长，
∵底面周长为2πr＝2×π×＝6（cm），
∴BC＝3cm，
∴根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，
即AB2＝42+32，
∴AB＝5（cm）．
答：蚂蚁至少要爬行5cm路程才能食到食物，
故选：A．
5．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
6．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故选：C．
7．解：根据题意得：如图：
OA＝40×20＝800m．
OB＝40×15＝600m．
在直角△OAB中，AB＝1000米．
故选：C．
8．解：如图：是侧面展开图的一半，
∵高为15cm，底面周长为40cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝20（cm），BD＝15﹣3+AE＝15（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝25（cm）．
故选：C．
9．解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，
AC＝24，CB′＝7，
在Rt△ACB′，AB′＝25，
所以它爬行的最短路程为25cm．
故选：D．
10．解：如图：
∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝1.3（m）．
故选：A．
11．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
12．解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形，
连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，
故AB＝13（cm）．
故答案为：13．
13．解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝24（cm），
故答案为：24．
14．解：由题意得：AC＝150﹣60＝90（mm），BC＝180﹣60＝120（mm），
在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理，得：AB＝150（mm），
故答案为：150．
15．解：如图，将这个圆柱体侧面展开得，
由勾股定理得，
AC＝13，
故答案为：13．
16．解：在Rt△ADC中，CD＝6，AD＝8，
由勾股定理得，AC＝10，
在△ABC中，AC2+BC2＝100+576＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴需要绿化部分的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×10×24﹣×6×8＝96，
答：需要绿化部分的面积为96m2．
17．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝22+（x﹣1）2，
解得：x＝2.5，
答：绳索AD的长度是2.5m．
18．解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，
所以，CD＝±60（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），
答：风筝的高度CE为61.68米．
19．解：（1）村庄能听到宣传；
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝800米，
∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
20．（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴BC=7米，
∴这个梯子底端离墙有7米；
（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴CE=15（米），
BE＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
21．解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠AON＝45°，
∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，
∴“海天”号沿西北方向航行；
（2）过点F作FD⊥PE于D，
OF＝16×2＝32，
∵∠NOF＝60°，
∴∠FOD＝90°﹣60°＝30°，
∴FD＝，
∴16÷80＝0.2（小时），
∵0.2＜0.5，
∴能在半小时内回到海岸线．

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