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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
【素养目标】
1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)
2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理)
3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)
4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)
【学法解读】
在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．
第1课时　集合的含义
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　集合与元素的含义
一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__．
对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．
元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．
总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
知识点2
　集合中元素的三个特性
特性
含义
示例
确定性
作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了
集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4?A
互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素
集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2
无序性
构成集合的元素间无先后顺序之分
集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
思考2：集合元素的三个特性主要有哪些应用？
提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．
(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．
(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．
知识点3
　元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a__∈__A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a__不属于__集合A
思考3：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
(2)符合“∈”“?”的左边可以是集合吗？
提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．
知识点4
　常用数集及其记法
数集
意义
符号
非负整数集(或自然数集)
全体非负整数组成的集合
N
正整数集
全体正整数组成的集合
N
或N＋
整数集
全体整数组成的集合
Z
有理数集
全体有理数组成的集合
Q
实数集
全体实数组成的集合
R
思考4：N，N
，N＋有什么区别？
提示：
(1)N为非负整数集(或自然数集)，而N
或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N
(N＋)不包括0．
(2)N
和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N
或N＋，为避免出错，对于N
和N＋，可形象地记为“星星(
)在天上，十字(＋)在地下”．
基础自测
1．下列各组对象中不能组成集合的是(　C　)
A．清华大学2021年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1＞0的实数解
[解析]　“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
2．已知a∈R，且a?Q，则a可以为(　A　)
A．　　　　　　　　
B．
C．－2
D．－
[解析]　∈R，且?Q，故选A．
3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)．
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤?R．
[解析]　π，为无理数，为实数，故填①④．
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．
[解析]　方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　集合的基本概念
例1　下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2022年在中国举行的第24届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②③__．
[分析]　结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析]　①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③．
[归纳提升]　1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【对点练习】?
下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2020年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析]　(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3．∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
题型二　元素与集合的关系
例2　若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－2是不是集合A中的元素．
[分析]　根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2．
[解析]　因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，即可得到6－2，
所以6－2是集合A中的元素．
[归纳提升]　1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N
表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
【对点练习】?
(1)下列关系中，正确的有(　C　)
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q．
A．1个　　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__2,1,0__．
[解析]　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0．因此A中元素有2,1,0．
例3　已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
[分析]　－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
[解析]　由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3．
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－．
[归纳提升]　解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．
【对点练习】?
已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1____．
[解析]　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1．
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-第2课时　集合的表示
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　列举法
把集合的所有元素__一一列举__出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法．
思考1：哪些集合适合用列举法表示？
提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．
(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0,1,2，…，n，…}．
(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．
知识点2
　描述法
1．设A是一个集合，把集合A中所有具有__共同特征__P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
2．具体步骤：
(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．
(2)画一条竖线．
(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
思考2：什么类型的集合适合描述法表示？
提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　×　)
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2．(　×　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　√　)
2．不等式x－3＜2且x∈N
的解集用列举法可表示为__{1,2,3,4}__．
3．方程组的解集可表示为__①②④__(填序号)．
①；
②；
③{1,2}；④{(x，y)|x＝1且y＝2}．
4．说明下列各集合的含义：
A＝{y|y＝}；B＝{(x，y)|＝1}；
C＝{(0,1)}；D＝{x＋y＝1，x－y＝－1}．
[解析]　A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}，
B的代表元素是点(x，y)，其表示直线y＝x－3上除去点(3,0)外所有点组成的集合．
C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1)．
D表示以方程“x＋y＝1”和“x－y＝－1”为元素的一个二元素集．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．
[分析]　(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．
[解析]　(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．
(3)方程组的解是，所求集合为{(，)}．
[归纳提升]　1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【对点练习】?
用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
题型二　用描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合；
(4)200以内的正奇数组成的集合；
(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．
[分析]　用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．
[解析]　(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x＜0，且y＞0，故集合可表示为{(x，y)|x＜0，且y＞0}．
(3)要使该式有意义，需有，
解得x≤2，且x≠0．故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x＜200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0}．
[归纳提升]　用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象．
2．准确说明集合中元素所满足的特征．
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．
【对点练习】?
用描述法表示下列集合：
(1)大于6的全体奇数组成的集合；
(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；
(3)所有的三角形组成的集合．
[解析]　(1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于6，故k≥3，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥3}．
(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．
(3){x|x是三角形}．
题型三　集合中的方程问题
例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合；
(2)若集合A中有两个元素，求实数k的值组成的集合．
[分析]　(1)集合中只有一个元素，说明对应方程的根只有一个，分别寻找使方程只有一个根的条件，注意对方程是否为二次方程进行讨论．
(2)寻找使方程产生两个不等实根的条件．
[解析]　(1)①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
(2)由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k＞0，即k＜1，且k≠0．所以实数k的值组成的集合为{k|k＜1，且k≠0}．
[归纳提升]　集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．
(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解．若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6．
(2)当a＝0时，方程化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件．
当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得Δ＝4－8a≤0，即a≥，此时方程无实数根或有两个相等的实数根．综合(1)(2)可知，当a≥或a＝0时，集合M中至多有一个元素．
误区警示
忽视集合中元素的互异性
例4　方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为__{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)__．
[错解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
[错因分析]　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
[正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a．
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．
[方法点拨]　在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性．
学科素养
解决集合的新定义问题的基本方法
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
例5　当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为__{5}__．
[分析]　准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．
[解析]　由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可．0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．
[归纳提升]　解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
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-1.2　集合间的基本关系
【素养目标】
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　子集、真子集的概念
1．子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
记法与读法
记作__A?B__(或__B?A__)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
或
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A．(2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C．
2．真子集的概念
定义
如果集合A?B，但存在元素__x∈B__，且__x?A__，就称集合A是集合B的真子集
记法
记作A?B(或B?A)
图示
结论
(1)A?B，B?C，则A?C．(2)A?B且A≠B，则A?B．
思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“?”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N．
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
知识点2
　集合相等
自然语言
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．
符号语言
A?B且B?A?A＝B
图形语言
思考2：怎样证明或判断两个集合相等？
提示：(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
知识点3
　空集
定义
不含任何元素的集合叫做空集
记法
?
规定
空集是任何集合的子集，即??A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，???(2)A≠?，则??A
思考3：?，0，{0}与{?}之间有怎样的关系？
提示：
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
?是集合；0是实数
?不含任何元素；{0}含一个元素0
?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是?
关系
0??
??{0}
??{?}或?∈{?}
知识点4
　Venn图
在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
注意：1．用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．
?A?B　
?B?A
?A＝B　　　　　
2．Venn图适用于元素个数较少的集合．
思考4：Venn图的优点是什么？
提示：形象直观．
基础自测
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(　D　)
A．M＜N　　　　　　　
B．M∈N
C．N?M
D．M?N
[解析]　∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D．
2．下列四个集合中，是空集的为(　B　)
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
[解析]　x＞8，且x＜5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
3．用适当的符号填空：
(1)a__∈__{a，b，c}；(2)0__∈__{x|x2＝0}；(3)?__＝__{x∈R|x2＋1＝0}；(4){0,1}__?__N；(5){0}__?__{x|x2＝x}；(6){2,1}__＝__{x|x2－3x＋2＝0}．
4．若A＝{1，a,0}，B＝{－1，b,1}，且A＝B，则a＝__－1__，b＝__0__．
[解析]　利用集合相等，元素相同可得a＝－1，b＝0．
5．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＜1}；
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
[解析]　(1)A?B　(2)A?B　(3)A＝B
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　集合间关系的判断
例1　(1)(2021·抚州高一检测)设集合A＝{x|x＝＋，k∈Z}，B＝{x|x＝＋，k∈Z}，则集合A与B的关系是(　B　)
A．A?B
B．B?A
C．A＝B
D．A与B关系不确定
(2)(2020·太原高一检测)在下列各组中的集合M与N中，使M＝N的是(　D　)
A．M＝{(1，－3)}，N＝{(－3,1)}
B．M＝?，N＝{0}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}
D．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}
(3)判断下列两个集合之间的关系：
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝4n，n∈Z}．
②P＝{x|x－3＞0}，Q＝{x|2x－5≥0}．
③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝{x|x＝}．
[分析]　(1)将集合A、B中的表达式分别提取，再分析得到式子的形式，可得A、B的关系；
(2)结合每个集合中元素的形式和元素的取值进行判断；
(3)根据数集的意义、不等式表示的范围等方法进行判断．
[解析]　(1)对集合B，x＝＋＝(2k＋1)，因为k为整数，所以集合B表示的数是的奇数倍；对集合A，x＝＋＝(k＋2)，因为k＋2是整数，所以集合A表示的数是的整数倍．
因此，B中元素必定是A中的元素，即B?A，故选B．
(2)在A中，M和N表示不同的点；
在B中，M是空集，N是单元素集；
在C中，M是数集，N是点集；
在D中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，
N＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}＝{t|t≥1}．
因此，M＝N．故选D．
(3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以Q?P；
②P＝{x|x－3＞0}＝{x|x＞3}，
Q＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}．
所以P?Q．
③P＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．在Q中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以Q＝{0,1}，所以P＝Q．
[归纳提升]　(1)集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
AAA
—
—
—―→
(2)证明集合相等的两种方法
①用两个集合相等的定义，证明两个集合A，B中的元素全部相同，即可证明A＝B；
②证明A?B，同时B?A，推出A＝B．
【对点练习】?
(2020·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(　D　)
①?＝{0}；②??{0}；③?∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}?{1,2,3}；⑧{a，b}?{b，a}．
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
[解析]　?表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则?≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；?和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}?{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．
题型二　确定集合的子集、真子集
例2　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[分析]　→→
[解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)·(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4．
故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：?．
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
[归纳提升]　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……，一一写出，保证不重不漏．
【对点练习】?
满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　C　)
A．2　　　　　
B．6
C．7
D．8
[解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．
题型三　由集合间的关系求参数范围问题
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A?B，求实数m的取值范围；
(2)若B?A，求实数m的取值范围．
[分析]　借助数轴分析，注意对B为空集情况的讨论．
[解析]　(1)当A?B时，如图所示，此时B≠?．
∴即
∴m不存在，即不存在实数m使A?B．
(2)①当B≠?时，若B?A，如图所示，
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3．
②当B＝?时，满足B?A，由m＋1＞2m－1，得m＜2．
综上可得，m的取值范围是m≤3．
[归纳提升]　(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
此类问题要注意对空集的讨论．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝__1__；
(2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为B?A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1．当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B?A，故m＝1．
(2)当B＝?时，只需2a＞a＋3，即a＞3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或，解得a＜－4或2＜a≤3．
综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2．
误区警示
忽视“空集”的存在
例4　已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为(　D　)
A．{－1}
B．{1}
C．{－1,1}
D．{－1,0,1}
[错解]　因为B?A，而B＝{x|x＝－}，因此有－∈A，所以a＝±1，故选C．
[错因分析]　空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为?．在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax＝－1的解不能写成x＝－，二是忽视了B?A时，B可以为空集．事实上a＝0时，方程无解．
[正解]　因为B?A，所以当B≠?，即a≠0时，B＝{x|x＝－}，因此有－∈A，所以a＝±1；
当B＝?，即a＝0时满足条件．
综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D．
[方法点拨]　已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
学科素养
分类讨论思想的应用
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
例5　(2021·江苏南通高一联考)若A＝{|a|，a2}，B＝{0,2,4}，且A?B，则实数a的所有值为__2，－2__．
[分析]　根据集合中元素的互异性以及子集的定义进行分类讨论．
[解析]　∵A＝{|a|，a2}，B＝{0,2,4}，且A?B，
∴由元素的互异性可知|a|≠a2，
∴a≠0，∴|a|≠0．
①当|a|＝2时，a＝±2，a2＝4，此时A＝{2,4}，符合题意；
②当|a|＝4时，a＝±4，a2＝16，此时A＝{4,16}，不符合题意．
∴a的值为2或－2．
[归纳提升]　A是B的子集，则A中元素都是B中的元素，可以让A中元素与B中元素对应相等，但要注意检验，排除与集合互异性或与已知相矛盾的情形．
课堂检测·固双基
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有(　C　)
A．M?N　　　　　　　
B．M∈N
C．N?M
D．M＝N
[解析]　∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M．
2．下列四个集合中是空集的是(　B　)
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x2＋2x＋1＝0}
[解析]　方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
3．(2021·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}的真子集个数是(　C　)
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析]　A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是__②__．
[解析]　由N＝{－1,0}，知N?M．
5．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，则实数a组成的集合C＝__{0，，}__．
[解析]　∵A＝{x|x2－8x＋15＝0}，∴A＝{3,5}．
又∵B＝{x|ax－1＝0}，∴当B＝?时，a＝0，显然B?A；当B≠?时，B＝{}，由于B?A，∴＝3或5，∴a＝或．
故实数a组成的集合C＝{0，，}．
PAGE
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11
-1.3　集合的基本运算
【素养目标】
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)
2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算)
4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)
5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)
6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)
7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．
2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．
第1课时　并集与交集
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　并集
自然语言
一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union
set)，记作__A∪B__(读作“A并B”)．
符号语言
__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__
图形语言
　(2)A与B没有公共元素(3)A?B　　　
　(4)B?A　
　　(5)A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集．
思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．
“x∈A或x∈B”包含三种情形：
①x∈A，但x?B；
②x∈B，但x?A；
③x∈A且x∈B．
知识点2
　交集
自然语言
一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素__组成的集合，称为A与B的交集(intersection
set)，记作__A∩B__(读作“A交B”)
符号语言
__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__
图形语言
　　
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)
(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝?)
　
　
(3)A?B，则A∩B＝A
(4)B?A，则A∩B＝B
(5)A＝B，A∩B＝B＝A
思考2：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．
知识点3
　并集与交集的性质
(1)__A∩A＝A__，A∩?＝?．(2)__A∪A＝A__，A∪?＝A．
思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？
(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？
提示：(1)(A∩B)?A，A?(A∪B)．
(2)A∩B＝A?A∪B＝B?A?B．
基础自测
1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　A　)
A．{－1,0,1}　　　　
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
[解析]　∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．
2．(2021·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(　D　)
A．{0,1,2}
B．{2}
C．{2,4}
D．{0,1,2,4}
[解析]　M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．
3．已知集合M＝{x|－5＜x＜3}，N＝{x|－4＜x＜5}，则M∩N＝(　A　)
A．{x|－4＜x＜3}　　　　
B．{x|－5＜x＜－4}
C．{x|3＜x＜5}
D．{x|－5＜x＜5}
[解析]　M∩N＝{x|－5＜x＜3}∩{x|－4＜x＜5}＝{x|－4＜x＜3}，故选A．
4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__．
[解析]　A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1,6}．
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__．
[解析]　因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　并集运算
例1　(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3＜x≤5}，B＝{x|2＜x≤6}，求A∪B．
[分析]　第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析]　(1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3＜x≤5}∪{x|2＜x≤6}＝{x|－3＜x≤6}．
[归纳提升]　并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【对点练习】?
(1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__．
(2)若集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝__{x|x＞－2}__．
[解析]　(1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x＞－2}．
题型二　交集运算
例2　(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(　B　)
A．{－1,0,1}　
B．{0,1}　
C．{1}　
D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则集合A∩B等于(　D　)
A．{x|x≤3或x＞4}
B．{x|－1＜x≤3}
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|－2≤x＜－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__．
[分析]　(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．
[解析]　(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x＜－1}，故选D．
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}
＝＝{(1,2)}．
[归纳提升]　求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式．
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【对点练习】?
(1)(2021·全国高考甲卷文科)设集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝(　B　)
A．{7,9}
B．{5,7,9}
C．{3,5,7,9}
D．{1,3,5,7,9}
(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(　D　)
A．{－3,1}
B．{0,1}
C．{1,5}
D．{1,3}
[解析]　(1)N＝(，＋∞)，故M∩N＝{5,7,9}，故选B．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3．
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．
题型三　集合的交集、并集性质的应用
例3　(1)设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为__{t|t≤2}__．
(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析]　(1)把M∪N＝M转化为N?M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
[解析]　(1)由M∪N＝M得N?M，当N＝?时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立．
当N≠?时，由数轴可得
解得＜t≤2．
综上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2．∴A＝{0,2}．
①∵A∩B＝B，∴B?A，B＝?，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝?时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a＜0，∴a＜0；
当B＝{0}时，∴a＝0；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{0,2}时，得a＝1．
综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．
②∵A∪B＝B，∴A?B．
∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由①知a＝1．
[归纳提升]　利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
【对点练习】?
(1)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
①若A∩B＝?，求实数a的取值范围；
②若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
(2)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
①当m＝2时，求M∩N，M∪N；
②当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析]　(1)①因为A∩B＝?，所以解得－1≤a≤2．
②因为A∪B＝B，所以A?B，所以a＞5或a＋3＜－1，即a的取值范围为a＞5或a＜－4．
(2)①由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
②∵M∩N＝M，∴M?N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2．
课堂检测·固双基
1．(2021·全国新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　B　)
A．{2}　　　　　
B．{2,3}
C．{3,4}
D．{2,3,4}
[解析]　由题设有A∩B＝{2,3}，故选B．
2．已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝(　C　)
A．{x|x＜1}
B．{x|x＜3}
C．{x|－3＜x＜1}
D．{x|－3＜x＜3}
[解析]　A∩B＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x＜1}＝{x|－3＜x＜1}．故选C．
3．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是(　C　)
A．{2,4,6}
B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6}
D．{6}
[解析]　图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__．
[解析]　利用数轴画图解题．
要使A∪B＝R，则a≤1．
5．已知集合A＝{x|m－2＜x＜m＋1}，B＝{x|1＜x＜5}．
(1)若m＝1，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由m＝1，得A＝{x|－1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|－1＜x＜5}．
(2)∵A∩B＝A，∴A?B．显然A≠?．
故有解得3≤m≤4．
∴实数m的取值范围为[3,4]．
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-
1
-第2课时　补集及综合运用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__全集__．
2．记法：通常记作U．
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
知识点2
　补集
―→
↓
―→
↓
―→
思考2：怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
基础自测
1．已知集合A＝{x|x＜－5或x＞7}，则?RA＝(　B　)
A．{x|－5＜x＜7}　　　
B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x＜－5}∪{x|x＞7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
[解析]　∵A＝{x|x＜－5或x＞7}，∴?RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
2．(2021·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B＝(　A　)
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
[解析]　∵?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝(　A　)
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析]　∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，则?UM＝(　A　)
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
[解析]　利用数轴，可得选A．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
[解析]　解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又∵?UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　补集的基本运算
例1　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝__{2,3,5,7}__．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则?UA＝__{x|x＜－3，或x＝5}__．
[分析]　(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
[解析]　(1)∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x＜－3，或x＝5}．
[归纳提升]　求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】?
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝(　B　)
A．?　　　　　　
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__．
[解析]　(1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则?UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B．
(2)∵A∪(?UA)＝U，且A∩(?UA)＝?，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2．
题型二　交集、并集、补集的综合运算
例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全
集U及集合A、B，先求出?UA及?UB，再求解．
[解析]　如图，
由图可得?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
如图，
由图可得?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
如图，
由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，
∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2＜x＜3}．
[归纳提升]　求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】?
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__{1,2,3}__；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝(　B　)
A．{x|0≤x＜1}　　　　
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析]　(1)?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
题型三　与补集相关的参数值的求解
例3　(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；
(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A??RB，求a的取值范围．
[解析]　(1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A．
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B．
∴解得
∴a，b的值分别为，－．
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?．
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2．
②若A≠?，则有或∴a≤1．综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}．
[归纳提升]　由集合的补集求解参数的方法
(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
【对点练习】?
(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，则实数a的值为__2__．
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若?UA＝{x|x＜3或x＞4}，则a＋b＝__7__．
[解析]　(1)∵?UA＝{5}，
∴5∈U，且5?A．
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4．
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}，符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，
不满足条件?UA＝{5}，故a＝－4舍去．
综上知a＝2．
(2)∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，
∴?UA＝{x|x＜a或x＞b}．
又∵?UA＝{x|x＜3或x＞4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7．
误区警示
忽视空集的特殊性
例4　已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为
__{a|a＜1或a＞3}__．
[错解]　∵A∪B＝A，∴B?A，
从而有或解得a＞3．
故实数a的取值范围是a＞3．
[错因分析]　由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪?＝A，所以错解忽略了B＝?时的情况．
[正解]　∵A∪B＝A，∴B?A．
①当B≠?时，有或解得a＞3．
②当B＝?时，由a＞2a－1，得a＜1．
综上可知，实数a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}，故填{a|a＜1或a＞3}．
[方法点拨]　?有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩?＝?；(2)对于任意集合A，皆有A∪?＝A，因此，如果A∩B＝?，就要考虑集合A或B可能是?，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是?．
学科素养
“正难则反”思想的应用
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
例5　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．
[分析]　要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．
[解析]　若B∪A＝A，则B?A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，即a2＞16，
∴a＜－4或a＞4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4．
若a＝－4，则B＝{2}?A；若a＝4，则B＝{－2}?A；
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴，∴a＝－2．
综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．
∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a＜4且a≠－2}．
[归纳提升]　补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的一种体现．
课堂检测·固双基
1．(2021·全国高考乙卷文科)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,5}，则?U(M∪N)＝(　A　)
A．{5}　　　　　　
B．{1,2}
C．{3,4}
D．{1,2,3,4}
[解析]　由题意可得：M∪N＝{1,2,3,4}，则?U(M∪N)＝{5}．
故选A．
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　D　)
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
[解析]　阴影部分表示的集合是?U(M∪N)＝{3,4}．
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝__{7,9}__．
[解析]　由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(?UB)，(?UA)∩(?UB)．
[解析]　?UA＝{1,3,6,7}，?UB＝{2,4,6}，
∴A∩(?UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，
(?UA)∩(?UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．
5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|0≤x＜7}，求：
(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(?UB)；(4)B∩(?UA)．
[解析]　(1)如图①，A∩B＝{x|0≤x＜5}．
(2)如图①．A∪B＝{x|－5＜x＜7}．
(3)如图②，?UB＝{x|x＜0或x≥7}，
∴A∪(?UB)＝{x|x＜5或x≥7}．
(4)如图③，?UA＝{x|x≤－5或x≥5}，
∴B∩(?UA)＝{x|5≤x＜7}．
PAGE
-
9
-1.4　充分条件与必要条件
【素养目标】
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(数学抽象)
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．(数学抽象)
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法．(逻辑推理)
4．通过理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的概念，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(数学抽象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性．
第1课时　充分条件与必要条件
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
__p?q__
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
思考1：在逻辑推理中，p?q能表达成哪几种说法？
提示：以下5种说法：
①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q．
知识点2
　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
思考2：性质定理与必要条件有什么关系？
提示：性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某种特征．性质定理给出了结论成立的必要条件．
基础自测
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　×　)
(2)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　×　)
(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　×　)
[解析]　(1)因为“x2＝9”“x＝3”．
(2)因为“x＞0”“x＞1”．
(3)不唯一．如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．
2．“a＝b”是“ac＝bc”的__充分__条件．(填“充分”或“必要”)
[解析]　a＝b?ac＝bc；ac＝bca＝b，比如c＝0时，所以填“充分”．
3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　A　)
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
[解析]　四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　充分条件
例1　(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　C　)
A．x＞3　　　　　　　　
B．x＜3
C．x＞4
D．x＜4
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若a∈Q，则a∈R；
②若a＜b，则＜1；
③若x＞1，则x2＞1；
④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
⑤若△ABC中，若A＞B，则BC＞AC；
⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0．
[解析]　(1)4＞3.14，则x＞4能推出x＞3.14，
故选C．
(2)①由于Q?R，所以p?q，
所以p是q的充分条件．
②由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
③由x＞1可以推出x2＞1．因此p?q，
所以p是q的充分条件．
④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
⑤由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC．因此p?q，所以p是q的充分条件．
⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p?q，
所以p是q的充分条件．
[归纳提升]　充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
—
↓
—
↓
—
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
【对点练习】?
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0．
[解析]　(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
题型二　必要条件
例2　(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是(　B　)
A．x＜0　　　　　　
B．x≥0或x≤－1
C．x＞0
D．x≤－1
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若|x|＝|y|，则x＝y；
②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
③p：x＝1，q：x－1＝；
④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
⑤p：a是自然数，q：a是正整数；
⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
[解析]　(2)①若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以q不是p的必要条件；
②直角三角形不一定是等腰三角形．
因此pq，所以q不是p的必要条件；
③当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p?q，所以q是p的必要条件；
④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，
所以pq，所以q不是p的必要条件；
⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，
所以q不是p的必要条件；
⑥等边三角形一定是等腰三角形，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
[归纳提升]　必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
—
↓
—
↓
—
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
【对点练习】?
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1．
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12．
(3)若a是无理数，则a是无限小数．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解析]　(1)1的平方根是±1，
所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，
所以m＝±12，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p?q，所以q是p的必要条件．
题型三　根据必要条件(充分条件)求参数的范围
例3　(1)已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是__{a|－1≤a≤5}__．
(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0＜x＜4，若p是q的充分条件但不是必要条件，则a的取值范围是__{a|0＜a＜3}__．
[解析]　(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以
即
所以－1≤a≤5．
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分条件但不是必要条件，
∴M?N，∴
解得0＜a＜3．
[归纳提升]　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【对点练习】?
(1)若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．
(2)已知p：x＜－3或x＞1，q：x＞a，且q是p的充分条件但不是必要条件，求a的取值范围．
[解析]　(1)由已知条件知{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}．
∴m≤1．
∴m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)由已知条件得{x|x＞a}?{x|x＜－3或x＞1}，∴a≥1．∴a的取值范围是{a|a≥1}．
课堂检测·固双基
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　A　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
[解析]　a＝1?|a|＝1；|a|＝1a＝1，所以选A．
2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　B　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
[解析]　pq，但q?p，所以p是q的必要条件，但不是充分条件．
3．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈N”是“a∈M”的__充分__条件．
4．下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．
[解析]　(1)由线段垂直平分线的性质知p?q，p是q的充分条件；
(2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，pq，p不是q的充分条件；
(3)由相似三角形的性质知p?q，p是q的充分条件．
5．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝．
[解析]　(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0?a＋b＝0．
∴p是q的必要条件但不是充分条件．
(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形，四边形是矩形?四边形的对角线相等．
∴p是q的必要条件但不是充分条件．
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充分条件，也是必要条件．
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8
-第2课时　充要条件
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　充要条件
1．定义：若p?q且q?p，则记作__p?q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__．
2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__．
3．概括：如果__p?q__，那么p与q互为__充要条件__．
思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？
提示：①充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
②充分不必要条件，即p?q且qp．
③必要不充分条件，即pq且q?p．
④既不充分又不必要条件，即pq且qp．
基础自测
1．下列命题中是真命题的是(　A　)
①“x＞3”是“x＞4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．
A．①　　　　　　　
B．①②
C．①③
D．②③
[解析]　x＞4?x＞3，故①是真命题；
x＝1?x2＝1，x2＝1x＝1，故②是假命题；
a＝0?ab＝0，ab＝0a＝0，故③是假命题．
2．“x＝0”是“x2＝0”的(　D　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析]　因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．
3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　B　)
A．x＜0，y＜0
B．x＜0，y＞0
C．x＞0，y＞0
D．x＞0，y＜0
[解析]　P(x，y)在第二象限，等价于x＜0，y＞0．
4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q的(　C　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　因为{x|－1＜x＜3}?{x|x＜3}，所以p是q的必要不充分条件．
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的__充要条件__．
(2)“x＜5”是“x＜3”的__必要不充分条件__．
[解析]　(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为A?B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　充要条件的判断与探究
例1　(1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；
②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
③p：|x|＞3，q：x2＞9．
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
①s是q的什么条件？
②r是q的什么条件？
③p是q的什么条件？
[解析]　(1)①在△ABC中，显然有∠A＞∠B?BC＞AC，
所以p是q的充要条件．
②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件．
③由于p：|x|＞3?q：x2＞9，所以p是q的充要条件．
(2)①∵q是r的必要条件，∴r?q．
∵s是r的充分条件，∴s?r，
∴s?r?q，又∵q是s的充分条件，∴q?s．
∴s是q的充要条件．
②由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件．
③∵p是r的必要条件，∴r?p，
∴q?r?p．
∴p是q的必要条件．
[归纳提升]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p?q与q?p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性．
【对点练习】?
(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　D　)
A．ab＝0　　　　
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　A　)
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
(3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为__a≤9__；一个充分不必要条件为__6≤a≤9(答案不唯一)__．
[解析]　(1)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0．
(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲．
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙?乙，但乙丙．
综上，有丙?乙?甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
(3)A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}．
若A＝?，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；
若A≠?，则A?B??6≤a≤9．
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9．
题型二　充要条件的证明
例2　设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．
[分析]　→
[解析]　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．
当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时，
又当x＞0，y＞0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
所以|xy|＝xy，所以xy≥0．
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
[归纳提升]　充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
【对点练习】?
证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．
[解析]　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc?△ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形?a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc．
综上可知，结论得证．
题型三　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例3　已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(　B　)
A．(－1,6)
B．[－1,6]
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
[分析]　可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
[解析]　设q，p表示的范围分别为集合A，B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因为q是p的充分条件，则有A?B，即
所以－1≤a≤6．故选B．
[归纳提升]　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
条件类别
集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件
M?N
p是q的必要不充分条件
M?N
p是q的充要条件
M＝N
p是q的充分条件
M?N
p是q的必要条件
M?N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】?
(1)(2021·重庆七校高二期末)已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__{m|m＞2}__．
(2)(2021·上海徐汇区高一联考)已知x∈R，p：x2＜x，q：x－a≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__{a|a≥1}__．
[解析]　(1)由题意，p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，
因为q是p的必要不充分条件，即{x|－1＜x＜3}?{x|－1＜x＜m＋1}，则m＋1＞3，解得m＞2，即实数m的取值范围是{m|m＞2}．
(2)由x2＜x，得x(x－1)＜0，得0＜x＜1．
由x－a≤0，得x≤a．
设A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x≤a}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴A?B，∴a≥1．
故实数a的取值范围是{a|a≥1}．
误区警示
误将充分条件当作充要条件
例4　给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x＞2或x＜－1，q：x＜－1．
其中p是q的充要条件的有(　A　)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
[错解]　①因为ab＝0?a＝0或b＝0，所以pq，故p不是q的充要条件．②因为xy≥0，所以x，y是同号或者为0，故p?q，所以p是q的充要条件．③Δ＝1＋4m，当m＞0时Δ＞1，方程x2－x－m＝0有实根，所以p?q，所以p是q的充要条件．④p：x＞2或x＜－1，∴pq，∴p不是q的充要条件．
综上，p是q的充要条件的有2组，故选B．
[错因分析]　误将充分条件当作充要条件，当p?q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p?q与q?p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[正解]　对于①由pq知，p一定不是q的充要条件．对于②，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于③，方程x2－x－m＝0有实数解，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以qp，∴p是q的充分不必要条件．对于④，因为pq，所以p不是q的充要条件，故只有②是，故选A．
[方法点拨]　对于两个条件A，B，若A?B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A?B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
学科素养
充分条件、必要条件的证明
充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．
例5　(2021·江苏连云港高二检测)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
[解析]　(1)必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0．所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
(2)充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0．
因为a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2＞0．所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1．
综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
[归纳提升]　充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；
②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p．
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(?)，也可以直接证明充要性．
课堂检测·固双基
1．设p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数，则p是q成立的(　B　)
A．充要条件　　　　　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　a，b都是偶数可推出a＋b是偶数；当a＋b是偶数时，a，b可以都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
2．若“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　B　)
A．a≥3
B．a≤－1
C．－1≤a≤3
D．a≤3
[解析]　因为“x＜a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　A　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立；当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，解得x＝1，所以x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件．
4．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__m＞2__．
[解析]　因为“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m＞2．
5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[解析]　先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程
ax2＋bx＋c＝0有一个根为1．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．
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-1.5　全称量词与存在量词
【素养目标】
1．理解全称量词、存在量词的含义．(数学抽象)
2．掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断．(逻辑推理)
3．能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定．(数学抽象)
4．掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象)
5．能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题．(逻辑推理)
【学法解读】
1．本节的重点是对全称量词和存在量词的理解，难点是对含有一个量词的命题的否定．
2．在本节的学习中，要重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假判断和全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方法，并能够熟练运用其表示符号．
第1课时　全称量词与存在量词
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　全称量词与全称量词命题
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号“__?__”表示．
2．全称量词命题：含有__全称量词__的命题，叫做全称量词命题．
3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__?x∈M，p(x)__．
4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
思考1：怎样判断一个命题是全称量词命题？
提示：判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以先把全称量词补充出来再判断．
知识点2
　存在量词与存在量词命题
1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号“__?__”表示．
2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__．
3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__?x∈M，p(x)__．
4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．
思考2：怎样判断一个命题是存在量词命题？
提示：判断一个命题是否为存在量词命题，一是看该命题是否含有存在量词；二是看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，我们可以先把存在量词补充出来再判断．
基础自测
1．下列命题中全称量词命题的个数是(　C　)
①任意一个自然数都是正整数；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
A．0　　　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
[解析]　①③是全称量词命题．
2．下列命题中，不是全称量词命题的是(　D　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
[解析]　选项D是存在量词命题．
3．下列存在量词命题是假命题的是(　B　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的整数是偶数
D．有的有理数没有倒数
[解析]　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立，所以存在x∈R，使x2＋x＋1＝0是假命题．
4．下列语句中，是全称量词命题的是__①②③__，是存在量词命题的是__④__．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
[解析]　①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断
例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次方程都存在实数根；
(4)过平面内两点有且只有一条直线．
[分析]　→
[解析]　(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题．
(2)命题为存在量词命题．
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．
(4)命题是命题“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，故为全称量词命题．
[归纳提升]　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
—
↓
—
↓
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【对点练习】?
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数；
(2)有些三角形不是等腰三角形；
(3)有的实数是无限不循环小数；
(4)所有的正方形都是矩形．
[解析]　(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．
(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题．
题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2　判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2＋1＞；
(2)?α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[分析]　对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
[解析]　(1)真命题，因为x2＋1－＝x2＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，x2＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
[归纳提升]　判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．
【对点练习】?
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)?x，y∈Z，使3x－4y＝20；
(4)任何数的0次方都等于1．
[解析]　(1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，
任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题．
(4)全称量词命题．0的0次方无意义，所以该命题是假命题．
题型三　全称量词命题与存在量词命题的应用
例3　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“?x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是__{m|m＞－1}__．
(2)若命题“?x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m|m＞－1}．
(2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
[归纳提升]　解决含有量词的命题求参数范围问题的思路
1．全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
2．存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数取值范围问题时，应尽量分离参数．
【对点练习】?
(1)已知命题p：“?x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　C　)
A．m＜3　　　　　
B．m＞3
C．m≤3
D．m≥3
(2)已知命题p：“?x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是__m≥0__．
[解析]　(1)依题意，方程x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤3，故选C．
(2)当x∈R时，x2≥0，若“?x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0．
课堂检测·固双基
1．下列命题是全称量词命题的是(　B　)
A．有的三角形是等边三角形
B．所有2的倍数都是偶数
C．有一个实数，使|x|≤0
D．至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
2．下列命题中是真命题的是(　B　)
A．?x∈R，x2＋1＜0
B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|＞3
D．?x∈Q，x2∈Z
3．下列命题不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是(　C　)
A．有一个x∈R，使得x2＞3成立
B．对有些x∈R，使得x2＞3成立
C．任选一个x∈R，使得x2＞3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立
[解析]　A，C，D都是存在量词的表述方法，C为全称量词．
4．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2)?a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．
(3)存在一个x∈R，使＝0．
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sinA＝cosB．
[解析]　(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．
(2)是全称量词命题，?a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．
(3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，根据锐角三角形函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sinA＝cosB，是真命题．
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-第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　全称量词命题的否定
全称量词命题p
?p
结论
?x∈M，p(x)
__?x∈M，?p(x)__
全称量词命题的否定是存在量词命题
思考1：用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
知识点2
　存在量词命题的否定
存在量词命题p
?p
结论
?x∈M，p(x)
__?x∈M，?p(x)__
存在量词命题的否定是全称量词命题
思考2：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？
提示：(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的量词并按要求改变量词．
基础自测
1．写出下列命题的否定：
(1)?n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
[解析]　(1)?n∈Z，n?Q；
(2)存在一个奇数的平方不是奇数；
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．
2．写出下列命题的否定：
(1)有些三角形是直角三角形；
(2)有些梯形是等腰梯形；
(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数．
[解析]　(1)任意三角形都不是直角三角形；
(2)所有的梯形都不是等腰梯形；
(3)任意一个实数，它的绝对值都是正数．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　全称量词命题的否定
例1　(1)(2021·辽阳高一检测)命题“?x∈Z，x∈R”的否定是(　D　)
A．?x∈Z，x?R
B．?x∈Z，x∈R
C．?x?Z，x?R
D．?x∈Z，x?R
(2)(2020·北京高一检测)命题“?x∈A，|x|＋1≥1”的否定是__?x∈A，|x|＋1＜1__．
(3)写出下列全称量词命题的否定：
①任何一个平行四边形的对边都平行；
②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
③?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
④可以被5整除的整数，末位是0．
[分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论．
[解析]　(3)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
②?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
③?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
④存在被5整除的整数，末位不是0．
[归纳提升]　1．全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
2．常见词语的否定
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(即小于或等于)
小于
不小于(即大于或等于)
是
不是
都是
不都是
【对点练习】?
写出下列全称量词的否定：
(1)?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)所有分数都是有理数；
(4)任意两个等边三角形都相似．
[解析]　(1)该命题的否定：
?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|＜2．
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．
题型二　存在量词命题的否定
例2　(1)命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是(　D　)
A．?x∈?RQ，x3?Q
B．?x??RQ，x3∈Q
C．?x??RQ，x3?Q
D．?x∈?RQ，x3?Q
(2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
①p：存在x∈R,2x＋1≥0；
②q：存在x∈R，x2－x＋＜0；
③r：有些分数不是有理数．
[分析]　把存在量词改为全称量词，然后否定结论．
[解析]　(2)①任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题．
②任意x∈R，x2－x＋≥0．
因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以是真命题．
③一切分数都是有理数，是真命题．
[归纳提升]　1．存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
2．对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定．
【对点练习】?
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
[解析]　(1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题．?x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
题型三　根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数
例3　已知命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若?p为假命题，求实数m的取值范围．
[解析]　因为?p为假命题，所以命题p：?x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，m＋x2－2x＋5＞0可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}．(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ＜0进行解题)
[归纳提升]　1．注意p与?p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．
2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题．
【对点练习】?
已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5＞0，若?p为假命题，求实数m的取值范围．
[解析]　因为?p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5＞0为真命题，m－x2＋2x－5＞0可化为m＞x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即?x∈R，m＞(x－1)2＋4成立，只需m＞4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞4}．(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ＞0进行解题)
误区警示
写命题的否定时忽略隐含的量词
例4　写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位是5；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
[错解]　(1)可以被5整除的数，末位不是5；(2)能被3整除的数，不能被4整除．
[错因分析]　对于(1)，原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正确，(2)的错误与(1)相仿．实际上，(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词．
[正解]　(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是5．
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．
[方法点拨]　由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“?x∈M，?p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
课堂检测·固双基
1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　D　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0
[解析]　全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，可排除A，B．
2．命题“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是(　D　)
A．?x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
[解析]　存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“?”应改为全称量词“?”，可排除B．
3．写出下列命题的否定：
(1)?x∈R，|x|＋1－x≠0；
(2)?a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点．
[解析]　(1)命题的否定：?x∈R，|x|＋1－x＝0．
(2)命题的否定：?a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．
4．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行；
(3)p：有些实数的绝对值是正数；
(4)p：某些平行四边形是菱形．
[解析]　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此?p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此?p：同一平面内，存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题．
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此?p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．
(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此?p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．
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