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专题11
不等式
重点题型
题型一、不等关系的判断
1．不等式的性质
①对称性：；
②传递性：a>b，b>c?；
③可加性：a>b?a＋c>b＋c；
④a>b，c>d?；
⑤可乘性：；a>b，c<0?ac⑥a>b>0，c>d>0?；a>b>0,0⑦乘方法则：；
⑧开方法则：a>b>0?(nN，n≥2)．
2．作差法：设a，bR，则，a作商法：设a>0，b>0，则a>b?，a3．函数法：即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.
题型二、一元二次不等式及其解法
1．求一元二次不等式的解集的步骤：
（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；
（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；
（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：且．
（2）恒成立的充要条件是：且．
（3）恒成立的充要条件是：且．
（4）恒成立的充要条件是：且．
（5）恒成立的充要条件是：且或且．
（6）恒成立的充要条件是：且或且．
3．三个“二次”之间的关系（需掌握）
判别式
的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集
题型三、基本不等式
1．基本不等式：
，（1）基本不等式成立的条件：；（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．
2．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
3．常用结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）?
考点集训
一、单选题
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，下列命题为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且则
3．已知，，若，则的最小值为
A．4
B．
C．2
D．
4．“”是“函数的最小值大于4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设，，则有
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，则下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．实数，，满足，，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
9．若实数为方程的两根，则的最小值为（
）
A．8
B．14
C．
D．
10．已知，，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（
）（单位：cm2）.
A．8
B．10
C．16
D．20
13．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
14．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
15．设，，且，则下列关系式中不可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
17．设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
18．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　）
A．
B．3
C．4
D．
19．已知正数，满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
三、填空题
20．不等式的解集为______.
21．若关于的不等式的解集是，则______.
22．已知，，则的取值范围是______.
23．若，，则的最小值为______
24．若关于x的不等式对于满足的一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______．.
25．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
26．设，，则的当_______时，最小值为_________，
四、解答题
27．设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若，
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
28．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－
(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
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专题11
不等式
重点题型
题型一、不等关系的判断
1．不等式的性质
①对称性：；
②传递性：a>b，b>c?；
③可加性：a>b?a＋c>b＋c；
④a>b，c>d?；
⑤可乘性：；a>b，c<0?ac⑥a>b>0，c>d>0?；a>b>0,0⑦乘方法则：；
⑧开方法则：a>b>0?(nN，n≥2)．
2．作差法：设a，bR，则，a作商法：设a>0，b>0，则a>b?，a3．函数法：即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.
题型二、一元二次不等式及其解法
1．求一元二次不等式的解集的步骤：
（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；
（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；
（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：且．
（2）恒成立的充要条件是：且．
（3）恒成立的充要条件是：且．
（4）恒成立的充要条件是：且．
（5）恒成立的充要条件是：且或且．
（6）恒成立的充要条件是：且或且．
3．三个“二次”之间的关系（需掌握）
判别式
的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集
题型三、基本不等式
1．基本不等式：
，（1）基本不等式成立的条件：；（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．
2．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
3．常用结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）?
考点集训
一、单选题
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，故选D.
2．已知，下列命题为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且则
【答案】B
【解析】若则，故A不正确；
B：因为，，则，所以，故B正确；
C：当时，可得不等式不成立，故C不正确．
D：若，满足条件，但，所以D不正确.
故选B．
3．已知，，若，则的最小值为
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，当且仅当时取等号，则，即最小值为4．故选A．
4．“”是“函数的最小值大于4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则的最小值为；
若的最小值大于4，则，且，则，故选C．
5．设，，则有
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
．故选A．
6．已知，，，则下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以，
所以.故选C
7．实数，，满足，，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为且，所以不妨设，则，，
则.
因为，，所以，又，
所以，又，所以.故选B.
8．若，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】A
【解析】∵，
又，，当且仅当即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，故选A．
9．若实数为方程的两根，则的最小值为（
）
A．8
B．14
C．
D．
【答案】A
【解析】，，或.
.
或，且离对称轴更近，∴当时，取得最小值8.故选A.
10．已知，，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以不等式可化为，
整理可得，解得，即，故选C．
11．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得，
当且仅当时取等号．因此，结合，可知．
则符合条件，因此正实数的取值范围是.故选D．
12．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（
）（单位：cm2）.
A．8
B．10
C．16
D．20
【答案】C
【解析】设BC=x，连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4），
S＝2．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时
故选C.
13．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【解析】又因为不等式的解集为，
则，
又，，
则不等式即为，即，
由于不等式的解集为，则，解得，.
不等式即为，即为，解得.故选B.
14．若关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【解析】∵不等式，即恰有2个整数解，
∴，解得或.
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得；
当时，不等式的解集为，易知，∴个整数解为，，
∴，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是-或.
故选B.
15．设，，且，则下列关系式中不可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因，且，则有且，于是得，函数，则在上递减，在上递增，
当时，有成立，A选项可能成立；
当时，有成立，C选项可能成立；
由知，即取某个数，存在，
使得成立，如图，即B选项可能成立；
对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，所以不可能成立的是D.故选D.
二、多选题
16．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对A：当时，，即，故A错误；
对B：因为，，所以，即，由于在R上单调递减，所以，故B正确；
对C：当时，，，又由于在R上单调递增，所以，即，故C错误；
对D：，故D正确.
故选BD.
17．设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，由，为正实数，且，可得，所以，
所以，
若，则，可得，这与矛盾，故成立，所以A中命题为真命题；
对于B选项，取，，则，但，所以B中命题为假命题；
对于C选项，取，，则，但，所以C中命题为假命题；
对于D选项，由，则，
即，可得，所以D中命题为真命题.
故选AD.
18．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】CD
【解析】由xy﹣2x＝y，知，
则，当且仅当，时，等号成立，
从选项可知，CD满足条件，故选CD.
19．已知正数，满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．有最小值
【答案】ACD
【解析】A：，则当且仅当，时取等号，正确；
B：，当且仅当时取等号，错误；
C：，当且仅当时取等号，正确；
D：，故最小值为，正确.
故选ACD.
三、填空题
20．不等式的解集为______.
【答案】
【解析】不等式变形为，即，
所以不等式的解集为：，即为.
21．若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，故答案为：1
22．已知，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】令
则,,
又①
,
②
①+②得.
23．若，，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以，
当且仅当
即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：.
24．若关于x的不等式对于满足的一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______．.
【答案】
【解析】∵∴不等式可转化为.
令.
∵∴当,即时,函数取得最大值,
∴
25．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．故答案为：
26．设，，则的当_______时，最小值为_________，
【答案】2
9
【解析】，又且，
∴原式，当且仅当时等号成立，∴当时，的最小值为.故答案为：，.
四、解答题
27．设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若，
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知可得，的两根是，1
所以，解得．
（2）①
，
当时等号成立，
因为，，，解得，时等号成立，
此时的最小值是9．
②在上恒成立，
∴，
又因为代入上式可得
解得：．
28．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－
(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【解析】（1）由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－
(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×
(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
（2）因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
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