资源简介

第三章
圆锥曲线的方程
3.3
抛物线
3.3.1
抛物线及其标准方程
学案
一、学习目标
1.
掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2.
进一步理解解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
二、基础梳理
1.
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_________，直线l叫做抛物线的_________.
2.
标准方程：
图形
标准方程
交点坐标
准线方程
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三、巩固练习
1.在平面内，“点到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点的轨迹为抛物线”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.抛物线的焦点坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是(
)
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为(
)
A.4
B.
C.4或
D.2或
5.已知抛物线的准线方程为，则实数的值为(
)
A.8
B.
C.
D.
6.设抛物线上一点到轴的距离是6，则点到该抛物线焦点的距离为(
)
A.12
B.8
C.6
D.4
7.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是(
)
A.
B.
C.0
D.
8.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则(
)
A.
B.
C.1
D.2
9.若动点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，，则(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
11.已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
12.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________.
13.已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则___________.
14.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点为直线与坐标轴的交点.
15.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米?
参考答案
基础梳理
相等；焦点；准线
；；
；；
；；
；；
巩固练习
1.答案：B
解析：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线；若点的轨迹为抛物线，由抛物线的定义，知点到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B.
2.答案：D
解析：抛物线的方程可化为，可知焦点在轴上，且，所以焦点坐标是.故选D.
3.答案：C
解析：方程可化为，它表示点到坐标原点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义，可知动点的轨迹是抛物线.故选C.
4.答案：C
解析：由题可设抛物线的标准方程为，由点到焦点的距离为4，得，.将点代入，得.
5.答案：C
解析：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，故选C.
6.答案：B
解析：点到轴的距离为6，点到抛物线的准线的距离.根据抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离为8.
7.答案：B
解析：抛物线的准线方程为，设点的纵坐标是.因为抛物线上一点到焦点的距离为1，所以点到准线的距离为1，即，所以，所以点的纵坐标是.故选B.
8.答案：D
解析：抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，所以，解得.故选D.
9.答案：D
解析：依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离，因此其轨迹是抛物线，且，顶点在原点，焦点在轴正半轴上，所以其方程为，故选D.
10.答案：A
解析：由抛物线的定义可得..
11.答案：C
解析：易知抛物线的焦点为，准线方程为.连接，延长交准线于点，如图所示.根据抛物线的定义，知.
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.故选C.
12.答案：
解析：如图，连接，过点分别作直线和的垂线，垂足分别为，则.设点到直线的距离为，到直线的距离为，则，当三点共线时，取得最小值，即为点到直线的距离.
13.答案：
解析：由抛物线的定义可得.又，所以点为线段的中点，即，所以，解得.
14.答案：（1）当抛物线的标准方程为时，
将点代入，得，
即所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的标准方程为时，
将点代入，得，
即所求抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
（2）令，得；令，得，
所以抛物线的焦点坐标为或.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
15.答案：（1）如图所示.
根据题意可设该抛物线的方程为.
因为点在抛物线上，所以该抛物线的方程为.
（2）设车辆高为h米，则，故，
代入方程，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米.

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