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第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1．1　函数的概念
【素养目标】
1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)
2．了解构成函数的三要素．(数学抽象)
3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象)
4．理解同一个函数的概念．(数学抽象)
5．能判断两个函数是否是同一个函数．(逻辑推理)
【学法解读】
1．函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．
2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x)的含义，学生要加深理解．
第1课时　函数的概念(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　函数的概念
定义
设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
__x__的取值集合
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}．
思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
知识点2
　区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
__[a，b]__
{x|a＜x＜b}
开区间
__(a，b)__
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
__[a，b)__
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
__(a，b]__
(2)特殊区间的表示．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)__
[a，＋∞)__
(a，＋∞)__
(－∞，a]__
(－∞，a)__
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
基础自测
1．对的打“√”，错的打“×”．
(1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．(　×　)
(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．(　×　)
(3)在研究函数时，除用符号f(x)外，还用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(　√　)
[解析]　(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象．
(2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应．
(3)同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
2．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝(　C　)
A．3　　　　　　　　
B．7
C．11
D．25
[解析]　f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．
3．(2019·江苏，4)函数y＝的定义域是__[－1,7]__．
[解析]　要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤7，
∴函数y＝的定义域是[－1,7]．
4．如图能表示函数关系的是__①②④__．
[解析]　由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　函数概念的理解
例1　(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　B　)
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　C　)
[分析]　(1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
[解析]　(1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
[归纳提升]　1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
【对点练习】?
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0．
[解析]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
题型二　求函数的定义域
例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝－．
[分析]　→→
[解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x＜0，且x≠－2．
故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即．
故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．
[归纳提升]　求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
【对点练习】?
(2021·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是(　C　)
A．[－1，＋∞)　　　　　
B．[－1,0]
C．(－1，＋∞)
D．(－1,0)
[解析]　要使函数y＝有意义，应满足x＋1＞0，
∴x＞－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．
题型三　对应关系
例3　(2021·哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则f[10f()]的值为(　D　)
x
x≤1
1＜x＜2
x≥2
f(x)
1
2
3
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　根据表格所确定的对应关系，当x≤1时，f(x)＝1，∴f()＝1,10f()＝10，
又当x≥2时，f(x)＝3，∴f[10f()]＝f(10)＝3．故选D．
[归纳提升]　函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算、对应得到唯一的函数值y．
【对点练习】?
(1)(2021·杭州高一检测)函数y＝f(x)＝的值域是(　D　)
A．R
B．{y|－1≤y≤1}
C．{－1,1}
D．{－1,0,1}
(2)已知函数f(x)，g(x)分别由表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程g[f(x)]＝3的解集为__{1,3}__．
[解析]　(2)根据题意，若方程g[f(x)]＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，
即方程g[f(x)]＝3的解集为{1,3}．
题型四　求函数值
例4　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
[解析]　(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝．
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6．
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝．
[归纳提升]　求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义．
【对点练习】?
已知f(x)＝，g(x)＝－x2＋2．
(1)求f(3)，g(3)的值；
(2)求f[g(2)]的值．
[解析]　(1)f(3)＝＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7．
(2)f[g(2)]＝＝＝．
课堂检测·固双基
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　D　)
[解析]　由函数的定义知A，B，C是函数，故选D．
2．对于函数f：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是(　C　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
[解析]　函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值．故选C．
3．若函数y＝x2＋2x－5的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为__{－6，－5,3,10}__．
4．下列对应关系是集合P上的函数的是__②__．
①P＝Z，Q＝N
，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；
③P＝{三角形}，Q＝{x|x＞0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．
[解析]　对①，0∈P，但|0|?Q，所以对应关系f不能构成集合P上的函数．
对②，?x∈P，都有且只有唯一元素y在集合Q中与之对应，所以能构成集合P上的函数．
对③，P中的元素不是数，而函数是数集到数集的对应关系．故填②．
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-第2课时　函数的概念(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　同一个函数
前提条件
__定义域__相同
__对应关系__完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
知识点2
　常见函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
__a＞0__
__a＜0__
对应关系
y＝ax＋b
(a≠0)
y＝(k≠0)
y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
{y|y≥}
{y|y≤}
思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a＞0和a＜0两种情况？
提示：当a＞0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥}．
当a＜0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y|y≤}．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　×　)
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(　√　)
[解析]　(1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．
2．(2021·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　D　)
[解析]　由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．
3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(　A　)
A．{－2,0,4}　　　　
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－}
D．{y|0≤y≤3}
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　D　)
x
x＜2
2≤x≤3
x＞3
y
－1
0
1
A．{y|－1≤y≤1}
B．R
C．{y|2≤y≤3}
D．{－1,0,1}
[解析]　函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　函数的值域
例1　函数y＝－x2＋1，－1≤x＜2的值域是(　B　)
A．(－3,0]　　　　　　
B．(－3,1]
C．[0,1]
D．[1,5)
[分析]　首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．
[解析]　由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3；
当x＝0时，ymax＝1，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．
[归纳提升]　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的值域
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
【对点练习】?
下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　B　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋1
[解析]　A中x≥0，所以y≥0；B中x＞0，所以y＞0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1．
题型二　同一函数
例2　判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝．
[分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[解析]　(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1．但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．
(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x＜0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．
(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．
[归纳提升]　判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．
【对点练习】?
f(x)与g(x)表示同一函数的是(　D　)
A．f(x)＝x2，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝x－3
D．f(x)＝，g(x)＝
[解析]　对于A，g(x)＝＝|x|，与f(x)的解析式不同；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于D，f(x)＝＝1(x＞0)，g(x)＝＝1(x＞0)，解析式与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数．
题型三　复合函数、抽象函数的定义域
例3　(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为__(－1，)__．
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为__(－1,5)__．
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为__(0,6)__．
[分析]　(1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
[解析]　(1)由－1＜2x＋1＜2，得－1＜x＜，
∴f(2x＋1)的定义域为(－1，)．
(2)∵－1＜x＜2，∴－1＜2x＋1＜5，∴f(x)的定义域为(－1,5)．
(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1＜x－1＜5得0＜x＜6，∴f(x－1)的定义域为(0,6)．
[归纳提升]　函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
【对点练习】?
(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
[解析]　(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
误区警示
函数概念理解有误
例4　设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是(　B　)
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解]　函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．
[错因分析]　不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
[正解]　图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．
[方法点拨]　函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．
学科素养
求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用
1．分离常数法
例5　求函数y＝的值域．
[分析]　这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析]　∵y＝＝＝3＋，
又∵≠0，∴y≠3．∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
[归纳提升]　求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
例6　求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．
[分析]　这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．
[解析]　∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，
∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3．
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
[归纳提升]　遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
例7　求函数y＝x＋的值域．
[分析]　忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析]　设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥．
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
[归纳提升]　求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
课堂检测·固双基
1．函数y＝2x＋1，x∈N
，且2≤x≤4，则函数的值域为(　C　)
A．(5,9)　　　　　　
B．[5,9]
C．{5,7,9}
D．{5,6,7,8,9}
[解析]　当2≤x≤4且x∈N
时，x＝2,3,4．
所以函数值域为{5,7,9}．
2．(2020·山东莒县一中高一期末测试)下列各组函数中，表示同一函数的是(　A　)
A．y＝x与y＝　　　
B．y＝x2与y＝
C．y＝1与y＝(x＋1)0
D．y＝|x|与y＝()2
[解析]　选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．
3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为__[－3,2]__．
[解析]　由题意得－2≤x＋1≤3，
∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3,2]．
4．(2021·同仁高一检测)已知f(x)＝(x∈R，x≠－2)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域．
[解析]　(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋1＝5．
(2)f[g(3)]＝f(32＋1)＝f(10)＝＝．
(3)作出图象如图，
则f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)的值域为[1，＋∞)．
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-
8
-3.1.2　函数的表示法
【素养目标】
1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．(数学抽象)
2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．(直观想象)
3．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学建模)
4．掌握求函数解析式的常见方法．(数学运算)
5．能根据给出的分段函数，研究有关性质．(数据分析)
【学法解读】
1．函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧面认识函数的本质．
2．学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范．
第1课时　函数的表示法
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　函数的表示法
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法
以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法
列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？
提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式
图象法
能形象直观地表示变量的变化情况
只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函数值
基础自测
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　B　)
A．π2　　　　　　　　　　
B．π
C．
D．不确定
[解析]　因为π2∈R，所以f(π2)＝π．
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　C　)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
[解析]　由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__．
[解析]　据图象，知f(3)＝1，所以f[f(3)]＝f(1)＝2．
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__1__；当g[f(x)]＝2时，x＝__1__．
[解析]　由g(x)对应表，知g(1)＝3，
所以f[g(1)]＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，所以f[g(1)]＝f(3)＝1．
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，
又g[f(x)]＝2，所以f(x)＝2．
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2．所以x＝1．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　列表法表示函数
例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[分析]　函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3
000，6
000,9
000，…，30
000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
[解析]　(1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[归纳提升]　列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域．
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法：是否连线．
【对点练习】?
某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
[解析]　这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．
题型二　与函数图象有关的问题
例2　作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[分析]　(1)画函数的图象时首先要注意的是什么？
(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析]　(1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[归纳提升]　(1)常见函数图象的特征：
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)是一条直线；
②y＝(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是顶点为(－，)，对称轴为x＝－的抛物线．
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
【对点练习】?
作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解析]　(1)用描点法可以作出函数的图象如图①．
　
①　　　　　②
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为[－，2]．
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②．
由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
题型三　求函数解析式
角度1　待定系数法求解析式
例3　(1)(2020·湖北部分重点中学高一联考)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的解析式为__f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6__．
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为__f(x)＝x2＋1__．
[分析]　已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．
[解析]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，
于是有解得或
所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6．
(2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得故f(x)＝x2＋1．
角度2　换元法(或配凑法)求解析式
例4　(1)(2020·广东六校教研协作体高一联考)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－1(x≥1)__．
(2)(2020·湖北天门高一联考)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－4x＋3__．
[分析]　已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式．
[解析]　(1)方法一(换元法)　令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1．
因为＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)方法一(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3．
方法二(配凑法)　因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3．
角度3　方程组法求函数解析式
例5　(1)(2020·江西九校高一联考)已知函数f(x)满足f(x)＋2f()＝x，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝－＋(x≠0)__．
(2)(2021·武汉四校高一联考)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝x，a≠±1__．
[分析]　(1)求函数f(x)的解析式，由已知条件知，必须消去f()，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f()得f(x)．(2)类似于(1)的思路，利用x与－x的关系，再列一个方程，通过方程组求解．
[解析]　(1)在已知等式中，将x换成，得f()＋2f(x)＝，与已知方程联立，得
消去f()，得f(x)＝－＋．
(2)在原式中用－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
于是得
消去f(－x)，得f(x)＝．
故f(x)的解析式为f(x)＝x，a≠±1．
[归纳提升]　函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)解方程组法：已知f(x)与f()或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【对点练习】?
(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x－)＝x2＋，求f(x)；
(3)已知2f(x)＋3f()＝3x(x≠0)，求f(x)．
[解析]　(1)解法一(换元法)：令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1．
解法二(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1．
(2)∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
令t＝x－，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2．
(3)∵2f(x)＋3f()＝3x，①
用代替x得2f()＋3f(x)＝②，
②×3－①×2有5f(x)＝－6x，
∴f(x)＝－x(x≠0)．
课堂检测·固双基
1．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝(　C　)
A．0　　　　　　　　　
B．2
C．4
D．6
[解析]　由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4．
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　A　)
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
[解析]　把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中得y的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．
3．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的(　A　)
[解析]　根据题意，易知A符合．
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为__y＝(x＞0)__．
[解析]　由梯形的面积公式有100＝·y，
得y＝(x＞0)．
5．(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解析]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴∴f(x)＝x2－2x－1．
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1
-第2课时　分段函数
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　分段函数
如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
基础自测
1．若f(x)＝则f[f(－2)]＝(　C　)
A．2　　　
B．3
C．4　　　
D．5
[解析]　∵－2＜0，∴f(－2)＝－(－2)＝2，
又2＞0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4．
2．函数y＝|x|的图象是(　B　)
[解析]　因为y＝|x|＝所以B选项正确．
3．(2020·江苏徐州高一期中测试)已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为__－3__．
[解析]　∵f(x)＝，
∴f(－3)＝1，
∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3．
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝____．
[解析]　当x≤0时，令x＋2＝3，x＝1不符合题意；当0＜x≤3时，令x2＝3，x＝或－(舍去)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　分段函数的求值问题
例1　已知函数f(x)＝．
(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
[分析]　分段函数的解析式?求函数值或已知函数值列方程求字母的值．
[解析]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2，
f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0．
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当－1＜a＜2时，a2＝10，可得a＝±，不符合题意；
当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；
综上可知，a＝5．
[归纳提升]　求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f[f(－)]；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由－5∈(－∞，－2]，
1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，
知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(1)＝3×1＋5＝8，
f[f(－)]＝f(－＋1)
＝f(－)＝3×(－)＋5＝．
(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)．
题型二　分段函数的图象及应用
例2　已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[分析]　先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象．
[解析]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x．
所以f(x)＝．
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
[归纳提升]　分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝．
(1)画出函数的图象；
(2)若f(x)＝1，求x的值．
[解析]　(1)函数图象如图所示．
(2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0；
当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)．
综上可知x的值为0或1＋
．
题型三　分段函数的应用问题
例3　如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
[分析]　(1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？
(2)注意该函数的定义域．
[解析]　(1)y＝．
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8＜x≤12时，2(12－x)≥2，
∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11．
[归纳提升]　利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
【对点练习】?
如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
[解析]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，
AB＝2
cm，
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm．
(1)当点F在BG上，
即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10．
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
误区警示
分段函数概念的理解错误
例4　求函数f(x)＝的定义域．
[错解]　∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x＜0时，
f(x)＝x，
∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
当x＜0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
[错因分析]　错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f(x)＝是两个函数．
[正解]　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
学科素养
建模应用能力
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
例5　某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20
000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
[分析]　总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20
000元，可变成本为100x元．
[解析]　(1)依题设，总成本为20
000＋100x，
则y＝
(2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25
000，
则当x＝300时，ymax＝25
000．
当x＞400时，y＝60
000－100x是减函数，则y＜60
000－100×400＝20
000．
综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25
000元．
[归纳提升]　求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　B　)
[解析]　f(x)＝|x－1|＝，故选B．
2．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值为(　D　)
A．1　　　
B．1或
C．　　　
D．
[解析]　当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－1＜x＜2时，由x2＝3得x＝或x＝－(舍)；当x≥2时，由2x＝3得x＝(舍)．故选D．
3．函数f(x)＝的值域是(　D　)
A．R　　　　　　　
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
[解析]　作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0,2]∪{3}，故选D．
4．已知函数f(x)＝．求f[f()]的值．
[解析]　f()＝×2－3＝－2，
f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f()]＝f(－2)＝－1．
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-3.2　函数的基本性质
3.2．1　单调性与最大(小)值
【素养目标】
1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象)
2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象)
3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)
4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)
5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析)
【学法解读】
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．
3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．
第1课时　函数的单调性
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　函数的单调性
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I
条件
__?x1，x2∈D__，x1＜x2
都有f(x1)＜f(x2)
都有f(x1)＞f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调__递增__
f(x)在区间D上单调__递减__
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__增函数__
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是__减函数__
思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？
提示：不能，不能用特殊代替一般．
知识点2
　函数的单调性与单调区间
函数y＝f(x)在__区间D__上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数的单调区间．
思考2：区间D一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念．
基础自测
1．判断下列说法正误．
(1)因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上单调递增．(　×　)
(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)＞f(1)．(　√　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增．(　×　)
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)＜f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　×　)
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　B　)
A．f(x1)＜f(x2)　　　　　
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．以上都有可能
[解析]　因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1＜x2，所以f(x1)＞f(x2)，故选B．
3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　B　)
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－x2
[解析]　分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．
4．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有
＞0成立，则必有(　A　)
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减
D．函数f(x)是先减后增
[解析]　由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有＞0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　求函数的单调区间
例1　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
[分析]　(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析]　函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
[归纳提升]　函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
【对点练习】?
据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
[解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．
题型二　用定义法证明函数的单调性
例2　利用单调性的定义证明：函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
[分析]　利用单调性的定义证明函数单调性．要遵循“取值、作差、变形、定号、判断”这个步骤．
[证明]　?x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝．
因为－1＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
[归纳提升]　函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．
【对点练习】?
(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；
(2)用函数单调性定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明]　(1)设x1＜x2≤－1，则
f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)
＝2(x－x)＋4(x1－x2)
＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
∵x1＜x2≤－1，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
(2)设x1＞x2＞－1，
则x1－x2＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
y1－y2＝－＝＞0，
∴y1＞y2，
∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
题型三　单调性的应用
例3　已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)＞f(11＋8a)，求实数a的取值范围．
[分析]　根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[解析]　∵函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
∴a＜－，
∴实数a的取值范围是(－∞，－)．
[归纳提升]　利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
【对点练习】?
(1)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是__(，4]__．
(2)已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，求实数t的取值范围．
[解析]　(1)由题意解得＜x≤4．
(2)∵g(x)在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，
∴t＞1－2t，∴t＞，即所求t的取值范围为(，＋∞)．
课堂检测·固双基
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　C　)
A．[0,1]　　　　　　　　
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析]　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　A　)
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
[解析]　因为－1＜0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．
3．(2020·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则(　D　)
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a)
[解析]　∵a2＋1－a＝(a－)2＋＞0，
∴a2＋1＞a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴f(a2＋1)＜f(a)．
4．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解析]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－＋1)－(－＋1)
＝－＋＝．
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．
又由x1＜x2，得x1－x2＜0．
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
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-第2课时　函数的最大(小)值
必备知识·探新知
基础知识
知识点
　函数的最大值和最小值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足
条件
(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)__?x0∈I，使得f(x0)＝M__
(3)?x∈I，都有f(x)≥m；(4)?x0∈I，使得f(x0)＝m
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
m为函数y＝f(x)的最小值
思考：函数的最值与值域有怎样的关系？
提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若单调函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
基础自测
1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则(　D　)
A．函数y＝f(x)的最小值为M
B．函数y＝f(x)的最大值为M
C．函数y＝f(x)无最小值
D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值
[解析]　根据函数最值的定义，易知选D．
2．函数y＝－|x|在R上(　A　)
A．有最大值0，无最小值
B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值
D．以上都不对
[解析]　函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值(　D　)
A．是f(0)　　　　　　　　
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析]　∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，
∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为____，最大值为____；在[－3，－2]上的最小值为__－__，最大值为__－__．
[解析]　函数y＝在区间[2,3]上单调递减，
∴ymin＝，ymax＝；在区间[－3，－2]上单调递减，
∴ymin＝－，ymax＝－．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　利用图象求最值
例1　已知函数f(x)＝，求函数f(x)的最值．
[分析]　可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
[解析]　作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
[归纳提升]　利用图象法求函数最值的一般步骤是：
【对点练习】?
(2021·汉中高一检测)已知函数f(x)＝
在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象．
[解析]　由题意知，当x∈[－1,2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图象如图所示：
题型二　利用单调性求最值
例2　已知函数f(x)＝．
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[分析]　利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[解析]　(1)证明：任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝
∵x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)＝在x∈[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝．
[归纳提升]　1．利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
【对点练习】?
已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值．
[解析]　设－3≤x1＜x2≤－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝．
∵－3≤x1＜x2≤－2，
∴x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0．
∴f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝，x∈[－3，－2]是增函数．
又∵f(－2)＝4，f(－3)＝3，
∴函数的最大值是4，最小值是3．
题型三　二次函数的最值
例3　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解析]　(1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当＞，即a＞1时，f(x)的最大值为f(0)＝1．
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝．
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t＜＜t＋1，即－＜t＜时，函数f(x)在[t，]上单调递减，在[，t＋1]上单调递增，所以f(x)min＝f()＝．
[归纳提升]　1．含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
【对点练习】?
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3．
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解析]　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3．
(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2．
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11．
(3)①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3．
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2．
③当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
误区警示
混淆“单调区间”和“区间上单调”
例4　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为__{－3}__．
[错解]　函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3．故填a≤－3．
[错因分析]　导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．
[正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3．故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨]　单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
学科素养
逻辑推理——抽象函数
例5　已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x＞1时，
f(x)＞0．
(1)求f(1)；
(2)求证：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析]　(1)由于f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈(0，＋∞)都成立，故可给x、y赋值产生f(1)．
(2)欲证f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＜0．结合已知条件x＞1时，
f(x)＞0，这里＞1．∴f()＞0，即f(x2·)＝f(x2)＋f()＞0，于是在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令y＝可得f(x)＋f()＝0，从而f()＝－f(x)．从而有f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()＞0，即可沟通条件与结论．
(3)利用(2)和条件f()＝－1可得f(3)，求得f(m)＝2，将不等式f(x)－f(x－2)≥2化为f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得f(x)≥f[m(x－2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0．
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，
故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()．
由于＞1，故f()＞0，从而f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1．
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2．
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤，
又，∴2＜x≤，∴x的取值范围是(2，]．
[归纳提升]　处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f()＝－f(x)可作为推理依据．
课堂检测·固双基
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　A　)
A．y＝＋2　　　　　
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
[解析]　利用函数的单调性可知，A正确．
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　C　)
A．f(－2)，0　　　　　　
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
[解析]　由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(　B　)
A．3,5
B．－3,5
C．1,5
D．5，－3
[解析]　∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5．
4．(2021·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为__2__．
[解析]　设任意x1，x2∈[2,6]，且x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵x1，x2∈[2,6]，∴x2－1＞0，x1－1＞0，
又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，
∴＜0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)＝，x∈[2,6]为减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2．
5．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
[解析]　当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，
∴f(x)在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝10．
当－4≤x＜1时，
f(x)＝7－x，
∴f(x)在[－4,1)上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝11．
综上可知f(x)max＝f(－4)＝11．
PAGE
-
10
-3.2.2　奇
偶
性
【素养目标】
1．理解奇函数、偶函数的概念．(数学抽象)
2．掌握判断某些函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
3．掌握奇偶函数的图象特征．(直观想象)
4．会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．(逻辑推理)
【学法解读】
1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．
2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　函数的奇偶性
前提
函数f(x)的定义域为I，?x∈I，都有－x∈I
条件
f(－x)＝__f(x)__
f(－x)＝__－f(x)__
结论
函数f(x)叫__偶函数__
函数f(x)叫__奇函数__
思考1：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？
提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称．
知识点2
　图象特征
(1)偶函数的图象关于__y__轴对称．
(2)奇函数的图象关于__原点__对称．
思考2：奇函数图象一定过原点吗？
提示：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0，图象经过原点；若奇函数f(x)在x＝0处无意义，图象就不经过原点．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　×　)
(2)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　×　)
(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　)
(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　)
(5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　×　)
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　B　)
3．下列函数是偶函数的是(　A　)
A．y＝2x2－3　　　　　　
B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
[解析]　对于A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．
4．(2020·南阳市高一期中测试)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　B　)
A．0
B．
C．1
D．2
[解析]　由题意得，
∴，∴a＋b＝．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(4)f(x)＝．
[分析]　(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
[解析]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)使函数有意义满足，∴定义域为{1}，
∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；①
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．②
综上可知，函数f(x)＝是奇函数．
[注意]　①由于这里的－x＜0，因此应将－x代入f(x)＝－x2－1；②由于这里的－x＞0，因此应将－x代入f(x)＝x2＋1．
[归纳提升]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
【对点练习】?
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝0；
(5)f(x)＝2x＋1；
(6)f(x)＝．
[解析]　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)函数f(x)＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝－3x2＋1是偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
(5)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，
又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，
∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不
关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．
题型二　奇偶函数图象的应用
例2　设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)＜0的解集．
[分析]　利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在[－5,0]上的图象，再根据图象写出不等式f(x)＜0的解集．
[解析]　因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．根据f(x)在[0,5]上的图象画出在[－5,0]上的图象，如图中虚线所示．由图象知不等式f(x)＜0的解集为{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}．
[归纳提升]　已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
【对点练习】?
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
[分析]　∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y＝f(x)在x＞0时的图象．
[解析]　(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
题型三　利用函数的奇偶性求解析式
例3　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3．试求f(x)在R上的表达式．
[分析]　(1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？
(2)奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，
∵x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
于是有：f(x)＝．
[归纳提升]　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0．
【对点练习】?
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
[解析]　(1)设x＞0，则－x＜0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x．
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1．
∴当x∈(－∞，0)时，
f(x)＝x2－x－1．
题型四　单调性与奇偶性的综合应用
例4　定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，求实数a的取值范围．
[分析]　利用f(x)是奇函数，把f(1－a)＋f(1－3a)＜0变形为f(1－3a)＜f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解．
[解析]　原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)．
因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)．
所以原不等式化为f(1－3a)＜f(a－1)．
因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
所以有
解得0＜a＜．
所以实数a的取值范围是(0，)．
[归纳提升]　解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．
【对点练习】?
已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围为(　A　)
A．(，)　　　　
B．[，)
C．(，)
D．[，)
[解析]　由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)＜f()，即－＜2x－1＜，解得＜x＜．
误区警示
判断函数奇偶性时忽视定义域
例5　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x2，x∈(－2,2]；
(2)f(x)＝(x－1)．
[错解]　(1)∵f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，
∴函数是偶函数．
(2)∵f(x)＝－
＝－＝－，
∴f(－x)＝－＝－
＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
[错因分析]　错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[正解]　(1)函数的定义域为(－2,2]，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－1,1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
[方法点拨]　判断函数奇偶性的步骤如下：
(1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)①当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数．
②当函数的定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)的关系：若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数．
学科素养
学科素养——逻辑推理
例6　(1)(2021·江西南昌高一检测)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝(　A　)
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
(2)(2021·安徽合肥高一联考)已知函数y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，则f(－1)＝(　A　)
A．－3
B．－1
C．0
D．2
(3)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__2__．
[分析]　本例题中的函数有一个共同的特征，即都可以写成一个奇函数与一个常数的和，我们可以基于奇函数图象关于原点成中心对称的性质来解决．
[解析]　(1)解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18．
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26．
解法二：由已知条件，得
，
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16．
∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26．
(2)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－1)＋1＝－(f(1)＋1)．
又f(1)＝1，∴f(－1)＝－3．
(3)f(x)＝＝＝1＋，设g(x)＝，则g(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(0,1)对称，M＋m＝1×2＝2．
[归纳提升]　(1)若f(x)为奇函数，则①f(－a)＋f(a)＝0，②f(x)min＋f(x)max＝0．
(2)若f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋k(k为常数)，
则①g(a)＋g(－a)＝2k，②g(x)min＋g(x)max＝2k．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝－x的图象关于(　C　)
A．y轴对称　　　　　　
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
[解析]　因为x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
2．函数f(x)＝|x|＋1是(　B　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析]　f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
3．函数f(x)＝(x－1)，x∈(－1,1)(　B　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
[解析]　∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0，
∴f(x)＝(x－1)＝－，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，选B．
4．函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__0__．
[解析]　f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0．
5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解析]　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．
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-
1
-3．3　幂
函
数
【素养目标】
1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象)
2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)
3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】
以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考1：幂函数的解析式有什么特征？
提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
知识点2
　幂函数的图象及性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈(0，＋∞)增；x∈(－∞，0)减
增
增
x∈(0，＋∞)减；x∈(－∞，0)减
公共点
都经过点(1，1)
思考2：当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？
提示：图象都是从左向右逐渐上升．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝－x2是幂函数．(　×　)
(2)幂函数y＝x2是偶函数．(　√　)
(3)幂函数y＝x－1是增函数．(　×　)
(4)幂函数都过点(0，0)，(1，1)．(　×　)
(5)幂函数的图象不过第四象限．(　√　)
(6)当02．下列函数为幂函数的是(　D　)
A．y＝2x4　　　　　　　　
B．y＝2x3－1
C．y＝
D．y＝x2
[解析]　y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．
3．(2021·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，则f(4)的值为(　B　)
A．4
B．8
C．2
D．
[解析]　设f(x)＝xα，
∴2＝2α，∴α＝.
∴f(x)＝x.∴f(4)＝4＝(22)＝23＝8.
4．3.17－1与3.71－1的大小关系为3.17－1>3.71－1．
[解析]　利用f(x)＝x－1＝.在(0，＋∞)上为单调递减，3.17<3.71，所以3.17－1>3.71－1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　幂函数的概念
例1
已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
[分析]　本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．
[解析]　(1)若f(x)为正比例函数，则，∴m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则，∴m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则，
∴m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
[归纳提升]　形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数．
【对点练习】?
有下列函数：
①y＝3x2；②y＝x2＋1；
③y＝－；④y＝；
⑤y＝x；⑥y＝x3.
其中，是幂函数的有④⑤⑥(只填序号)．
[解析]　①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－＝－x－1，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x是幂函数；⑥中，y＝x3是幂函数．
题型二　幂函数的图象
例2　函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，1，，2，3})的图象只可能是下面中的哪一个(　C　)
[分析]　逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状．
[解析]　A中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1，1≠－1，故A错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．
[归纳提升]　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；
②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴．
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
【对点练习】?
(1)函数y＝x的图象大致是(　B　)
(2)当α∈{－1，，1，3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第二、四象限．
[解析]　(1)函数y＝x＝是定义域为R的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，
C．另外，因为y＝()＝×()＜，y＝1＝1，y＝2＝2×2＞2，所以当x∈(0，1)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的下方；
当x∈(1，＋∞)时，函数y＝x的图象在直线y＝x的上方．故选B．
(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限．
所以幂函数y＝xα(α＝－1，，1，3)的图象不可能经过第二、四象限．
题型三　幂函数简单性质的应用
角度1　比较幂的大小
例3　比较下列各题中两个数的大小：
(1)2.3，2.4；
(2)()－，()－；
(3)(－0.32)，0.35.
[分析]　
[解析]　(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.3<2.4.
(2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<，
∴()－>()－.
(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.32)＝0.32.
又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.32<0.35，
∴0.32<0.35，即(－0.32)<0.35.
[归纳提升]　比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较．
角度2　已知单调性求参数
例4　(2020·湖南省长沙市联考)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．
[分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验．
[解析]　∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数，
∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；
当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．
∴y＝x－3(x≠0)．
[归纳提升]　本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验．
【对点练习】?
比较下列各组数的大小：
(1)1.10.1，1.20.1；
(2)0.24－0.2，0.25－0.2；
(3)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋2)－<(5－2a)
－的a的取值范围．
[解析]　(1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，
又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.
(3)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N
，
所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶函数，故m＝1.
则原不等式可化为(a＋2)－<(5－2a)
－.
因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋2>5－2a>0或5－2a解得1故a的取值范围是{a|a<－2或1误区警示
用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论
例5　已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
[错解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N
，∴m＝1，2.
又∵函数图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数．
又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
又
∵y＝x－是减函数，由(a＋1)－<(3－2a)
－，得a＋1>3－2a.解得[错因分析]　该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[正解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N
，∴m＝1，2.
又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－<(3－2a)－，得a＋1>3－2a>0或3－2a[方法点拨]　解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
学科素养
新定义题
新定义问题都要按照定义要求，变形为普通的运算表达的函数形式，再使用相关方法获得结论．考查逻辑推理及直观想象素养．
例6　定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
[分析]　按定义用分段函数表示f(x)，使用图象求解．
[解析]　因为f(x)＝max{x2，x－2}，
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．
令x2>x－2，得x2>1，
所以x>1或x<－1.
令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，
所以f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示：
由图可知f(x)在x＝－1与x＝1时取最小值1.
所以函数f(x)的最小值为1.
课堂检测·固双基
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(　B　)
A．0　　　
B．1　　　　
C．2　　
D．3
[解析]　显然，根据幂函数定义可知，只有y＝＝x－2是幂函数．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过(　A　)
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
[解析]　∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，
∴图象不可能经过第四象限，故选A．
3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　B　)
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1
[解析]　由幂函数图象特点知选B．
4．幂函数f(x)的图象过点(2，)，那么f(9)的值是3．
[解析]　设f(x)＝xα，∴＝2α，∴2＝2α，
∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.
5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)，.
[解析]　(1)设f(x)＝x3，则f(x)在R上为增函数．
∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.
(2)设g(x)＝，则g(x)在(－∞，0)上为减函数．
∵－1.5<－1.4<0，∴>.
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-3．4　函数的应用(一)
【素养目标】
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)
【学法解读】
1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．
2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题.
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
　一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点2
　二次函数模型
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x＋)2＋(a≠0)．
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
知识点3
　幂函数型模型
(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．
(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
基础自测
1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(　B　)
A．30元　　　　　　　
B．45元
C．54元
D．越高越好
[解析]　设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，
将上式配方得y＝－2(x－45)2＋450，
所以当x＝45时，日销售利润最大．
2．A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地．
(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；
(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x的值．
[解析]　(1)y＝
(2)当y＝100时，60x＝100或150－50(x－)＝100，解得x＝或x＝.即当x＝或x＝时汽车距离A地100千米．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　一次函数模型
例1
某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？
[分析]　设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x－250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x－250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．
[解析]　设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250≤x≤400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得：
y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1
050，x∈[250，400]．
因为y＝0.3x＋1
050是定义域上的增函数，所以当x＝400时，ymax＝120＋1
050＝1
170(元)．
故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1
170元．
[归纳提升]　建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．
【对点练习】?
一辆匀速行驶的汽车90
min行驶的路程为180
km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(　D　)
A．y＝2t　　　　　　
B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0)
D．y＝120t(t≥0)
[解析]　因为90
min＝1.5
h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120
km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y＝120t(t≥0)．
题型二　二次函数模型
例2　A，B两城相距100
km，拟在两城之间距A城x
km处建一发电站给A，B两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10
km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，每月向B城供电10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；
(3)发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？
[分析]　根据发电站与城市的距离不得少于10
km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．
[解析]　(1)x的取值范围为{x|10≤x≤90}．
(2)y＝0.25×x2×20＋0.25×(100－x)2×10＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)由于y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25
000＝(x－)2＋，则当x＝时，y取得最小值，ymin＝.
故发电站建在距A城
km处，能使供电总费用y最小．
[归纳提升]　二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
【对点练习】?
(2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台)．
(1)将利润表示为关于年产量的函数；
(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？
[解析]　(1)依题意得，利润函数G(x)＝(5x－x2)－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)．
(2)利润函数G(x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．
题型三　幂函数模型
例3　某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
[解析]　(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，
依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，
令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2，
所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2时，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
[归纳提升]　幂函数模型有两个：y＝kxn(k，n是常数)，y＝a(1＋x)n(a，n是常数)，其中y＝a(1＋x)n也常常写作y＝N(1＋p)x(N，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．
【对点练习】?
(2021·四川德阳高一联考)某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)＝(k，M为常数)．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是(　C　)
A．40分钟
B．35分钟
C．30分钟
D．25分钟
[解析]　由题意可得当n＝M时，＝12，当n＝9时，＝20，解得k＝60，M＝25，∴f(n)＝
∵n＝4<25，∴f(4)＝＝30.
即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟．
题型四　分段函数模型
例4　通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知f(t)＝
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中？
(3)一道数学题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完该题目？
[解析]　(1)当0(2)f(5)＝195，f(25)＝205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中．
(3)当024，所以经过适当安排，可以在学生达到所需状态下讲授完该题目．
[归纳提升]　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．
【对点练习】?
(2021·山东烟台高一检测)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时，赢利最大？并求出此时每台产品的售价为多少．
[解析]　(1)依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝R(x)－G(x)＝
要使工厂有赢利，则有f(x)>0，
当0≤x≤5时，由f(x)>0，得－0.4x2＋3.2x－2.8>0，
解得1当x>5时，由f(x)>0，得8.2－x>0，解得x<8.2，∴5综上，1(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6，
而当x>5时，f(x)＝8.2－x<8.2－5＝3.2，
∴当工厂生产400台产品时，赢利最大．当x＝4时，每台产品的售价为×100＝240(元/台)．
误区警示
忽视实际问题中的定义域
例5　东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？
[错解]　设每床每夜提高租费x(x∈N＋)次2元，则可租出(100－10x)张客床，可获得利润y元，
依题意有y＝(10＋2x)·(100－10x)，
即y＝－20(x－)2＋1
125.
所以当x＝时，ymax＝1
125.
[错因分析]　本题忽略了变量参数的实际意义x∈N＋.
[正解]　设每床每夜提高租费x(x∈N＋)次2元，则可租出(100－10x)张客床，可获得利润y元，
依题意有y＝(10＋2x)·(100－10x)，
即y＝－20(x－)2＋1
125.
因为x∈N＋，所以当x＝2或x＝3时，ymax＝1
120.
当x＝2时，需租出客床80张；
当x＝3时，需租出客床70张．
因为x＝3时的投资小于x＝2时的投资，
所以取x＝3，此时2x＝6.
即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．
[方法点拨]　解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．
学科素养
数学建模——函数模型的选择
例6　某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
[分析]　本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
[解析]　由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据．
(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，
得，解得.所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1
000双，这是不太可能的．
(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得，
解得.
所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
由①，得ab＝1－c，代入②③，得
，
则，解得.则a＝＝－0.8.
所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.
结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
[归纳提升]　本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
课堂检测·固双基
1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　D　)
A．2
000套　　　　　　
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
[解析]　设利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0，解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．
2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．
横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(　D　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
[解析]　由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．
3．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(　A　)
A．3
m　　
B．4
m　　　
C．6
m　
D．12
m
[解析]　设矩形的长为x，则宽为(24－2x)，则矩形的面积为
S＝(24－2x)x＝－(x2－12x)＝－(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3
m.
4．(2021·安徽合肥高一联考)某种鲜花的进价为5元/支，据市场调查，当销售价格(x元/支)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花的支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　D　)
A．9元/支
B．11元/支
C．13元/支
D．15元/支
[解析]　设每天的利润为y元，
则y＝(x－5)·＝500(1－)，5≤x≤15，
显然此函数是增函数，故当x＝15时，y取得最大值．
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