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第4章　数　　列
4．1　数　　列
第1课时　数列的概念与简单表示法
必备知识·自主学习
导思
1.什么是数列？什么是数列的通项公式？2．怎样根据数列的前几项写出数列的通项公式？
1.数列的有关概念
数列
按照一定次序排列的一列数称为数列
项
数列中的每个数都叫作这个数列的项
首项
数列的第1项称为首项
2.数列的表示
①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；
②字母表示：上面数列通常记为{an}．
　数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是同一个数列吗？
提示：数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．
3．数列的分类
类别
含义
按项数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4．数列的通项公式
一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
5．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
　数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
提示：数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)1，1，1，1是一个数列．(　　)
(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.(　　)
(3)每一个数列都有通项公式．(　　)
(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．(　　)
(5)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第24项．(　　)
提示：(1)√.1，1，1，1显然符合数列的概念．
(2)×.数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1，所以第10项是19.
(3)×.某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，若不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
(4)×.数列除递增、递减数列外，还有不增也不减的常数列以及摆动数列．
(5)√.an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　)
A.第9项
B．第10项
C．第11项
D．第12项
【解析】选C.由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11.
3．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为(　　)
A.an＝n
B．an＝n＋1
C.an＝n＋2　
D．an＝2n
【解析】选C.经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．
【解析】当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.
当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.
答案：1　－1
关键能力·合作学习
类型一　数列的概念与分类(数学抽象)
1．下列说法中不正确的是(　　)
A.数列a，a，a，…是无穷数列
B.1，－3，，－7，－8，10不是一个数列
C.数列0，－1，－2，－4，…不一定是递减数列
D.已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
2．已知下列数列：
①2
011，2
012，2
013，2
014，2
015，2
016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin
，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号).
【解析】1.选B.选项A，D显然正确；对于选项B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于选项C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．
2．①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
答案：①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
数列及其分类的判定方法
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．
类型二　由数列的前几项求通项公式(逻辑推理)
【典例】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，3，，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999
9；
(4)3，5，3，5.
四步
内容
理解题意
条件：数列的前四项结论：数列的通项公式
思路探求
求数列的通项公式时，可考虑将个别项或各项进行适当的变形；数列的通项公式不唯一．
书写表达
(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看成是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
题后反思
观察、分析数列中各项的特点是最重要的，找项与序号之间的规律，利用熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)进行转换，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
　根据数列的前几项求其通项公式的方法
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7，77，777，7
777.
【解析】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9
999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1
000－1)，×(10
000－1)，即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N
.
类型三　数列通项公式的应用(数学运算)
角度1　计算指定项　
【典例】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
【思路导引】(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；
(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．
【解析】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
　若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？
【解析】(1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
角度2　确定数列单调性及最值　
【典例】在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N
，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【思路导引】将相邻的后项减前项，运用作差法比较大小．
【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，
所以当0时，an<0，
所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，
所以当an＋1－an>0时，n>，
故数列{an}从第4项开始递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即这个数列有最小值，最小值为－36.
　通项公式的应用方法
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，那么是这个数列的第______项．
2．已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N
)，则数列{an}的最大项是第________项．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．
【解析】1.因为＝，
所以n(n＋2)＝10×12，所以n＝10.
答案：10
2．因为an＝－＋是关于n的二次函数，
又n∈N
，所以当n＝12或n＝13时，an最大．
答案：12或13
3．因为an＝2n2－10n＋4＝2－，
所以当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.
备选类型　归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)
【典例】观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________个小圆圈．
【解析】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1.
故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
归纳的应用
归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．
　如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　)
A．an＝n，n∈N
B．an＝，n∈N
C．an＝，n∈N
D．an＝n2，n∈N
【解析】选C.因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，
OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
课堂检测·素养达标
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　)
A．11
B．12
C．13
D．14
【解析】选C.观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　)
A．第5项
B．第6项
C．第4项或第5项
D．第5项或第6项
【解析】选A.an＝－2＋，
因为n∈N
，5<<6，且a5＝55，a6＝54，
所以数值最大的项为第5项．
3．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝(　　)
A．
B．－
C．
D．
【解析】选C.依题意知，a5－a4＝
－＝＋－＝.
4．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项．
【解析】令＝8，解得n＝11.
答案：11
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11
-第2课时　数列的通项公式与递推公式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是数列的递推公式？2．什么是数列的前n项和？
1.递推公式
(1)概念：如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式．
(2)作用：利用递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．
　(1)数列1，2，4，8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？
(2)所有的数列都有递推公式吗？
提示：(1)an＋1＝2an；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．
2．数列的表示方法
数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
3．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．
　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
提示：不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)递推公式是表示数列的一种方法．(　　)
(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项．(　　)
(3)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)
提示：(1)√.递推公式也是给出数列的一种重要方法．
(2)√.只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项．
(3)√.由前n项和的定义可知正确．
2．符合递推关系式an＝an－1(n≥2)的数列是(　　)
A．1，2，3，4，…
B．1，，2，2，…
C.，2，，2，…　
D．0，，2，2，…
【解析】选B.B中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.
3．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)
A.－3
B．－11
C．－5
D．19
【解析】选D.由an＋1＝an＋2－an，
得an＋2＝an＋an＋1，
则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.
4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．
【解析】由a1＝1，an＝1＋，
得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
答案：
5．已知数列的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为________．
【解析】由已知a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.
答案：8
关键能力·合作学习
类型一　由递推公式求数列的项(数学运算)
1．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第4项是(　　)
A.
B．
C．
D．
2．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(　　)
A.
B．
C．
D．
3．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
021＝________．
【解析】1.选C.a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
2．选C.由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
3．计算得a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝.
故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又因为2
021＝673×3＋2，所以a2
021＝a2＝.
答案：
　由递推公式求数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
　【补偿训练】
数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
【解析】由a－anan＋2＝(－1)n，
得an＋2＝
eq
\f(a－（－1）n,an)
，
又因为a1＝1，a2＝3，所以a3＝
eq
\f(a－（－1）1,a1)
＝＝10，a4＝
eq
\f(a－（－1）2,a2)
＝＝33，a5＝
eq
\f(a－（－1）3,a3)
＝＝109.
所以数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
类型二　由递推公式求通项公式(逻辑推理)
角度1　累差法　
【典例】已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an.
【思路导引】先将an＋1＝an＋变形为an＋1－an＝－，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．
【解析】因为an＋1－an＝，
所以a2－a1＝；
a3－a2＝；a4－a3＝；…；
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－.
所以an＋1＝1－，所以an＝－(n≥2).
又因为n＝1时，a1＝－1，符合上式，所以an＝－(n∈N
).
　将条件变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”求数列{an}的通项公式．
【解析】因为anan－1＝an－1－an，所以－＝1.
所以＝＋＋＋…＋
＝2＋＝n＋1.所以＝n＋1(n≥2)，
又a1＝也适合上式，
所以an＝.
角度2　累乘法　
【典例】设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
【思路导引】先将an＝an－1(n≥2)变形为＝，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．
【解析】因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
所以＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，
所以an＝(n∈N
).
由递推公式求通项公式的方法
1．累差法：形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)求通项公式；
2．累乘法：形如＝f(n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)求通项公式．
1．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N
)，则数列的通项公式为(　　)
A．an＝3n＋1
B．an＝3n
C．an＝3n－2
D．an＝3(n－1)
【解析】选C.因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.
所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，
所以an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2.
当n＝1时，也适合上式．
2．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________．
【解析】由(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，则a100＝a1···…·
＝1×××…×＝5
050.
答案：5
050
类型三　由an与Sn的关系求通项公式(逻辑推理)
【典例】已知数列满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n，求数列的前2
020项和S2
020.
四步
内容
理解题意
条件：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2结论：数列的通项公式
思路探求
(1)将n换为n－1得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和．
书写表达
(1)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，所以nan＝n2－(n－1)2＝2n－1，即an＝2－，当n＝1时，a1＝1也满足，所以an＝2－.(2)S2
020＝b1＋b2＋…＋b2
020＝－＋＋…－＋＝1－＝.
题后反思
解决an和Sn关系问题，常常利用an＝解决．
由an与Sn的关系求通项公式的方法
1．对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有
an＝这一关系对任何数列都适用．
2．若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示；
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
(1)已知数列的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)
A．n
B．n2
C．2n＋1
D．2n－1
(2)已知数列的前n项和Sn＝n2－3n－1，则an＝________．
【解析】(1)选D.当n＝1时，a1＝S1＝12＝1，
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得an＝n2－2＝2n－1，
验证当n＝1时，a1＝2×1－1＝1满足上式．
故数列的通项公式为an＝2n－1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝1－3－1＝－3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n－1－[(n－1)2－3(n－1)－1]＝2n－4，
当n＝1时，2－4＝－2≠a1，所以an＝
答案：
备选类型　数列的周期性(直观想象、逻辑推理)
【典例】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N
，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2
020项？
【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化．
【解析】a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：因为an＋2＝an＋1－an，
所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
所以数列{an}是周期数列，且T＝6.
所以a2
020＝a336×6＋4＝a4＝－1.
　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律．
　已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是(　　)
A．x100＝－a，S100＝2b－a
B．x100＝－b，S100＝2b－a
C．x100＝－b，S100＝b－a
D．x100＝－a，S100＝b－a
【解析】选A.x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
所以{xn}是周期数列，周期为6，所以x100＝x4＝－a，
因为x1＋x2＋…＋x6＝0，
所以S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.
课堂检测·素养达标
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是(　　)
A．1
B．
C．
D．
【解析】选B.由a1＝1，所以a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.
2．已知数列的前n项和为Sn，若Sn＝，n∈N
，则a2＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
【解析】选A.因为Sn＝，所以a1＝S1＝＝1，
因为S2＝a1＋a2＝，所以a2＝－1＝－.
3．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N
)，且a1＝1，则a17＝(　　)
A．13
B．14
C．15
D．16
【解析】选A.由an＋1＝?an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13.
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N
)，则a2
020＝________．
【解析】因为a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，所以{an}的周期为2，所以a2
020＝a2＝－.
答案：－
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-
11
-4．2　等
差
数
列
4．2.1　等差数列的概念
4．2.2　等差数列的通项公式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等差数列？2．等差数列的通项公式是什么？3．什么是等差中项？
1.等差数列的定义
(1)条件：①从第2项起．
②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的公差，常用d表示．
　(1)为什么强调“从第2项起”？
提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
　(2)如何理解“每一项与前一项的差”？
提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论：A叫作a与b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝a＋b．
　等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？
提示：2A＝a＋b?A－a＝b－A?A＝.
3．等差数列的通项公式
递推公式
通项公式
an＋1－an＝d(n∈N
)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N
)
　(1)怎样从函数角度认识等差数列？
提示：若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
(2)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
提示：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．(　　)
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
提示：(1)×.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)√.当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
(4)√.若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　)
A.4－2n　　　B．2n－4　　　C．6－2n　　　D．2n－6
【解析】选C.an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.
3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
【解析】(－3)－(－6)＝3，故d＝3.
答案：3
4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
【解析】因为三内角A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
答案：60°
关键能力·合作学习
类型一　等差中项的应用(数学运算)
1．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26
B．29
C．39
D．52
【解析】选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，
所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，
所以x＋y＋z＝39.
2．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　)
A.a＝－b　　　　
B．a＝3b
C.a＝－b或a＝3b
D．a＝b＝0
【解析】选C.由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
所以＝，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
3．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
【解析】由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
答案：3
　等差中项的应用方法
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
).
【补偿训练】
在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
【解析】因为－1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5.
所以该数列为－1，1，3，5，7.
类型二　等差数列的通项公式及其应用(数学运算)
【典例】(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
四步
内容
理解题意
条件：等差数列的任意两项结论：求通项公式
思路探求
设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
书写表达
设等差数列的首项为a1，公差为d，(1)因为a4＝7，a10＝25，则得所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通项公式an＝3n－5(n∈N
).(2)方法一：由得解得a1＝，d＝－，所以a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.方法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，所以a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
题后反思
应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷
基本量法求通项公式
根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)
A．15　
　　　B．22　
　　　C．7　　　
　D．29
【解析】选A.设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，
(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
类型三　等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【思路导引】要判断数列是否为等差数列，要先求－的表达式，再求出数列的通项公式．
【解析】(1)数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，所以an＝.
　将典例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N
)”试判断数列{an}是否是等差数列．
【解析】当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，
但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．
　等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N
)?{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
【解析】(定义法)因为bn＋1＝＝＝，
所以bn＋1－bn＝－
＝＝，为常数(n∈N
).
又b1＝＝，
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(等差中项法)因为bn＝，
所以bn＋1＝＝＝.
所以bn＋2＝
＝
＝.
所以bn＋bn＋2－2bn＋1
＝＋－2×＝0.
所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N
)，
所以数列{bn}是等差数列．
【补偿训练】
已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)由an＋1＝3an＋3n，
两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，
故an＝n·3n－1，n∈N
.
类型四　等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N
)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
【思路导引】设法说明－是常数．
【解析】因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，
即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，
即－＝(n≥2).
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
　(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养．
1．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N
).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
【解析】(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)因为an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N
)，
所以＝＋1(n≥2，且n∈N
)，
即－＝1(n≥2，且n∈N
)，
所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，
所以an＝·2n.
2．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，
即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
所以{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
所以{an}的通项公式为an＝
课堂检测·素养达标
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．6
【解析】选B.设{an}的公差为d，根据题意知：
a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.
2．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
A．a11
B．a10
C．a9
D．a8
【解析】选C.|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|，
所以n＝9时，|an|最小．
3．已知数列{an}，对任意的n∈N
，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
【解析】选A.由题意知an＝2n＋1，所以an＋1－an＝2.
4．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
【解析】＝
＝＝.
答案：
5．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．
【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，所以a＝3.所以这三个数分别为3－d，3，3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d＝－1.
所以这三个数分别为4，3，2.
答案：4，3，2
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-
12
-4．2.3　等差数列的前n项和
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等差数列的前n项和公式？2．怎样推导等差数列的前n项和公式？
1.等差数列的前n项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
　求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Sn＝；若已知首项、公差和项数，则选用公式Sn＝na1＋d.
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n.
　等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
提示：不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．(　　)
(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．(　　)
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．(　　)
(4)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1(　　)
提示：(1)×.不管公差是不是零，都可应用公式求和．
(2)×.因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和．
(3)√.等差数列的前n项和是关于n的缺常数项的二次函数，Sn＝n2＋2n＋1中有常数项，故不是等差数列．
(4)×.当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd.
2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝(　　)
A．－20
B．－40
C．－60
D．－80
【解析】选D.由等差数列前n项和公式得，S10＝10×1＋×10×9×(－2)＝－80.
3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝(　　)
A.85
B．170
C．75
D．150
【解析】选A.S17＝×17×(2＋8)＝85.
4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________．
【解析】S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.
答案：2
关键能力·合作学习
类型一　等差数列前n项和的计算(数学运算)
1．已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12.
2．已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求公差d.
3．已知a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.
【解析】1.因为Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0.
解得n＝12或n＝－5(舍去).
所以a12＝＋(12－1)×＝－4.
2．由Sn＝＝＝－1
022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
3．由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2.
故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.
　等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
【补偿训练】
1.(2021·青岛高二检测)等差数列的前n项和为Sn，若a14＝－8，S9＝－9，则S18＝(　　)
A.－162　　　B．－1　　　C．3　　　D．－81
【解析】选D.设等差数列的公差为d，
因为a14＝－8，S9＝－9，所以
化简得所以
所以S18＝18a1＋153d＝－81.
2．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于________．
【解析】由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，
解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2
500.
答案：2
500
3．(1)已知a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
【解析】(1)因为a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－.
又Sn＝na1＋d＝－5，
所以n＋×＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍).
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.
类型二　等差数列前n项和的性质(数学运算)
【典例】在等差数列{an}中．
(1)若a4＝2，求S7；
(2)若S5＝3，S10＝7，求S15；
(3)若S10＝100，S100＝10，求S110.
四步
内容
理解题意
条件：a4，S5，S10，S100结论：S7，S15，S110
思路探求
(1)利用a1＋a7＝2a4；(2)根据S5，S10－S5，S15－S10成等差数列求S15；(3)根据所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100成等差数列求解，也可以设Sn的关系式，利用方程组求解．
书写表达
(1)S7＝×7×(a1＋a7)＝×7×2a4＝7a4＝7×2＝14.
(2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3，7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12.
(3)方法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得①×10－②，整理得d＝－，代入①得a1＝.所以S110＝110a1＋d＝110×＋×＝110故此数列的前110项和为－110.方法二：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10＋×D＝S100＝10，解得D＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.
所以S110＝－120＋S100＝－110.方法三：因为数列{an}是等差数列，故其前n项和Sn可设为Sn＝An2＋Bn.
由S10＝100，S100＝10，得解得A＝－，B＝，故Sn＝－n2＋n，故S110＝－×1102＋×110＝－110.
题后反思
等差数列前n项和具有“片段和”性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列，在解决单纯的前n项和问题时有简化运算的功效．
　等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
1．(2021·茂名高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)
A．18
B．17
C．16
D．15
【解析】选A.设{an}的公差为d，
则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，
(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，
a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
【解析】因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
答案：75
3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则的值为__________．
【解析】＝＝
＝＝＝.
答案：
类型三　等差数列前n项和的应用(数学运算)
角度1　等差数列前n项和的最值　
【典例】在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
【解析】(1)由题意得
解得a1＝－9，d＝3，所以an＝3n－12.
(2)方法一：Sn＝＝(3n2－21n)
＝－，
所以当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
方法二：设Sn最小，则
即解得3≤n≤4，
又n∈N＋，
所以当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
　(变条件)把例题中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
【解析】S5＝×5×(a1＋a5)
＝×5×2a3＝5a3＝125，
故a3＝25，a10－a3＝7d，
即d＝－1＜0，故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n.
设Sn最大，则解得27≤n≤28，
即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.
　求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
角度2　等差数列前n项和的实际应用　
【典例】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n项和．
【解析】设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1
000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1
105(元)，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255(元).
　应用等差数列解决实际问题的一般思路
1．(2021·平顶山高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】选A.设等差数列的公差为d，
因为a4＋a6＝－6，所以2a5＝－6，
所以a5＝－3.
又因为a1＝－11，所以－3＝－11＋4d，所以d＝2.
所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值．
2．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N
)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于________．(盈利额＝总收入－总成本)
【解析】设每年的运营成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且a1＝3，d＝2.
所以n年后总运营成本Sn＝n2＋2n，因此，年平均盈利额为：＝－n－＋18≤－2＋18＝10，当且仅当n＝4时等号成立．
答案：4
3．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
【解析】由S17＝S9，得25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，
方法一：Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二：因为a1＝25＞0，d＝－2<0，
由
得即12≤n≤13.
又n∈N
，所以当n＝13时，Sn有最大值169.
课堂检测·素养达标
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．－n2＋　　
B．－n2－
C．n2＋　　　
D．n2－
【解析】选A.因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1，
所以Sn＝＝－n2＋.
2．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12
B．13
C．14
D．15
【解析】选B.因为S5＝5a3＝25，
所以a3＝5.所以d＝a3－a2＝5－3＝2，
所以a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765
B．763
C．665
D．663
【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为{an}．
因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，
所以n<15，所以符合题意的数共14个，
故S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
4．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
【解析】数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，
当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________．
【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，
即＋＝0，解得m＝4.经检验，m＝4符合题意．
答案：4
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-
13
-4．3　等
比
数
列
4．3.1　等比数列的概念
4．3.2　等比数列的通项公式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等比数列？什么是等比中项？2．等比数列的通项公式是什么？3．等比数列与指数函数有什么关系？
1.等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？
提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”．
(2)怎样利用递推公式表示等比数列？
提示：＝q(n≥2)或＝q(q≠0).
2．等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．
G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？
提示：a与b同号，满足的关系式是G2＝ab.
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的值，即an＝f(n).数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上．反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·}．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列(　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零(　　)
(3)常数列一定为等比数列(　　)
(4)任何两个数都有等比中项(　　)
提示：(1)×.根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)×.当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)×.当常数列不为零时，该数列才是等比数列．
(4)×.当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
2．(多选题)下列数列为等比数列的有(　　)
A.2，22，3×22
B.，，，，(a≠0)
C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5
D.1，1，1，1，1
【解析】选BD.≠，所以A不是等比数列；
B是首项为，公比为的等比数列；
C中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；
D显然是等比数列．
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A．
B．
C．
D．－
【解析】选C.由＝＝＝＝q得a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.
4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________．
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
答案：－24
关键能力·合作学习
类型一　等比数列的通项公式及应用(数学运算)
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
3．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
【解析】1.选C.因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，解得n＝5.
2．由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
3．(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，则解得所以an＝a1＝5×.
等比数列通项公式的求法
1．根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
2．充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
【补偿训练】
1.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)
A．4
B．8
C．6
D．32
【解析】选C.由等比数列的通项公式，
有128＝4×2n－1，＝32，所以n＝6.
2．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
【解析】设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4，
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，
解得q＝－1或q＝3.
答案：－1或3
3．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
【解析】(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，所以a5＝405.
(2)因为
所以
由得q3＝4，
从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
所以an＝a1＝．
类型二　等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
四步
内容
理解题意
条件：b是a，c的等比中项结论：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项
思路探求
证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可
书写表达
证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题后反思
a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)
等比中项应用需注意的问题
1．由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9　　　　B．b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
【解析】选B.因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
2.＋1与－1的等比中项是________．
【解析】设x为＋1与－1的等比中项，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，所以x＝±1.
答案：±1
类型三　等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
角度1　已知递推公式证明等比数列　
【典例】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【思路导引】(1)确定相邻两项的差为常数；(2)先求(1)中等比数列的通项公式．
【解析】(1)因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以＝2(n∈N
).
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
角度2　已知前n项和判断是否为等比数列　
【典例】已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
【思路导引】①如何由前n项和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－
Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
【解析】an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
当n≥2时，＝＝2；
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；
当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
【证明】因为Sn＝2－an，
所以Sn＋1＝2－an＋1，
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
所以an＋1＝an.
又因为S1＝2－a1，所以a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
所以＝，所以{an}是等比数列．
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
证明只能使用前两个方法，判断可以使用上述三个方法．
1．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
＝＝
＝3(n＝1，2，3，…).又a1－1＝－2，
所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·，所以an＝n－2·.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
【解析】因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an.所以an＋1＝2an.
又因为S1＝2a1＋1＝a1，所以a1＝－1≠0，
又由an＋1＝2an知an≠0，
所以＝2，所以{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．
所以an＝－1×＝－.
类型四　三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)
【典例】设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？
【思路导引】利用等比数列的特征设出四个数，使它们相乘时式子简便．
【解析】设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，
根据题意得解得q＝－2或－，
当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－时，a＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
三个数或四个数成等比数列的设法
解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0).
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0).
1．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
【解析】依题意设原来的三个数依次为，a，aq.
因为·a·aq＝512，所以a＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
答案：28
2．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8
000，求这四个数．
【解析】设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有
·b·bq＝b3＝8
000，即b＝20，
所以这四个数分别为m，16，20，n，
所以m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12，16，20，25.
课堂检测·素养达标
1．下列各组数成等比数列的是(　　)
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④，，，.
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．①②④
【解析】选D.由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
2．等比数列4，6，9，…的公比为(　　)
A．
B．
C．2
D．3
【解析】选B.由等比数列的定义知，q＝＝.
3．(2021·天津高二检测)已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　)
A．－2
B．－
C．
D．2
【解析】选B.因为a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.
4．在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，则a4等于(　　)
A．9　
B．10　
C．27　
D．81
【解析】选C.由题意，在数列中，
a1＝1，an＋1＝3an，即a1＝1，＝3，
可得数列表示首项a1＝1，公比q＝3的等比数列，
所以a4＝a1q3＝1×33＝27.
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-
12
-4．3.3　等比数列的前n项和
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等比数列的前n项和公式？2．怎样推导等比数列的前n项和公式？
1.等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn＝
Sn＝
两个求和公式如何选择？
提示：知道首项a1、公比q(q≠1)和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以用Sn＝.在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？
提示：根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q即＝q，进而可求Sn.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(　　)
(2)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．(　　)
(3)＝.(　　)
(4)等比数列前n项和Sn不可能为0.(　　)
(5)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，则此数列一定是等比数列．(　　)
提示：(1)×.若公比为q＝1，则结论就是错误的．
(2)√.数列{n·2n}就是典型的等差与等比数列的对应项之积构成的数列，其前n项和就需要用错位相减法求得．
(3)√.其中一个式子的分子与分母同乘－1，即可转化为另一个式子．
(4)×.如等比数列1，－1，1，－1，…的前n项和就可以等于零．
(5)√.根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为：Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，则可变形为Sn＝a－aqn.
2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)
A．4
B．－4
C．2　
D．－2
【解析】选A.由S5＝＝44得a1＝4.
3．数列{2n－1}的前99项和为(　　)
A.2100－1　
B．1－2100
C.299－1　　
D．1－299
【解析】选C.数列为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于________．
【解析】＝×＝＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一　等比数列前n项和公式的应用(数学运算)
【典例】在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
【思路导引】直接代入公式计算．
【解析】(1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
所以q＝.
又an＝a1qn－1，即8×＝，所以n＝6.
(2)方法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，所以q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，所以an＝a1＝×＝，
Sn＝＝－.
方法二：由S3＝a1＋a2＋a3，
S6＝S3＋a4＋a5＋a6
＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)
＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.
所以1＋q3＝＝9，所以q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，
所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
等比数列前n项和公式的应用
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
类型二　等比数列的前n项和的性质(数学运算)
【典例】等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，求前3n项和S3n.
四步
内容
理解题意
条件:①等比数列{an}的前n项和Sn=48②前2n项和S2n=60结论:求前3n项和S3n
思路探求
利用条件求首项和公比,求前3n项和;或者根据和的下标成等差数列,运用等比数列和的性质计算.
书写表达
方法一:设公比为q,由已知易知q≠1,由
即
QUOTE
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(qn＝\f(1,4)，,\f(a1,1－q)＝64，))
所以S3n＝＝·[1-(qn)3]=64×
QUOTE
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,64)))
=63.方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.
题后反思
等比数列相等项数的片段和仍成等比数列,在求和中能够简化运算.
等比数列求和性质的应用
运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件．否则会出现失误．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
1．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
【解析】令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，
Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为______．
【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，
由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以a·q3＝64，即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×＝4×.
答案：an＝4×
类型三　错位相减法求和(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【思路导引】(1)根据a1，a2，a3－成等差数列求得公比q，写出通项公式；
(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，
因为a1，a2，a3－成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，
解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，
所以an＝×＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，
Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋＋…＋，②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，
Sn＝2－(n＋2)n.
错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
1．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N
.
【解析】设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
所以－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×
＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1
＝(1－n)×2n＋1－2，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
2．求和：＋＋＋＋…＋.
【解析】设Sn＝＋＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋…＋＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋.②
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－
＝－，所以Sn＝3－.
课堂检测·素养达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1
B．0
C．1或0
D．－1
【解析】选A.因为Sn－Sn－1＝an，
又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93
B．－93
C．45　
D．－45
【解析】选A.S5＝＝＝93.
3．(2021·北京高二检测)对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N
)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________．
【解析】由题设可得an＝2n，故＝2，故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，
故S4＝＝30.
答案：30
4．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于________．
【解析】根据等比数列性质得＝q5，
所以＝25，所以S10＝33.
答案：33
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
【解析】由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
所以S5＝＝.
答案：
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10
-4．4　数学归纳法
必备知识·自主学习
导思
1.数学归纳法证题的原理是什么?2.数学归纳法证题的步骤是什么?
数学归纳法
(1)概念：一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：
①证明当n＝n0(n0∈N
)时命题成立；
②假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫作数学归纳法．
(2)证明形式：
记P(n)是一个关于正整数n的命题．
条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N
，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
(1)验证的第一个值n0一定是1吗？
提示：不一定，如证明“凸n边形对角线的条数f(n)＝”时，第一步应验证n＝3是否成立．
(2)在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？
提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)
(2)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)
提示：(1)×.也可以用其他方法证明．
(2)×.有的增加了不止一项．
(3)√.观察左边的式子可知有n＋3项，所以验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.
2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N
)的过程中，第二步假设n＝k(k∈N
)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
【解析】选B.由数学归纳法知第二步假设n＝k(k∈N
)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.
3．用数学归纳法证明：(n＋2)(n＋3)…(2n＋2)＝2n＋1×1×3×…×(2n＋1)，时，从“n＝k(k∈N
)到n＝k＋1”时，左边应增添的代数式为________．
【解析】n＝k(k∈N
)时，左边＝(k＋2)(k＋3)(k＋4)…(2k＋2)，
当n＝k＋1时，左边＝(k＋3)(k＋4)…(2k＋2)(2k＋3)(2k＋4)，
所以需要增乘的式子为＝2(2k＋3).
答案：2(2k＋3)
关键能力·合作学习
类型一　数学归纳法中的增项问题(数学运算、逻辑推理)
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋，n>1)的第二步从n＝k(k∈N
)到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是(　　)
A．2k－1　　　B．2k　　　　C．2k－1　　　D．2k＋1
【解析】选B.当n＝k(k∈N
)时，左端＝1＋＋＋…＋，
当n＝k＋1时，左端＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，
所以左端增加的项为＋＋…＋，
所以左端增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＝2k.
2．(2021·吉林高二检测)用数学归纳法证明＋＋…＋≥时，从n＝k(k∈N
)到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　)
A．＋＋
B．＋＋－
C．
D．
【解析】选B.当n＝k(k∈N
)时，所假设的不等式为＋＋…＋≥，
当n＝k＋1时，要证明的不等式为＋＋……＋＋＋＋≥，
故需添加的项为＋＋－.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除时，从k(k∈N
)到k＋1添加的项数为________．
【解析】当n＝k(k∈N
)时，原式为：1＋2＋22＋…＋25k－1，
当n＝k＋1时，原式为1＋2＋22＋…＋25k－1＋25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4，
比较后可知多了25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4，共5项．
答案：5
数学归纳法中增项的判断方法
从n＝k(k∈N
)到n＝k＋1时，等式或不等式左边需添加的项可能是一项，但也可能是多项，必须写出n＝k时的式子，和n＝k＋1时的式子，让两个式子作差，才能得出正确结果，把握式子中项的变化规律是关键点，要看清n加了1，项随之发生的变化，搞清最后一项是什么．
类型二　等式与不等式的证明(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.用数学归纳法证明：1×n＋2(n－1)＋…＋n×1＝.
【解析】当n＝1时，1×1＝，等式成立，
假设当n＝k(k∈N
)时，等式成立，即1×k＋2(k－1)＋…＋k×1＝，
则当n＝k＋1时，1×(k＋1)＋2×k＋…＋(k＋1)×1
＝[1×k＋2×(k－1)＋…＋k×1]＋[1＋2＋3＋…＋(k＋1)]＝＋＝，原等式仍然成立，
所以1×n＋2(n－1)＋…＋n×1＝.
2．(2021·蚌埠高二检测)试用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.
【解析】(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，不等式成立；
(2)假设当n＝k时，原不等式成立，
即＋＋…＋>－，
当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>－＋，
因为－＋－
＝－＋＝>0，
所以－＋>－.
即＋＋…＋＋>－，
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
用数学归纳法证明等式或不等式问题的四个关键点
1．用数学归纳法证明：
13＋23＋33＋…＋n3＝2，n∈N
.
【解析】①当n＝1时，左边＝1，右边＝2＝1，等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即
13＋23＋33＋…＋k3＝.
那么当n＝k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3
＝＋(k＋1)3
＝(k＋1)2·＝(k＋1)2·
＝2，等式也成立．
根据①和②，可知13＋23＋33＋…＋n3＝对任何n∈N
都成立．原等式得证．
2．证明：1＋＋＋＋…＋>.
【解析】当n＝1时，1>成立，
假设n＝k(k∈N
，k≥1)时，不等式1＋＋＋＋…＋>成立，
那么n＝k＋1时，
1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋…＋，
因为>，>，…，＝，
所以1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＝，即n＝k＋1时，该不等式也成立，
综上，不等式1＋＋＋＋…＋>.
　【拓展延伸】整除问题
【典例】(2021·上海高二检测)用数学归纳法证明：＋能被133整除.
【解析】①当n＝1时，＋＝112＋12＝133能被133整除，所以n＝1时结论成立，
②假设当n＝k时，＋能被133整除，
那么当n＝k＋1时，
＋＝×11＋×122
＝×11＋×11－×11＋×122
＝11×＋133×.
由归纳假设可知11×＋133×122k－1能被133整除，即＋
能被133整除．所以n＝k＋1时结论也成立，
综上，由①②得，＋能被133整除．
【拓展训练】
1．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n＋15n－1能被9整除．
【解析】(1)当n＝1时，4n＋15n－1＝18，
能被9整除，故当n＝1时4n＋15n－1能被9整除．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，命题成立，即4k＋15k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，4k＋1＋15(k＋1)－1＝4(4k＋15k－1)－9(5k－2)也能被9整除．
综合(1)(2)可得，对任意正整数n，4n＋15n－1能被9整除．
2．求证：xn－nx＋(n－1)an能被(x－a)2整除(n≥2，n∈N
).
【解析】①当n＝2时，原式＝x2－2ax＋a2＝，能被(x－a)2整除；
②当n＝k(k∈N
，k≥2)时，假设xk－kx＋，能被(x－a)2整除，
当n＝k＋1时，－(k＋1)akx＋k
＝＋kak－1x2－2kakx＋k
＝＋(x－a)2k，
xk－kx＋(k－1)ak，(x－a)2k均可被(x－a)2整除，
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综上：由①②知xn－nx＋(n－1)an能被(x－a)2整除．
类型三　归纳、猜想、证明(数学运算、逻辑推理)
【典例】设数列的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足2＝anSn.
(1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性．
【思路导引】(1)n＝1时，可求出S1，n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1可得到关于Sn的递推关系，即可求出S2，S3的值，进而猜想出Sn的表达式；
(2)根据数学归纳法的步骤证明即可．
【解析】(1)当n＝1时，2＝S，所以S1＝，
当n≥2时，2＝Sn，
所以Sn＝，所以S2＝，S3＝，
猜想Sn＝，n∈N
.
(2)下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝，＝，猜想正确；
②假设n＝k(k∈N
)时，猜想正确，即Sk＝，
那么当n＝k＋1时，
可得Sk＋1＝＝＝，
即n＝k＋1时，猜想也成立．
综上可知，对任意的正整数n，Sn＝都成立．
1．“归纳——猜想——证明”的解题步骤
2．“归纳——猜想——证明”解决的主要问题
(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
(2021·海口高二检测)已知数列的前n项和为Sn，满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，a1＝－，则Sn＝________．
【解析】因为当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，
因此由Sn＋＋2＝an，可得Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
化简得：Sn＝－，因为S1＝a1＝－，
所以S2＝－＝－＝－，
S3＝－＝－＝－，
由此猜想数列的通项公式为：Sn＝－，现用数学归纳法证明：
当n＝1时，S1＝－，显然成立；
假设当n＝k(k∈N
)时成立，即Sk＝－，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－，
综上所述：Sn＝－.
答案：－
课堂检测·素养达标
1．用数学归纳法证明等式1＋a＋a2＋…＋an＋1＝时，当n＝1时，左边等于(　　)
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．a2
【解析】选C.在验证n＝1时，令n＝1代入左边的代数式，得到左边＝1＋a＋＝1＋a＋a2.
2．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋＝n，n∈N
成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N
时，命题成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.“当n＝1时，命题成立”不能推出“对n∈N
时，命题成立”；
“对n∈N
时，命题成立”可以推出“当n＝1时，命题成立”，
所以“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N
时，命题成立”的必要不充分条件．
3．对于不等式＜n＋1(n∈N
)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
所以n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】选D.在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设．
4．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将－变形为(　　)
A．＋4×5k－2k
B．2－3×5k
C．
D．5＋3×2k
【解析】选D.－＝5k·5－2k·2
＝5＋5×2k－2×2k
＝5＋3×2k.
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12
-等比数列的性质及应用(习题课)
必备知识·自主学习
导思
1.等比数列的项有哪些性质？2．怎样应用等比数列的性质简化运算？
1.推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N
).
2．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为
ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
如何推导an＝am?
提示：由＝＝，所以an＝am·.
3．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
4．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．
等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，{m＋an}(m是非零常数)能成为等比数列吗？
提示：不能，取前三项检验即可，若成等比数列，则＝，解得m＝0，显然不合题意．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　)
(2)当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)
提示：(1)√.根据等比数列的定义可以判定该说法正确．
(2)×.当q>1，a1>0时，{an}才为递增数列．
(3)√.当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．
(4)×.如an＝1，bn＝－1，显然an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列．
2．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是(　　)
A.等差数列
B.以q为公比的等比数列
C.以q2为公比的等比数列
D.以2q为公比的等比数列
【解析】选C.因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．
3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为(　　)
A．35
B．63
C．21
D．±21
【解析】选B.因为{an}成等比数列．
所以a4，a6，a8成等比数列，
所以a＝a4·a8，即a8＝＝63.
4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________．
【解析】因为a6a10＝a，a3a5＝a，
所以a＋a＝41，
又a4a8＝4，所以(a4＋a8)2
＝a＋a＋2a4a8
＝41＋8＝49，
因为数列各项都是正数，所以a4＋a8＝7.
答案：7
关键能力·合作学习
类型一　由等比数列衍生的新数列(数学运算)
【典例】已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A．4
B．6
C．7
D．5
【思路导引】等比数列连续三项的积仍是等比数列．
【解析】选D.因为{an}为等比数列，
所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝50，
又{an}各项均为正数，所以a4a5a6＝5.
整体代换的作用
从等比数列截取几段，每一片段的积仍能构成等比数列，借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
【补偿训练】
在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
【解析】设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
答案：8
类型二　等比数列性质的应用(数学运算)
【典例】已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
四步
内容
理解题意
条件：①{an}为等比数列②两项之积为常数．结论：求另外项的积或和．
思路探求
利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．
书写表达
(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.(2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，因为an>0，所以a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.
题后反思
从下标的关系对应到项的关系，一般为积相等．
等比数列性质的作用
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质．
1．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于(　　)
A．38
B．39
C．9
D．7
【解析】选C.因为a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2…a9)＝log3a＝log339＝9.
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，
则a1＋a10＝(　　)
A.7　
B．5
C．－5
D．－7
【解析】选D.因为数列{an}为等比数列，
所以a5a6＝a4a7＝－8，联立
解得或
所以q3＝－或q3＝－2，
故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
3．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，
求a7；
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，
求公比q.
【解析】(1)方法一：
相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
方法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
类型三　等比数列的实际应用(数学运算、数学建模)
【典例】某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？
【思路导引】每月生产总值比上一个月增长m%，说明各月产值构成等比数列．
【解析】设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，
则an＋1＝an＋anm%，
所以＝1＋m%.
所以数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．所以an＝
.
所以2021年8月底该厂的生产总值为a20＝＝a(1＋m%)19(万元).
等比数列实际应用
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
1．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设新冠肺炎的基本传染数R0＝3.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1
000时需要的天数至少为(参考数据：lg
38≈1.58)(　　)
A．34
B．35
C．36
D．37
【解析】选D.设第n轮感染人数为an，则数列为等比数列，其中a1＝3.8，公比为R0＝3.8，
所以an＝3.8n>1
000，
解得n>log3.81
000＝＝≈≈5.17，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17×7＝36.19，即需要的天数至少为37天．
2．(2021·兰州高二检测)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为(　　)
A.55
989
B．46
656
C.216
D．36
【解析】选B.设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以的通项公式：an＝6×6n－1＝6n，
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46
656只蜜蜂．
课堂检测·素养达标
1．若数列{an}是等比数列，则下列式子一定成立的是(　　)
A．a2＋a5＝a1＋a6
B．a1a9＝a10
C．a1a9＝a3a7　　
D．a1a2a7＝a4a6
【解析】选C.根据等比数列的性质，知a1a9＝a3a7.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg
(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100
B．－100
C．10
000　
D．－10
000
【解析】选C.因为a3a8a13＝a，
所以lg
(a3a8a13)＝lg
a＝3lg
a8＝6.
所以a8＝100.又a1a15＝a＝10
000.
3．(2021·北京高二检测)已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7等于(　　)
A．32
B．－32
C．64
D．－64
【解析】选D.根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝－1，a4＝8，则有q3＝＝－8，解得q＝－2，故a7＝a1·q6＝－64.
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
【解析】因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.
答案：25
5．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a15＝8，求a9的值．
【解析】因为a9是a3和a15的等比中项，所以a9＝±＝±4，注意到在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，所以a9＝＝4.
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9
-等比数列(习题课)
必备知识·自主学习
导思
1.什么是等比数列？通项公式是什么？2．等比数列的前n项和公式是什么？3．等比数列的项、前n项和有什么性质？
1.符合＝q(n∈N
，q是非零常数)的数列即为等比数列．
2．等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1＝am.
3．若＝，则G是a，b的等比中项．
4．等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N
).
若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N
).
5．若等比数列首项为a1，公比为q，项数为n，则Sn＝.
6．若等比数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)
(2)当n≥2时，＝.(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)
(4)数列的前n项和为n2＋.(　　)
提示：(1)√.公比不等于1的等比数列的前n项和Sn＝＝.
(2)√.化简即得．
(3)×.a的值不能确定．
(4)×.设数列的通项公式为an＝＋2n－1，则用分组转化法求和，可得Sn＝1－＋n2.
2．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)
A．1＋2n
B．2＋2n
C.n＋2n－1
D．n＋2＋2n
【解析】选C.由题意得an＝1＋2n－1，
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N
)，则S2
020＝________．
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
则an＋2an＋1＋an＋2＝an(1＋2q＋q2)＝0，
因为an≠0，所以q2＋2q＋1＝0.
解得q＝－1，所以S2
020＝0.
答案：0
4．已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N
，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列．
则p，q的值分别为__________；数列{an}前n项和Sn＝__________．
【解析】由a1＝3，得2p＋q＝3，
又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
所以an＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.
答案：p＝1，q＝1　2n＋1－2＋
关键能力·合作学习
类型一　数列的求和(数学运算)
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2
020＝(　　)
A．1
010　
B．－1
010
C．2
020　
D．－2
020
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，设bn＝，那么数列{bn}前n项的和为(　　)
A.4
B．4
C.1－　
D．－
3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】1.选A.S2
020＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2
019＋2
020)＝1
010.
2．选A.因为an＝＝＝，
所以bn＝＝＝4.
所以Sn＝4
＝4.
3．(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×，
即an＝3n－1，所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n≥2时，bn＝log33n－1＝(n－1)·31－n.
所以T1＝b1＝；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋(1×＋2×＋…＋(n－1)×31－n)，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×].
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×
＝＋－(n－1)×31－n＝－.
所以Tn＝－.
数列求和方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成，则可分组分别求和．
(2)裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
裂项求和的几种常见类型：①＝；
②＝；③
＝；④若{an}是公差为d的等差数列，则＝
.
(3)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
1．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式．
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1).
两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2).
又由题设可得a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为an＝.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－.
则Sn＝－＋－＋…＋－＝.
2．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由题意，得解得
所以an＝2n.
(2)因为bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，
故Tn＝－＝－.
类型二　等比数列综合应用(数学运算)
【典例】已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.
四步
内容
理解题意
条件:Sn-2an=n-4.结论:证明等比数列;求和.
思路探求
(1)因为要证的数列是关于Sn的,所以消去Sn-2an=n-4中的an,得到数列{Sn-n+2}中相邻两项的关系;(2)由(1)得到Sn=2n+1+n-2,所以分组求和.
书写表达
(1)当n=1时,S1-2S1=1-4,故S1=3,得S1-1+2=4.n≥2时原式转化为Sn=2(Sn-Sn-1)+n-4,即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2],所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=＋-2n=.
题后反思
证明等比数列就是找相邻两项的倍数关系.
与前n项和相关的计算
(1)求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
(2)由Sn与an的关系式既可以用Sn－Sn－1＝an，把Sn换成an处理，也可以用an＝Sn－Sn－1，把an换成Sn处理，一般由问题决定．
(3)数列的求和，除直接用公式之外，通常要依据式子的特征，进行恰当的分组，裂项，错位相减等方法求解，若项中含有，则可能要对n分奇偶讨论．
1．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
依题意有
解得或(舍去).
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝.
(2)因为Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
2．(2021·菏泽高二检测)已知数列{an}为等差数列，且a1＝5，a2＝9，数列{bn}的前n项和Sn＝bn＋.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn.
【解析】(1)公差d＝a2－a1＝9－5＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
因为Sn＝bn＋，
所以Sn－1＝bn－1＋(n≥2)，
两式相减，得bn＝bn－bn－1，
所以bn＝－bn－1，
所以＝－2(n≥2).
又b1＝S1＝b1＋，所以b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，
所以bn＝.
(2)cn＝an|bn|＝(4n＋1)|(－2)n－1|＝(4n＋1)·.
所以Tn＝5×1＋9×2＋13×22＋…＋(4n＋1)·①
2Tn＝5×2＋9×22＋…＋(4n－3)·2n－1＋(4n＋1)·2n②
①－②得－Tn＝5＋4(2＋22＋…＋2n－1)－(4n＋1)·2n
＝5＋4×－(4n＋1)·2n
＝5＋8(2n－1－1)－(4n＋1)·2n＝5＋2n＋2－8－(4n＋1)·2n＝2n＋2－(4n＋1)·2n－3＝2n(4－4n－1)－3＝2n(3－4n)－3，所以Tn＝(4n－3)2n＋3.
类型三　等比数列前n项和公式的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】借贷10
000元，以月利率为1%，每月复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.062，1.015≈1.051)
【思路导引】解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
【解析】方法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10
000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，
a＝.
因为1.016≈1.062，所以a＝≈1
713.
故每月应支付1
713元．
方法二：一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元).
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×
102(元).
由S1＝S2，得a＝≈≈1
713.
故每月应支付1
713元．
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
1．明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的顶层有(　　)
A．3盏灯
B．192盏灯
C．195盏灯
D．200盏灯
【解析】选A.设每层灯的盏数为等比数列，首项a1为顶层灯的盏数，公比q＝2，
所以S7＝＝a1＝381，
解得a1＝3，即顶层有3盏灯．
2．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于(　　)
A.2　
B．
C．
D．
【解析】选D.此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，，，.
所以这五个正三角形的面积之和＝×＝×＝.
课堂检测·素养达标
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝(　　)
A．－2
B．2
C．3
D．－3
【解析】选A.因为S3＋3S2＝0，
所以＋＝0，
即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去).
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．
B．－
C．
D．
【解析】选A.方法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝＝.
方法二：因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝＝－，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8×＝.
3．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为______．
【解析】设公比为q，
因为an＋2an＋1＋an＋2＝0，
所以a1＋2a2＋a3＝0，
所以a1＋2a1q＋a1q2＝0，
所以q2＋2q＋1＝0，所以q＝－1，
又因为a1＝2，
所以S101＝＝＝2.
答案：2
4．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________．
【解析】因为Sn＝2n－1，
所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
当n＝1时，a1＝S1＝1也满足，所以an＝，
所以a＝.
所以a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1
＝＝(4n－1).
答案：(4n－1)
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-第四课　数　　列
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一　等差数列与等比数列的基本运算
1．(2021·中山高二检测)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝(　　)
A．　
B．16
C．15
D．
【解析】选A.设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，
则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.
所以q3＝＝8，即q＝2，
所以a1＝＝，
则S6＝＝.
2．(2021·湘潭高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________．
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，
S7＝＝35.
联立两式，解得a1＝2，d＝1，所以a7＝a1＋6d＝8.
答案：8
3．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由题意，得a＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d).
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去).故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，
故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)
＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
　
等差与等比数列的基本量计算方法
在等差(或等比)数列中，首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a1，d，n，an，Sn或等比数列中的五个量a1，q，n，an，Sn中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用Sn求an时，要注意验证n＝1是否成立．
题组训练二　等差、等比数列的性质及应用
1．(2021·许昌高二检测)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是(　　)
A．21
B．20
C．19
D．18
【解析】选B.由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，
所以a3＝35.同理可得a4＝33，
所以d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)
＝41－2n.
由得n＝20.
所以使Sn达到最大值的n是20.
2．(2021·厦门高二检测)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为(　　)
A．13
B．26
C．52
D．156
【解析】选B.3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，
所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4，
所以S13＝
＝
＝＝26.
3．(2021·德州高二检测)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　)
A．n(2n－1)
B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
【解析】选C.因为a5·a2n－5＝a＝22n，且an>0，
所以an＝2n，因为a2n－1＝，
所以log2a2n－1＝2n－1，
所以log2a1＋log2a3＋…＋log2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.
　
等差与等比数列性质的应用
等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质、利用性质求数列中某一项等，关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a1和公差d(公比q)的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．
题组训练三　数列的通项与求和
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝　
B．an＝
C．an＝　
D．an＝
【解析】选D.原数列递推公式可化为－＝n，
令bn＝，则bn＋1－bn＝n，
因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1
＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝.
从而an＝.
2．(2021·深圳高二检测)已知数列满足：a1＝，an＋1＝
a＋an，用表示不超过x的最大整数，则的值等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选A.由an＋1＝a＋an，
得＝－，
所以＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝2－，
由a1＝，an＋1＝a＋an得a1＝，a2＝，a3＝>1知从a3以后都大于1，
所以∈，所以2－∈，
则＝1.
3．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数，，，…，的和是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.因为＝，
所以＋＋＋…＋
＝
＝＝.
4．(2021·石家庄高二检测)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝
9－6n，则数列{an}的通项公式是________．
【解析】令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，
则Sn＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时·an＝Sn－Sn－1＝－6，
所以an＝－.
所以通项公式an＝
答案：an＝
　
通项与和的求法
1．由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意an的完整表达式，易忽视n＝1的情况．常用的数列通项公式的求法有：(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
(3)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
2．数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及等比数列求和时要注意公比q对Sn的影响．一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；
(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
题组训练四　等差、等比数列的判定
1．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N
).
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．
【证明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2
＝4an＋1－4an.
＝
＝
＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
2．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N
，都有Sn＝
2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N
).
(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
即＝(n≥2，n∈N
).
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2.
因为bn＝，所以＝＋1，
即－＝1(n≥2).
所以数列是首项为，
公差为1的等差数列．所以＝＋(n－1)·1＝，
故数列{bn}的通项公式为bn＝.
　
等差、等比数列的判断与证明方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)?{an}是等比数列；(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)?{an}是等比数列；(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)?{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)?{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N
)?{an}是等比数列．
提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．
题组训练五　数列与函数
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
【解析】利用an＝求得an＝3n－16.
则nan＝3n2－16n＝3，
所以n＝3时，nan的值最小．
答案：an＝3n－16　3
2．若数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
【解析】方法一：an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝
2n＋1＋λ，
由于{an}是递增数列，故2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－2n－1，
又n∈N
，－2n－1≤－3，故λ＞－3.
方法二：由于函数y＝x2＋λx在上单调递增，结合其图象可知，若数列{an}是递增数列，则a2＞a1，即22＋2λ＞1＋λ，即λ＞－3.
答案：(－3，＋∞)
3．(2021·镇江高二检测)设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差数列，{bn＋1－bn}是等比数列．
(1)分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}中最小项及最小项的值．
【解析】(1)a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，
由{an＋1－an}成等差数列知其公差为1，
故an＋1－an＝－2＋(n－1)·1＝n－3；
b2－b1＝－2，b3－b2＝－1，
由{bn＋1－bn}成等比数列知，其公比为，
故bn＋1－bn＝－2·，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n－1)·(－2)＋·1＋6
＝－2n＋8＝，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋(bn－2－bn－3)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝＋6＝2＋23－n.
(2)因为an＝＝2＋，
所以n＝3或n＝4时，an取到最小值，最小值为a3＝a4＝3.
　
函数思想在数列问题中的应用
数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．
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