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第三章
圆锥曲线的方程
3.3.2
抛物线的简单几何性质
学案
一、学习目标
1.掌握抛物线的简单几何性质，能利用简单性质求抛物线方程.
2.理解抛物线简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用抛物线的简单几何性质分析解决一些简单的问题.
二、基础梳理
抛物线标准方程的四种形式及相关性质
标准方程
图形
焦点
准线
顶点
开口方向
右
左
上
下
对称轴
x轴
y轴
x的取值范围
R
y的取值范围
R
离心率
三、巩固练习
1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(
)
A.
B.
C.
D.
2.抛物线上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(
)
A.
B.1
C.2
D.3
3.若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值为(
)
A.
B.0
C.或0
D.8或0
4.已知抛物线上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为(
)
A.
B.
C.
D.或
5.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为(
)
A.4
B.
C.
D.
6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么(
)
A.6
B.8
C.9
D.10
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为，，则为(
)
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
8.已知弦经过抛物线的焦点F，设，，则下列说法中错误的是(
)
A.当与轴垂直时，最小
B.
C.以弦为直径的圆与直线相离
D.
9.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则此抛物线的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中，F是抛物线的焦点，点A，B在抛物线C上，满足，，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
11.一条光线从抛物线的焦点F发出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过，若，则抛物线的标准方程为______.
12.直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形的面积为_______________.
13.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为______________________.
14.已知焦点为F的抛物线上有一点，若以A为圆心，为半径的圆A被y轴截得的弦长为，则_______________.
15.已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点.
(1)求的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
(2)求点P到点的距离与其到直线的距离之和的最小值.
16.一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为.以抛物线的顶点为原点O，其对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.
17.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，，的延长线与抛物线交于C，D两点.
(1)若的面积等于3，求k的值；
(2)记直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：在方程中，令，得，抛物线的焦点为，抛物线的标准方程是，故选C.
2.答案：A
解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为.根据抛物线定义，得，解得，代入抛物线方程可得，点P到y轴的距离为.故选A.
3.答案：C
解析：由，可知若，直线与抛物线只有一个交点；若，则，，所以.综上可知或，故选C.
4.答案：D
解析：由于抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6，所以点M的横坐标是，于是，代入，得，解得或，故该抛物线的标准方程为或.
5.答案：C
解析：抛物线的准线方程为，，点A到准线的距离为6，点A的横坐标为4，点A在抛物线上，的坐标为或，坐标原点关于准线的对称点B的坐标为，，的最小值为.故选C.
6.答案：B
解析：由题意知，抛物线的准线方程是，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，，又，.故选B.
7.答案：C
解析：设抛物线方程为，如图，，，，，又，，，.
8.答案：C
解析：过抛物线焦点的弦(其中，)有下列性质：①其最短弦长为，此时轴；②；③以为直径的圆与准线相切；④.对照各选项，只有C中的说法错误.
9.答案：C
解析：如图，设，，作，分别垂直于准线于点M，N，则，，又，可得，所以，则.设，则，解得，又，，且，所以，解得，所以抛物线的方程为.故选C.
10.答案：A
解析：设，，则，，由，得，则，所以，，因为，所以，得，所以，所以，从而.故选A.
11.答案：
解析：从焦点发出的光线经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，，，抛物线的标准方程为.
12.答案：48
解析：由，消去y得，得或9，即或，所以，或，，，所以梯形的面积.
13.答案：或
解析：设焦点，，即，解得或，当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为；当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为.
14.答案：2
解析：点在抛物线上，，，抛物线的焦点，即.由抛物线定义知，即圆A的半径，点A到y轴的距离，，即，解得(舍去).
15.解析：(1)过点P作垂直抛物线的准线于点，
由抛物线的定义，知，
当P，A，Q三点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入，得，点P的坐标为.
(2)设抛物线上点P到准线的距离为.
由抛物线的定义，得，
当B，P，F三点共线(在线段上)时取等号.
又，所求最小值为2.
16.解析：（1）依题意，设该抛物线的方程为.
因为点在抛物线上，
所以，得，
所以该抛物线的方程为.
（2）设通过隧道的车辆限制高度为，
D为车辆在B处时竖直方向上在隧道顶部的射影，则，
故，
代入方程，解得，
所以通过隧道车辆的限制高度为.
17.解析：(1)设，.
由，得，
，
所以，，
，
解得(舍去).
(2)设，则，.
因为A，F，C共线，
所以，即，
解得(舍去)或，所以，
同理，
所以，故，
所以为定值，且定值为2.

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