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1.1.1空间向量及其线性运算
同步练习
一．单选题
1．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是　　
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在平行六面体的棱所在向量中，与向量模相等的向量有　　
A．0个
B．3个
C．7个
D．9个
3．如图，在四面体中，设是的中点，则等于　　
A．
B．
C．
D．
4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则　　
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在平行六面体中，设是的中点，试用表示　　
A．
B．
C．
D．
6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是　　
A．
B．
C．
D．
7．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则　　
A．
B．
C．
D．
8．在平行六面体中，若，则等于　　
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．在平行六面体中，下列各式中运算结果为的是　　
A．
B．
C．
D．
10．在四面体中，，分别是，上的点，且，则　　
A．
B．
C．
D．
11．下列条件中，使点与，，三点一定共面的是　　
A．
B．
C．
D．
12．已知正方体中，的中点为，则下列互为相反向量的是　　
A．与
B．与
C．与
D．与
三．填空题
13．在三棱柱中，若，，，则　
　．（用向量，，表示）
14．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为　　．
15．①若，则，，，四点共线；
②若，则，，三点共线；
③若，为不共线的非零向量，，，则；
④若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则．
其中是真命题的序号是　
　．
16．已知，，三点不共线，是平面外任一点，若，且平面，则　　．
四．解答题
17．如图，已知、分别为四面体的面与面的重心，且为上一点，且，设，，，试用，，表示，．
18．如图所示，在平行六面体中，为的中点．
（1）化简：；
（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值．
1.1.1空间向量及其线性运算
同步练习答案
1．解：①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，
它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，
不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同；
③真命题的方向相同，模也相等，应有；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．
故选：．
2．解：如右图，与向量模相等的向量有：，，，，，，个．
故选：．
3．解：是的中点，
，
故选：．
4．解：在四棱锥中，底面是正方形，为中点，
，，，
．
故选：．
5．解：
．
故选：．
6．解：在三棱柱中，为的中点，若，，，
．
故选：．
7．解：由，，共面知：
，解得，
故选：．
8．解：平行六面体中，，
则，解得，
所以．
故选：．
9．解：，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项正确；
，故选项正确．
故选：．
10．解：在中，由，可得，
所以，
从而，
．
故选：．
11．解：对于，
，
，
故，故，，共线，故，，，共面；
或由得：，，为共面向量，故，，，共面；
对于，故，，，共面；
对于，，显然不满足，故，错误；
故选：．
12．解：如图，
根据图形可看出：选项，的两向量互为相反向量；，，选项的两向量不是相反向量；，和互为相反向量，选项的两向量互为相反向量．
故选：．
13．解：．
故答案为：．
14．解：，，，
，
又，，三点共线，，
，，
故答案为：．
15．解：①若，则，，，四点共线或，因此是假命题；
②若，则，，三点共线，是真命题；
③若，为不共线的非零向量，，，则，，是真命题；
④若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则，是真命题．
其中是真命题的序号②③④．
故答案为：②③④．
16．解：由题意，，三点不共线，点是平面外一点，
且，，，四点共面，由共面向量定理的推论可得：
，解得，
故答案为：．
17．解：
；
．
18．解：（1）
（2）
、、

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