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第1章　直线与方程
1.1　直线的斜率与倾斜角
　　　　　　　　　　　　　　　
1.直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k=?　.?
如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
当直线与x轴不垂直时,k=tan
α.?
斜率的正负与倾斜角范围有什么联系?
提示:当k=tan
α<0时,倾斜角α是钝角;
当k=tan
α>0时,倾斜角α是锐角;
当k=tan
α=0时,倾斜角α是0°.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)下图中标的α都不是对应直线的倾斜角.
(　　)
(2)任一直线都有倾斜角,都存在斜率.
(　　)
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1.
(　　)
(4)若直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan
α.
(　　)
提示:(1)√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角,所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角.
(2)×.倾斜角为90°的直线不存在斜率.
(3)×.倾斜角为135°的直线的斜率为-1.
(4)×.倾斜角α不等于90°时,它的斜率才是k=tan
α.
2.如图所示,直线l与y轴的夹角为45°,则l的倾斜角为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.45°
B.135°
C.0°
D.无法计算
【解析】选B.根据倾斜角的定义知,l的倾斜角为135°.
3.(教材二次开发:例题改编)已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值是
(　　)
A.5
B.8
C.
D.7
【解析】选C.由斜率公式可得=1,
解得m=.
4.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为
(　　)
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k=tan
30°=.
类型一　直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)
1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为
(　　)
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
2.一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为
(　　)
A.α
B.180°-α
C.180°-α或90°-α
D.90°+α或90°-α
3.已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标为
(　　)
A.(2,0)或(0,-4)
B.(2,0)或(0,-8)
C.(2,0)
D.(0,-8)
【解析】1.选D.因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:
当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
2.选D.如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α.
3.选B.设B(x,0)或(0,y),因为kAB=或kAB=,所以=4或=4,所以x=2,y=-8,所以点B的坐标为(2,0)或(0,-8).
1.求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
2.解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用定义式k=tan
α(α≠90°)解决.
(2)由两点坐标求斜率,运用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解.
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解.
【补偿训练】
已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是
(　　)
A.(-1,0]　　　　　　　　
B.[0,1]
C.[1,2]
D.[0,2]
【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时,满足题意,所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
类型二　直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)
【典例】1.若A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-,则m=
(　　)
A.-8
B.-2
C.2
D.8
2.若直线过点C(1,3),D(4,3+),则此直线的倾斜角为　　　　.?
3.已知点M(0,b)与点N(-,1)连成直线的倾斜角为120°,求b的值.
【解析】1.选C.A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-,所以-=,解得:m=2.
2.直线过点C(1,3),D(4,3+),则直线的斜率k==,所以此直线的倾斜角是.
答案:
3.k==tan
120°,解得b=-2.
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
1.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为
(　　)
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.斜率k==-.
2.若直线经过两点A(m,2),B,且倾斜角为45°,则m的值为
(　　)
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选A.经过两点A(m,2),B的直线的斜率为k=,又直线的倾斜角为45°,所以=tan
45°=1,即m=2.
3.已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率.
【解析】已知点的坐标,可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否相等.
kAB==0,kAC==-1.
因为B,C两点的横坐标相等,所以直线BC的斜率不存在.
类型三　直线的倾斜角、斜率的应用(数学运算,逻辑推理)
　角度1　求斜率的范围?
【典例】已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
【思路导引】作图,让直线与线段有公共点,可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,进一步获得斜率的取值范围.
【解析】如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
　角度2　三点共线问题?
【典例】若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=　　　　.?
【思路导引】利用AB和AC的斜率相等.
【解析】因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,
kAB==3,kAC==,
所以3=,即k=6.
答案:6
1.求直线斜率的取值范围时,通常先结合图形找出倾斜角的范围,再得到斜率的范围.
2.利用斜率可解决点共线问题,点A,B,C共线?kAB=kAC或kAB与kAC都不存在.
3.的几何意义是直线的斜率,用之可通过几何方法解决函数的值域问题.
1.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于
(　　)
A.2
B.3
C.9
D.-9
【解析】选D.因为三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,所以kAC=kAB,即=,解得b=-9.
2.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,则直线AD的斜率的变化范围是　　　.?
【解析】如图所示.当点D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,
又kAB==,kAC==,
所以直线AD的斜率的变化范围是.
答案:
3.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角?
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角?
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗?
【解析】(1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,
即k==>0,解得m>-2.
即当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角.
(2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即k==<0,解得m<-2.
即当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角.
(3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,
此时m+3=m-2,此方程无解,
故直线MN的倾斜角不可能为直角.
1.已知一条直线过点(3,-2)与点(-1,-2),则这条直线的倾斜角θ是
(　　)
A.0°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.因为k==0,所以θ=0°.
2.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于
(　　)
A.-
B.
C.-1
D.1
【解析】选C.kAB==tan
45°=1,即=1,
所以y=-1.
3.(教材二次开发:练习改编)已知直线AB与直线AC有相同的斜率,且A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数a的值是　　　　.?
【解析】依题意:kAB=kAC,即=,
解得a=.
答案:
4.已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m,3),B(2,-3),则m的值为　　　　.?
【解析】由题意可得tan
45°=kAB==1,解得m=4.
答案:4
5.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值.
【解析】由题意可知kAB==2,kAC==,kAD==,所以k=2==,解得a=4,b=-3,所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3.
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-1.2　直线的方程?
1.2.1　直线的点斜式方程　
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0,y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
适用条件
斜率存在
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.
2.直线在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b.
符号:可正,可负,也可为零.
直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?
提示:不是,直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3).
(　　)
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3.
(　　)
(3)直线的点斜式方程也可写成=k.
(　　)
提示:(1)√.根据点斜式的特征可知正确.
(2)√.在直线y=2x+3中令x=0即得y轴上的截距为3.
(3)×.方程写成=k需满足x≠x0,所以会少一个点.
2.直线l经过点P(2,-3),且倾斜角α=45°,则直线的点斜式方程是
(　　)
A.y+3=x-2
B.y-3=x+2
C.y+2=x-3
D.y-2=x+3
【解析】选A.因为直线l的斜率k=tan
45°=1,
所以直线l的方程为y+3=x-2.
3.(教材二次开发:例题改编)在y轴上的截距为2,且斜率为-3的直线的斜截式方程为　　　　.?
【解析】由斜截式方程可得y=-3x+2.
答案:y=-3x+2
类型一　直线的点斜式方程(数学运算)
1.经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是
(　　)
A.x=-1
B.y=1
C.y-1=(x+1)
D.y-1=2(x+1)
【解析】选C.由条件知已知直线的斜率为,故所求直线的斜率是,因此所求直线的方程为y-1=(x+1).
2.已知三角形三顶点A(4,0),B(8,10),C(0,6),求过A点且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程.
【解析】设所求直线的方程为y=k,由题意得:k=kBC==,所以所求方程:y=.
利用点斜式求直线方程的方法
(1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和其上一
个点的坐标.注意在斜率存在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程;
(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.
提醒:斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
类型二　直线的斜截式方程(数学运算)
【典例】根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【思路导引】先确定斜率和截距,再写方程.
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知,
所求直线方程为y=2x+5.
(2)由于倾斜角α=150°,所以斜率
k=tan
150°=-,由斜截式可得方程为
y=-x-2.
(3)由于直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan
60°=.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3,故所求直线方程为y=x+3或y=x-3.
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理,如果已知截距b,只需引入参数k.
过点P(6,-1)的直线l与x轴、y轴的正方向分别交于点A,B,且△AOB的面积为4,则l的方程是　　　　.?
【解析】设直线l的方程为y=kx+b(k<0,b>0),
则直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,b),
因为△AOB的面积为4,直线l过点P(6,-1),
所以解得或(舍去),所以直线l的方程为y=-x+2.
答案:y=-x+2
备选类型　直线方程的应用(数学运算,直观想象)
【典例】已知直线l1:y=kx+b,l2:y=bx+k,则它们的图象可能为
(　　)
【思路导引】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程k,b的正负后可得正确的选项.
【解析】选C.对于A,直线l1方程中的k<0,b>0,直线l2方程中的k>0,b>0,矛盾;
对于B,直线l1方程中的k>0,b<0,直线l2方程中的k>0,b>0,矛盾;
对于C,直线l1方程中的k>0,b>0,直线l2方程中的k>0,b>0,符合;
对于D,直线l1方程中的k<0,b>0,直线l2方程中的k<0,b<0,矛盾.
　如果直线方程的形式是斜截式y=kx+m,则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小(也可以确定它们的符号),一般地,如果直线经过第一、三象限,则斜率为正;如果直线经过第二、四象限,则斜率为负.
直线y=ax-的图象可能是
(　　)
【解析】选B.由y=ax-可知,斜率和截距必须异号,故B正确.
1.方程y-y0=k
(　　)
A.可以表示任何直线
B.不能表示过原点的直线
C.不能表示与y轴垂直的直线
D.不能表示与x轴垂直的直线
【解析】选D.因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,所以y-y0=k不能表示与x轴垂直的直线.
2.已知直线的方程是y+2=-x-1,则
(　　)
A.直线经过点(-1,2),斜率为-1
B.直线经过点(2,-1),斜率为-1
C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1
D.直线经过点(-2,-1),斜率为1
【解析】选C.直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=
-[x-(-1)],故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.
3.(教材二次开发:练习改编)直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,则
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.k=3,b=6
B.k=-3,b=-6
C.k=-3,b=6
D.k=3,b=-6
【解析】选B.直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,可得斜率k=-3,在y轴上的截距为b=-6.
4.给出下列四个结论:①方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线;
②直线l过点P(x1,y1),倾斜角为90°,则其方程是x=x1;
③直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程是y=y1;
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的序号为　　　　.?
【解析】①不正确.方程k=不含点(-1,2);②正确;③正确;④只有k存在时成立.
答案:②③
5.已知直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　.?
【解析】令y=0,则x=-2k.令x=0,则y=k,则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|k|·|-2k|=k2.
由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1,
所以k的取值范围是k≥1或k≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)
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-1.2.2　直线的两点式方程
　　　　　　　　
直线的两点式、截距式方程
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
两点A(a,0),B(0,b),ab≠0
方程
=
+=1
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?
提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?
提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示.
(　　)
(2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.
(　　)
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(　　)
(4)一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程可以写成两点式或斜截式.
(　　)
提示:(1)×.若直线垂直于坐标轴,此时a或b不存在,不能用+=1表示.
(2)√.方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)能表示包含点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在内的直线上所有点.
(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率,所以可用点斜式方程表示.
(4)√.直线不与坐标轴平行或重合,说明直线有斜率,有截距,所以方程可以写成两点式或斜截式.
2.在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是
(　　)
A.+=1　　　　　
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.由直线的截距式方程可得+=1.
3.直线+=1过第一、三、四象限,则
(　　)
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
4.(教材二次开发:例题改编)已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　.?
【解析】AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得=,即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
类型一　直线的两点式方程(数学运算)
1.过,的直线方程是
(　　)
A.=
B.=
C.=
D.=
【解析】选B.所求直线过点,,将两点坐标代入两点式,得=.
2.已知三角形三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在直线方程是
(　　)
A.x-13y+5=0
B.x-13y-5=0
C.x+13y+5=0
D.x+13y=0
【解析】选C.因为B,C,
所以BC中点的坐标为,即.
则BC边上的中线应过A,两点,
由两点式得:=,
整理得x+13y+5=0.
3.已知点A,B,则直线AB的方程是　　　　.?
【解析】因为直线的两点式方程为=,
将点A,B代入,得=,
整理得直线AB的方程是2x-y=0.
答案:2x-y=0
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标.
(2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标.
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.
提醒:当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程.
【补偿训练】
已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为
(　　)
A.-　
　B.　
　C.-　
　D.
【解析】选A.由两点式方程=,
知直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为=-.
类型二　直线的截距式方程(数学运算)
【典例】已知直线l过点,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为
(　　)
A.2x-y=0
B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0
D.2x-y=0或2x+y-4=0
【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系,应考虑直线过原点和不过原点两类,分别设出方程,再由直线l过点求得直线方程.
【解析】选D.根据题意,直线l分2种情况讨论:
①当直线过原点时,又由直线经过点,
所以所求直线方程为y=2x,整理得2x-y=0,
②当直线不过原点时,
设直线l的方程为+=1,
代入点的坐标得+=1,解得a=2,
此时直线l的方程为+=1,
整理为2x+y-4=0.
故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.
(3)当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论.
过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数.当直线过原点时直线方程为y=2x;
当直线不过原点时设直线方程为+=1,
又因为截距互为相反数,则b=-a,
将点代入有+=1,
解得a=-1,此时直线方程为:x-y+1=0.
综上,满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.
类型三　直线方程的应用(数学运算)
　角度1　对称问题?
【典例】已知直线l:x-y+3=0,一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从B点反射到l上的一点C,最后从C点反射回A点,则直线BC的方程为　　　　.?
【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的.
【解析】作点A关于x轴的对称点A2,则A2(1,-2).
设点A关于l:x-y+3=0的对称点为A1(x0,y0),
则解得
即A1点坐标为(-1,4).由已知条件知点A1,A2均在直线BC上,所以由直线的两点式方程,得=,
即3x+y-1=0.
故直线BC的方程为3x+y-1=0.
答案:3x+y-1=0
　角度2　最值问题?
【典例】如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为　　　　.?
【思路导引】利用直线l过点P(2,1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系,由均值不等式得解.
【解析】设直线l为+=1(a>0,b>0),
因为直线l过点P(2,1),则有+=1,
三角形OAB的面积为S=ab.对+=1,
利用均值不等式得1=+≥2=,
即ab≥8.于是,三角形OAB的面积为S=ab≥4.
当且仅当a=4,b=2时等号成立.
答案:4
1.解决对称问题的方法
两点关于直线对称,则两点连线必定垂直于对称轴,并且对称两点的中点一定在对称轴上,简称为“一中点二垂直”,这是解决对称问题通用的工具.
2.计算最值问题的方法
对于三角形、四边形等图形的面积,获得对应的表达式后,可以结合式子特征,应用均值不等式、二次函数等方法,求得最大(或最小)值,需注意变量的限制条件.
1.入射光线从P(2,1)出发,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线所在直线的方程为　　　　.?
【解析】利用反射定理可得,点Q(4,3)关于x轴的对称点Q'(4,-3)在入射光线所在直线上,故入射光线所在的直线PQ'的方程为=,化简得2x+y-5=0.
答案:2x+y-5=0
2.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是　　　　.?
【解析】直线AB的方程为+=1,设P(x,y),则x=3-y,所以xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3.即当P点坐标为时,xy取得最大值3.
答案:3
1.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为
(　　)
A.y=x+3
B.y=-x+1
C.y=x+2
D.y=-x-2
【解析】选A.由两点式方程可得,=,即y=x+3.
2.直线-=1在y轴上的截距是
(　　)
A.|b|
B.-b2
C.b2
D.±b
【解析】选B.令x=0,得y=-b2.
3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为
(　　)
A.1
B.-1
C.7
D.-7
【解析】选B.直线-=1的横截距为3,纵截距为-4,
所以直线-=1在两坐标轴上的截距之和为-1.
4.经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则点P的坐标是　　　　.?
【解析】由直线的两点式方程,得MN所在直线的方程为=,即y=-x+.
令y=0,得x=,故P点坐标为.
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为　　　　.?
【解析】设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1,由截距式可得:+=1,将代入直线方程,解得:a=2或3,所以代入直线方程可得,+y=1或+=1.
答案:+y=1或+=1
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10
-1.2.3　直线的一般式方程
　　　　　　　　　　　
直线的一般式方程
(1)方程:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式.
(2)本质:直线的一般式方程是直线的定量刻画,直线是二元一次方程的几何意义.
(3)应用:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式,用一般式表示直线方程.
(1)方程y-y0=0是二元一次方程吗?
提示:是,是A为0的二元一次方程.
(2)直线与二元一次方程的关系是什么?
提示:直线的方程都可以化为二元一次方程;二元一次方程都表示直线.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线.
(　　)
(2)当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点.
(　　)
(3)当B=0,A≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与y轴平行.
(　　)
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.
(　　)
(5)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A·B≠0.
(　　)
提示:(1)√.二元一次方程能表示所有直线.
(2)√.C=0时,点(0,0)满足方程Ax+By=0,说明直线过原点.
(3)×.当C=0时,直线与y轴重合.
(4)×.当直线与坐标轴平行或重合时,不能转化为截距式或斜截式.
(5)×.方程Ax+By+C=0表示直线的条件是A,B不同时为0,若A=0,B≠0,或A≠0,B=0时,方程也表示直线.
2.直线-2x+y+3=0的斜率k=
(　　)
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选A.直线方程化为斜截式为y=2x-3,
所以斜率k=2.
3.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m=　　　　.?
【解析】线段AB的中点坐标为(1,1),代入直线方程得m+3-5=0,所以m=2.
答案:2
4.(教材二次开发:例题改编)已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过第　　　　象限.?
【解析】直线ax+by=c,即y=-x+,因为ab<0,bc<0,所以斜率k=->0,直线在y轴上的截距<0.
故直线过第一、三、四象限.
答案:一、三、四
类型一　直线的一般式方程(数学运算)
1.下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是
(　　)
A.3x+4y+7=0
B.4x+3y+7=0
C.4x+3y-42=0
D.3x+4y-42=0
2.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于
(　　)
A.
B.-5
C.
D.-3
3.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-,经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),平行于x轴;
(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】1.选B.将一般式化为斜截式,斜率为-的有B、C两项.又y=-x+14过点(0,14),即直线过第一象限,所以只有B项符合题意.
2.选D.令y=0,可得x=-3,所以直线在x轴上的截距等于-3.
3.(1)由点斜式得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得+=1,即2x-y-3=0.
(4)由两点式得=,即x+y-1=0.
求直线的一般式方程的方法
1.当A≠0时,方程可化为x+y+=0,只需求,的值;若B≠0,则方程化为x+y+=0,只需确定,的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程.
2.在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式.
提醒:在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意其适用的前提条件.
【补偿训练】
直线+=1,化成一般式方程为
(　　)
A.y=-x+4
B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0
D.4x+3y=12
【解析】选C.直线+=1化成一般式方程为4x+3y-12=0.
类型二　含参数的直线的一般式方程(数学运算)
【典例】(1)设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为　　　　.?
(2)设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
①直线l的斜率为-1;
②直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.
【思路导引】(1)由方程获得斜率和截距后,通过限制斜率和截距的符号,即可限制直线的位置.
(2)分别将直线l的方程化为斜截式和截距式求解.
【解析】(1)把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
(2)①因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2.
由题意得-=-1,解得k=5.
②直线l的方程可化为+=1.
由题意得k-3+2=0,解得k=1.
1.典例(1)中若将方程改为“x+(a-1)y-2-a=0(a∈R)”,其他条件不变,则a的取值范围为　　　　.?
【解析】(1)当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不过第三象限,符合.
(2)当a-1≠0,即a≠1时,直线化为斜截式方程为y=x-,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a>1.由(1)(2)可知a≥1.
答案:a≥1
2.若典例(1)中的方程不变,将“直线l不过第三象限”改为“直线l不过第二象限”,则a的取值范围为　　　　.?
【解析】把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第二象限,故该直线的斜率大于等于零,且直线在y轴上的截距小于等于零.
即解得a≤-2.
答案:a≤-2
含参数的一般式的处理方法
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.
(2)令x=0可得在y轴上的截距;令y=0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
1.若直线(m+2)x+(m2-2m-3)y=2m在x轴上的截距为3,则实数m的值为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-6
C.-
D.6
【解析】选B.依题意知直线过点(3,0),
代入直线方程得3(m+2)=2m,解得m=-6.
2.直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a=　　　　.?
【解析】依题意可知k=tan
45°=1,所以-=1,且a2-9≠0.
解得a=-或a=3(舍去).
答案:-
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.,
B.-,-
C.-,-
D.,
【解析】选C.直线3x+4y+5=0可化为y=-x-.
所以直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为-,-.
2.若方程(m2-m)x+(2m2+m-3)y+4m-2=0表示一条直线,则实数m满足
(　　)
A.m≠0
B.m≠-
C.m≠1
D.m≠-,m≠0,m≠1
【解析】选C.根据题意,若方程(m2-m)x+(2m2+m-3)y+4m-2=0表示一条直线,则m2-m=0与2m2+m-3=0不同时成立,由m2-m=0可得m=0或1,
由2m2+m-3=0得m=1或-;故m≠1.
3.(教材二次开发:练习改编)已知直线mx+ny=-1的斜率为-,且在y轴上的截距为,则m,n的值分别为
(　　)
A.4和3　
B.-4和3
C.-4和-3
D.4和-3
【解析】选C.由题意得n≠0,于是直线可化为y=-x-.
由-=-,-=,得m=-4,n=-3.
4.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是　　　　.?
【解析】直线方程可化为y-1=m(x+2).
由直线的点斜式可知直线过定点(-2,1).
答案:(-2,1)
5.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　.?
【解析】由2x-3y+12=0知,斜率为,在y轴上的截距为4.
根据题意,直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,
所以直线l的方程为x-3y+24=0.
答案:x-3y+24=0
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-1.3　两条直线的平行与垂直
1.两条直线的平行
(1)当直线l1,l2的斜率均存在时,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:l1与l2平行?k1=k2且b1≠b2;
当直线l1,l2的斜率都不存在时,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2.
(2)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2,重合的充要条件是C1=C2.
2.两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2?k1k2=-1.
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
两直线互相垂直,一定能得到两直线的斜率之积等于-1吗?
提示:不一定,因为两直线互相垂直,可能其中一条直线的斜率不存在.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.
(　　)
(2)若l1∥l2,则k1=k2.
(　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.
(　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.
(　　)
提示:(1)×.两条直线的斜率相等,这两条直线可能平行,也可能重合.
(2)×.两条直线平行,也可能两条直线都不存在斜率.
(3)×.两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,这两条直线才垂直.
(4)√.两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线都垂直于x轴,所以一定平行.
2.(教材二次开发:例题改编)已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3
B.3
C.-
D.
【解析】选B.kAB==3,因为l∥AB,所以k=3.
3.直线y=2与直线x=0的位置关系是
(　　)
A.平行
B.垂直
C.重合
D.以上都不对
【解析】选B.直线y=2与直线x=0垂直.
类型一　两条直线平行的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是(　　)
A.1或3　
B.1或5　
C.3或5　
D.1或2
(2)过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为
(　　)
A.2x+y-1=0　
B.2x+y-5=0
C.x-2y+7=0　
D.x-2y+5=0
【思路导引】(1)根据斜率存在不存在分类讨论,若存在斜率,则斜率相等.
(2)显然斜率存在,两直线平行斜率相等,由点斜式求出直线方程,再化为一般式.
【解析】(1)选C.由两直线平行得,
①当k-3=0时,两直线的方程分别为y=-1和y=,显然两直线平行.
②当k-3≠0时,由=≠,可得k=5.
综上,k的值是3或5.
(2)选C.由已知,所求直线的斜率是k=,由点斜式方程可得y-3=(x+1),即x-2y+7=0.
判断两条直线是否平行的步骤
【跟踪训练】
若直线2x+3y-1=0与直线4x+my+11=0平行,则m的值为
(　　)
A.　
B.-　
C.-6　
D.6
【解析】选D.直线2x+3y-1=0的斜率为-,直线4x+my+11=0的斜率为-,因为两直线平行,所以-=-,则m=6.
类型二　两条直线垂直的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1:x+ay+1=0与l2:x-y+1=0垂直,则a=　　　　.?
(2)△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(4,4),C(0,3),求:
①AC边所在直线的方程.
②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程.
【思路导引】(1)两直线垂直,斜率乘积为-1或一条直线斜率为0,另一条斜率不存在.
(2)显然所求直线斜率存在,由垂直关系可求出斜率,由点斜式求出直线方程,再化为一般式.
【解析】(1)显然l2斜率存在且为1,又因为两直线垂直,所以l1斜率为-1,即-=-1,解得a=1.
答案:1
(2)①直线AC的斜率为k=-,
由点斜式得直线方程为y-0=-(x-2),
即3x+2y-6=0,
②由①知,直线AC的斜率为k=-,AC⊥DE,
直线DE斜率为,线段AC的中点坐标为,
由点斜式可得直线DE的方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0.
判断两直线垂直的方法
(1)若所给的直线方程都是一般式方程,则运用条件:
l1⊥l2?A1A2+B1B2=0判断.
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程,则运用条件:
l1⊥l2?k1·k2=-1判断.
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形,则把直线方程化为一般式再判断.
已知直线l1:(1-a)x+ay-2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,若l1⊥l2,则a的值为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0或2
B.0或-2
C.2
D.-2
【解析】选B.根据直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的等价条件是:A1A2+B1B2=0,根据题意得到:(1-a)a+a(2a+1)=0整理为:a2+2a=0,解得a=0或-2.
1.若直线l1:x+y-a-b=0与直线l2垂直,则l2的倾斜角为
(　　)
A.135°
B.45°
C.30°
D.60°
【解析】选B.=-1,·=-1,
所以直线l2的斜率为1,倾斜角为45°.
2.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为
(　　)
A.24
B.20
C.0
D.-4
【解析】选B.由垂直性质可得2m-20=0,m=10.
由垂足可得得所以m-n+p=20.
3.已知A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),点D在x轴上,则当点D的坐标为　　　　时,AB⊥CD.?
【解析】设点D(x,0),因为kAB==4≠0,
所以直线CD的斜率存在.
则由AB⊥CD知,kAB·kCD=-1,
所以4·=-1,解得x=-9.
答案:(-9,0)
4.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1∥l2,则实数a的值为　　　　.?
【解析】因为l1∥l2,所以kAB=kMN.
因为kAB==-,kMN==3,
所以-=3,所以a=-6.
答案:-6
5.已知直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值.
【解题指南】已知l1的斜率存在,又l1⊥l2,所以l2的斜率也存在,设为k2,则由k1·k2=-1,可得关于a的方程,解方程即可.
【解析】设直线l2的斜率为k2,
则k2==-.
因为l1⊥l2,且k1=,所以k1·k2=-1,
所以×=1,即a2-4a+3=0,
解得a=1或a=3.
6.直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,
l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值.
【解析】(1)当l1,l2斜率都存在时,
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2,得-=-,解得m=-4.
此时l1:x-14y-2=0,l2:x-14y-=0,
显然,l1与l2不重合,满足条件.
(2)当l1,l2斜率不存在时,解得m=3.
此时l1:x=-,l2:x=,满足条件.
综上所述,m=-4或m=3.
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-1.4　两条直线的交点
1.5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
1.两条直线的交点
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1,l2的公共点
一个
无数个
零个
直线l1,l2的位置关系
相交
重合
平行
2.两点间的距离公式
(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=.
(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2=?为什么?
提示:能,因为
=.
3.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.
(　　)
(2)两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0.
(　　)
(3)方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示经过直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线.
(　　)
(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.
(　　)
提示:(1)√.由两直线方程组成的方程组的解同时满足两个方程,在两条直线上,所以是交点坐标.
(2)√.两直线l1与l2相交,需≠(分母不为零),转化为整式即为A1B2-A2B1≠0,也去掉了分母的限制条件.
(3)×.无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.
(4)√.两点间的距离公式包含差的平方,所以与两点的先后顺序无关.
2.直线x=1与直线y=2的交点坐标是
(　　)
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,1)
D.(2,2)
【解析】选A.直线x=1与直线y=2是互相垂直的直线,其交点坐标是(1,2).
3.已知M(2,1),N(-1,5),则MN等于
(　　)
A.5
B.
C.
D.4
【解析】选A.MN==5.
4.(教材二次开发:例题改编)已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是　　　　.?
【解析】l1与l2相交,则有:≠,所以a≠2.
答案:a≠2
类型一　求两条直线的交点坐标(数学运算)
1.直线4x+2y-2=0与直线3x+y-2=0的交点坐标是
(　　)
A.(2,2)
B.(2,-2)
C.(1,-1)
D.(1,1)
2.(多选题)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的取值为
(　　)
A.a=1
B.a=-1
C.a=-2
D.a=2
3.经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程是　　　　.?
【解析】1.选C.解方程组得所以交点坐标为(1,-1).
2.选ABC.由题意可得
l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.
若l1和l3平行,则=,求得a=1;
若l2和l3平行,则
=,求得a=1.
若
l1和l2平行,则=,求得a=±1.
当三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一个点时,a=-2;
综上可得,实数a所有可能的值为-1,1,-2.
3.方法一:由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
因为直线过坐标原点,所以其斜率k==-1.
故直线方程为y=-x,即x+y=0.
方法二:因为l2不过原点,所以可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,所以直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.
答案:x+y=0
过两条直线交点的直线方程求法
求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程.
过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系有两种:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示过l1,l2交点的所有直线;
②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2.
【补偿训练】
1.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是
(　　)
A.-24　　　B.6　
　　C.±6　　　D.24
【解析】选C.设交点P(0,y),代入2x+3y-k=0,得y=,所以P,代入x-ky+12=0,得0-+12=0,所以k=±6.
2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为
(　　)
A.-2
B.-
C.2
D.
【解析】选B.易求直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),代入x+ky=0,得k=-.
类型二　过定点的直线(数学运算,直观想象)
【典例】求证:不论λ为何实数,直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3都恒过一定点.
四步
内容
理解题意
条件:直线方程:(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3结论:直线恒过定点
思路探求
给λ任取两个特殊值,得两条直线的方程,联立得交点;也可整理为关于λ的一次式,令系数与常数项都为零解得交点.
书写表达
证明:方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直线l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直线l2:x=-3,故l1与l2的交点为P(-3,3).将点P(-3,3)代入方程左边,得(λ+2)×(-3)-(λ-1)×3=-6λ-3,所以点(-3,3)在直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3上.所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).方法二:(分离参数法)由(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3,整理得(2x+y+3)+λ(x-y+6)=0.则直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3通过直线2x+y+3=0与x-y+6=0的交点.由方程组得所以直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3恒过定点(-3,3).
题后反思
交点一定是二元一次方程组的解.
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法:给方程中的参数取两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,从中解出的x,y的值即为所求定点的坐标;
(2)点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);
(3)分离参数法:将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点,而此交点就是定点.
求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.
【解析】方法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,
令m=0,得x-3y-11=0;
令m=1,得x+4y+10=0.解方程组得两条直线的交点坐标为(2,-3).
将点(2,-3)代入直线方程,得
(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0.
这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
方法二:将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,
整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
由于m取值的任意性,有解得
所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
类型三　两点间的距离(数学运算,直观想象)
【典例】已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
【思路导引】计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得关系.
【解析】方法一:因为AB==2,
AC==2,
又BC==2,
所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,所以△ABC是等腰直角三角形.
方法二:因为kAC==,kAB==-,
则kAC·kAB=-1,所以AC⊥AB.
又AC==2,
AB==2,
所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.
判断三角形形状的方法
在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或满足勾股定理.
已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5).
求证:△ABC是等腰三角形.
【证明】因为AB==2,
AC==2,
BC==2,
所以AC=BC.
又因为点A,B,C不共线,所以△ABC是等腰三角形.
类型四　坐标法证题(直观想象,逻辑推理)
【典例】在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求证:△ABC为等腰三角形.
【思路导引】在图形中建立坐标系,设点,说明AB=AC.
【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).
因为AD2+BD·DC=AB2,
所以由两点间距离公式,可得d2+a2+(d-b)(c-d)=b2+a2,化简得(c+b)(d-b)=0.
又d-b≠0,所以c+b=0,即-b=c,
所以OB=OC,所以AB=AC,
即△ABC为等腰三角形.
坐标法解决几何问题关键
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.
已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD.
【证明】如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).
所以AC==,
BD==.
故AC=BD.
1.(教材二次开发:练习改编)已知直角坐标平面上连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为
(　　)
A.41　　　B.　　　C.　　　D.39
【解析】选B.设M(x,y),由题意得
解得所以M(4,-5).
则M到原点的距离为=.
2.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为
(　　)
A.-3,-4
B.3,4
C.4,3
D.-4,-3
【解析】选B.由得由题意得
得
3.过直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,且斜率为3的直线方程是　　　　.?
【解析】解方程组得所以两直线的交点坐标为(-1,0),又所求直线的斜率为3,故所求直线的方程为y-0=3[x-(-1)],即3x-y+3=0.
答案:3x-y+3=0
4.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则AB的值为　　　.?
【解析】直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B,由两点间的距离公式,得AB=.
答案:
5.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是　　　　.?
【解析】由得
由于交点在第一象限,故x>0,y>0,解得k>.
答案:
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11
-1.5.2　点到直线的距离
1.点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?
提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.
2.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离?
提示:直线l1,l2的方程必须是一般式,且一次项系数A,B相同.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.
(　　)
(2)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
(　　)
(3)两直线2x+2y=m与x+y=2n的距离为.
(　　)
提示:(1)×.点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离应为d=|y0-b|,因为y0与b的大小不确定.
(2)√.点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|,式子中加了绝对值,所以正确.
(3)×.求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式.
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为
(　　)
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.d==.
3.两条平行线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0的距离为
(　　)
A.3
B.2
C.1
D.
【解析】选C.d==1.
4.(教材二次开发:例题改编)若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为　　　　.?
【解析】由=,得m=-4或m=0,又因为m<0,所以m=-4.
答案:-4
类型一　点到直线的距离公式(数学运算)
1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是
(　　)
A.3　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
2.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=
(　　)
A.0
B.
C.3
D.0或
3.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为
(　　)
A.(0,-2)
B.(2,4)
C.(0,-2)或(2,4)
D.(1,1)
4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是
(　　)
A.8
B.2
C.
D.16
【解析】1.选B.点P(1,-1)到直线l的距离d==.
2.选D.点M到直线l的距离d==,
所以=3,
解得m=0或m=.
3.选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,
整理得|t|=1,所以t=1或-1.
当t=1时,点P的坐标为(2,4);
当t=-1时,点P的坐标为(0,-2).
4.选A.x2+y2=()2,它表示原点到(x,y)距离的平方,x2+y2的最小值即为原点到直线x+y-4=0的距离的平方,=8.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式;
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用;
(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
【补偿训练】
1.若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是
(　　)
A.　　　　　　
B.[3,4]
C.(0,10)
D.(-∞,0)∪[10,+∞)
【解析】选A.由≤3,即|3a-16|≤15,
所以≤a≤.
2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于
(　　)
A.
B.-
C.-或-
D.-或
【解析】选C.由点到直线的距离公式可得=,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.
3.已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是
(　　)
A.(a-b)
B.(b-a)
C.b-a
D.
【解析】选B.因为P(a,b)是第二象限的点,
所以a<0,b>0.所以a-b<0.
所以点P到直线x-y=0的距离d=
=(b-a).
类型二　两条平行线间的距离(数学运算)
【典例】(1)两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　.?
(2)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程为　　　　.?
【思路导引】(1)首先利用对应系数的比值相等求m,再计算距离;
(2)设出直线l的方程,利用两条平行线间距离公式求解.
【解析】(1)由题意,得=,所以m=2,
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
由两平行线间距离公式,得==.
(2)设直线l的方程为2x-y+C=0,
由题意,得=,
解得C=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
答案:(1)　(2)2x-y+1=0
1.求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2时,d=.但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
2.由两平行直线间的距离求直线方程的两种思路
(1)设出所求直线方程后,在其中一条直线上取一点,利用点到直线的距离公式求解;
(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解.
1.若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0之间的距离是,则m+n=
(　　)
A.0
B.1
C.-1
D.-2
【解析】选A.由直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0平行可得-n=2即n=-2,
又因为直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0的距离为,所以=,解得m=2或m=-8(舍去),
所以m+n=2+=0.
2.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程为
(　　)
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0
【解析】选D.因为所求与直线2x+y+1=0的距离为,
所以可得所求直线与已知直线平行,设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠1),所以d==,解得c=0或c=2,
故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
类型三　距离的综合应用(数学运算、直观想象)
　角度1　计算三角形面积?
【典例】已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
【思路导引】计算一条边长和这条边上的高,即第三个顶点到这条边的距离.
【解析】选C.设AB边上的高为h,则S△ABC=AB·h,AB==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.
　角度2　求直线方程?
【典例】已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.
【思路导引】先求出正方形中心坐标,利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解.
【解析】设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为l1:x+3y+c=0(c≠-5).
由得正方形的中心坐标为P(-1,0),
由点P到两直线l,l1的距离相等,得=,
解得c=7或c=-5(舍),所以l1:x+3y+7=0.
又正方形另两边所在直线与l垂直,
所以设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,
3x-y+b=0.
因为正方形中心到四条边的距离相等,
所以=,得a=9或a=-3,
所以另两条边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.
所以另三边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.
求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程.
【解析】由例题知,正方形中心坐标为P(-1,0),则与OP垂直的直线到原点的距离最大.因为kOP=0,
所以此时所求直线方程为x=-1.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题:①利用对称转化为两点之间的距离问题.②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.
(2)求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.
(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.
1.已知△ABC中,A(1,1),B(m,)(1【解析】因为A(1,1),C(4,2),
所以AC==.
又AC边所在直线的方程为x-3y+2=0,
根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=.
所以S=AC·d=|m-3+2|=
-.
因为1所以0≤<,
所以S=.
所以当-=0,即m=时,S最大.
故当m=时,△ABC的面积最大.
2.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1),
则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).
所以AD=,BC=b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离,
故h===(b>1),
由梯形的面积公式得×=4,
所以b2=9,b=±3.
又b>1,所以b=3.
从而得直线l2的方程是x+y-3=0.
1.直线6x+8y-2=0与6x+8y-3=0间的距离为
(　　)
A.1
B.3
C.
D.
【解析】选C.由平行线间的距离公式可知,直线间的距离为d==.
2.点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为
(　　)
A.a>7
B.a<-7或a>3
C.a<-3
D.a>7或a<-3
【解析】选D.根据题意,得>3,解得a>7或a<-3.
3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:x+3y+2a=0平行,则与间的距离为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题:直线l1:x+ay+6=0与l2:x+3y+2a=0平行,
则3=a,即a2-2a-3=0解得a=3或a=-1,
当a=3时,直线l1:x+3y+6=0与l2:x+3y+6=0重合;
当a=-1时,直线l1:x-y+6=0与l2:x-y+=0平行,
两直线之间的距离为=.
4.(教材二次开发:练习改编)若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则实数k的值是　　.?
【解析】因为=4,
所以|16-12k|=52,所以k=-3或k=.
答案:-3或
5.已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,求直线l的方程.
【解析】当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时,
设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,由d==2,
得k=-,即直线l的方程为5x+12y-26=0.
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-阶段提升课第一课　直线与方程
题组训练一　倾斜角与斜率?
1.若三点A(-1,-2),B(4,8),C(5,x)在同一条直线上,则实数x的值为
(　　)
A.10　　　B.-10　　　C.5　　　　D.-5
【解析】选A.依题意,kAB=kAC,
即=,解得x=10.
2.如果直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　.?
【解析】因为直线l1的倾斜角为150°,所以∠BCA=30°,
所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°.
答案:30°
3.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.?
【解析】由题意知kPA=-1,
若P点在x轴上,则设P(m,0),则=-1,
解得m=3;若P点在y轴上,
则设P(0,n),则=-1,解得n=3,
故P点的坐标为(3,0)或(0,3).
答案:(3,0)或(0,3)
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角,关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角,同时应明确倾斜角的范围.
(2)当直线的倾斜角α∈[0°,90°)时,随着α的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角α∈(90°,180°)时,随着α的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大.
题组训练二　直线的方程?
1.已知直线l1:y=-x+与直线l2:y=x+垂直,垂足为H(1,p),则过点H且斜率为的直线方程为
(　　)
A.y=-2x+2
B.y=4x-2
C.y=-4x+2
D.y=-2x-2
【解析】选C.由题意可得解得
所以==-4,
则所求直线方程为y+2=-4(x-1),即y=-4x+2.
2.过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0的直线方程为　　　　.?
【解析】由得交点为,
又l3的斜率为-,
所以所求直线方程为y+=-,
得8x+16y+21=0.
答案:8x+16y+21=0
3.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线l的方程为　　　　.?
【解析】设直线l的方程为+=1,
所以|ab|=3,且-=,
解得a=-6,b=1或a=6,b=-1,
所以直线l的方程为+y=1或-y=1,即x-6y+6=0或x-6y-6=0.
答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.
题组训练三　直线的位置关系?
1.经过点A(1,1)和点B(-3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a,-7)的直线l2平行,则a=
(　　)
A.1
B.4
C.52
D.44
【解析】选C.因为k1==-,又l1∥l2,
所以k2==-,故a=52.
2.直线l过点(-3,0),且与直线y=2x-3垂直,则直线l的方程为
(　　)
A.y=-(x-3)
B.y=-(x+3)
C.y=(x-3)
D.y=(x+3)
【解析】选B.因为直线y=2x-3的斜率为2,
所以直线l的斜率为-.
又直线l过点(-3,0),故所求直线的方程为y=-(x+3).
直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法:两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.
(2)注意点:解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况.
题组训练四　距离公式?
1.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们间的距离是,则m+n=(　　)
A.0
B.1
C.-1
D.2
【解析】选A.由题意,所给两条直线平行,所以n=-2.
由两条平行直线间的距离公式,得d=
==,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=0.
2.已知△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,则点C的坐标为　　　　.?
【解析】设C(x,y),由AB=5,△ABC的面积为10,得点C到直线AB的距离为4,
又线段AB所在直线方程为3x+4y-17=0.
所以解得或
所以点C的坐标为(-1,0)或.
答案:(-1,0)或
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离,点到直线的距离,两平行直线间的距离.
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.
题组训练五　对称问题?
1.和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为
(　　)
A.3x+4y+5=0
B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0
D.-3x+4y+5=0
【解析】选A.设所求直线上的任一点为(x,y),
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),
因为点(x,-y)在直线3x-4y+5=0上,所以3x+4y+5=0.
2.光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),则反射光线所在直线的方程为　　　　.?
【解析】设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),
则解得A'(-4,-3).
由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),
所以反射光线所在直线的方程为y-1=(x-1)·,
即4x-5y+1=0.
答案:4x-5y+1=0
1.点关于直线对称的点的求法
点N(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M(x,y),可由方程组求得.
2.直线关于直线对称的直线的求法
求直线l1:A1x+B1y+C1=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称,在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于直线l的对称点,再用两点式求出l2的方程.
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