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课后素养落实(一)　数列的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N＋)　　
B．an＝(n∈N＋)
C．an＝(n∈N＋)
D．an＝(n∈N＋)
C　[0可写为，故分母是正奇数列{2n－1}，分子是0,2,4,6，其通项公式为2(n－1)，故所求的通项公式为an＝(n∈N＋)．本题也可用验证法求解，如令n＝2，代入四个选项，分别求值验证即可．]
2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a3＋a5＝(　　)
A．24　　　B．25　　　C．26　　　D．27
C　[由题意知an＝25－3n，∴a3＋a5＝(25－3×3)＋(25－3×5)＝26．]
3．在数列a1，a2，…，an，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第49项(　　)
A．不是原数列的项
B．是原数列的第12项
C．是原数列的第13项
D．是原数列的第14项
C　[∵＝12，∴新数列的第49项是原数列的第13项．]
4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋(－1)n×2，则其第3,4项分别是(　　)
A．9,14
B．9,18
C．7,18
D．7,14
C　[a3＝32－2＝7，a4＝42＋2＝18．]
5．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝．]
二、填空题
6．在数列中，第7项是________．
　[令n＝7，则＝＝．]
7．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键________个．(用含n的代数式表示)
(1)　(2)　　(3)　(n)
5n＋1　[各图中的“短线”依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，于是第n结构图化学键数为an＝6＋5(n－1)＝(5n＋1)个．]
8．[一题两空]数列{an}的通项公式an＝，则a8＝________，－3是此数列的第________项．
3－2　9　[a8＝＝－＝3－2．
∵－3＝－＝，∴n＝9．]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…．
[解]　
(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an
＝．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3．因此把第1项变为－．
至此原数列已化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·．
10．已知{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式．
[解]　∵a1＝3，an＋1＝2an＋1，∴a2＝7＝23－1，
a3＝15＝24－1，a4＝31＝25－1，
a5＝63＝26－1，
∴猜得an＝2n＋1－1．
11．数列－，，－，，…的通项公式an为(　　)
A．(－1)n＋1
B．(－1)n＋1
C．(－1)n
D．(－1)n
D　[观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5,5×7,7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n．]
12．已知数列{an}对任意的p，q∈N
满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)
A．－165　　　B．－33　　　C．－30　　　D．－21
C　[由已知a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30．]
13．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为(　　)
4＝1＋3　9＝3＋6　
16＝6＋10
A．25＝9＋16
B．36＝15＋21
C．49＝18＋31
D．64＝28＋36
BD　[这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有BD是对的．]
14．[一题两空]已知数列{an}的通项公式是an＝n2－4n－12，(n∈N＋)，则：
(1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．
(1)－12　(2)11　[(1)a4＝42－4×4－12＝－12．
(2)由an＝65，得n2－4n－12＝65，即n2－4n－77＝0，因为n∈N＋，可得n＝11．]
15．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求a2，a3，a4，a5，并归纳出an．
[解]　
∵a1＝1，an＝(n≥2)，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，由，，，，，…
可以归纳出an＝．
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§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
第一章　数列
情境导学·探新知
NO.1
一定次序
项
{an}
首项
通项
有穷
无穷
正整数集N＋(或其子集)
函数值
第n项an与n
an＝f(n)
解析式
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
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1
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3
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§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解数列、通项公式的概念．(重点)2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)
1．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养．
如果细心观察花菜、向日葵、菠萝等，你会发现这些事物似乎都与下面这列数有关：1,1,2,3,5,8,13,21…．
自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念．
[提示]　略．
1．数列的有关概念
数列的定义
按一定次序排列成的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项
数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为{an}，其中a1是数列的第1项，也称首项，第n项an也叫数列的通项
数列的分类
按照项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列
2．通项公式
(1)数列的函数刻画
数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
(2)通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成
an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，
数列的通项公式就是相应函数的解析式．
两个数列相同的条件是什么？
[提示]　两个数列相同必须满足两个条件：
(1)两个数列中的数相同；
(2)各数的排列次序相同．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相同的一组数，即使按不同顺序排列，也都表示同一个数列．
(　　)
(2)数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．
(　　)
(3)8是数列的第4项．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．数列，，，，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝　　　
B．an＝
C．an＝
D．an＝
C　[观察前4项的特点易知an＝．]
3．数列的通项公式为an＝则＝________．
　[＝＝．]
4．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，求a16．
[解]　由a8＝1，得8k－5＝1，解得k＝，
∴an＝n－5，∴a16＝×16－5＝7．
类型1　数列的有关概念
【例1】　下列说法中，正确的是(　　)
A．数列1,2,3可用集合表示为{1,2,3}
B．数列1,0，－1与数列－1,0,1是相同数列
C．数列的第10项为－1
D．数列0,2,4,6,8，…，可记作{2n}
[思路点拨]　紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．
C　[A中，{1,2,3}表示的是集合而不是数列；
B中，虽然构成这两个数列的数相同，但它们的排列次序不同，所以它们不是相同数列；
D中，数列{2n
}不含数列0,2,4,6,8，…，的首项．故选C．]
1．数列的项是在这个数列中出现的某一确定的数，而项数是其在这个数列中的位置序号．
2．对于数列来说，十分强调顺序，每一项与正整数形成有序对应．
[跟进训练]
1．下列说法中，正确的是
(　　)
A．任何数列都存在通项公式
B．数列与数列是相同数列
C．数列的通项公式是an＝n2
D．数列1,3,5,7,9，…的第n项是2n＋1
C　[有些数列不存在通项公式，故A错误；
数列是0,1,0,
1，…，而数列是1,0,1,0，…，故B错误；C正确；
数列1,3,5,7,9，…的第n项是2n－1，故D错误．]
类型2　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例2】　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式：
(1)1,3,7,15,31，…；
(2)2，－，，－，，－，…；
(3)5,55,555,5555，…；
(4)1,2,1,2,1,2，…．
[思路点拨]　经过观察、分析，寻找每一项与项数的统一规律．
[解]　(1)各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项公式为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1．
(2)数列的符号规律是(－1)n＋1，使各项分子为4，变为，－，，－，…，再把各分母分别加1，又变为，－，，－，…，所以数列的通项公式是an＝．
(3)各项乘，变为9,99,999，…，各项加上1，又变为10,100,1000，…，而这一数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(4)各项均减1得，0,1,0,1，…，所以an＝1＋，即an＝．
1．归纳通项公式应从以下五个方面着手：
(1)观察项与项之间的关系；
(2)项与序号之间的关系；
(3)符号与绝对值分别考虑，
对于正负号的变化可使用(－1)n或(－1)n＋1来调整；
(4)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；
(5)规律不明显，适当变形．
2．联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法．
[跟进训练]
2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)，2，，8，，…；
(2)1,3,6,10,15，…；
(3)0,3,8,15,24，…；
(4)－，，－，，…．
[解]　(1)统一分母为2，则有：，，，，，…，因此有an＝．
(2)把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因此有an＝．
(3)数列递增速度较快，像成平方地递增，即1－1,22－1,32－1,42－1,52－1，…，因此有an＝n2－1．
(4)各项负正相间，故通项公式中含有因式(－1)n，各项的分子均为1，分母为n(n＋1)，因此有an＝．
类型3　利用数列的通项公式确定数列的项
【例3】　已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N
)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
[思路点拨]　若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项．
[解]　(1)若0是{an}中的第n项，则＝0，
∵n∈N
，∴n＝21．∴0是{an}中的第21项．
若1是{an}中的第n项，则＝1，
∴n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0．
∵方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，
∴1不是{an}中的项．
(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则解得m＝10．
∴数列{an}中存在连续的两项第10项与第11项相等．
在例3中，
当n为何值时，
an<0?
[解]　由an<0，得0∴当n＝1,2,3，…，20时，an<0．
因为数列通项公式反映了第n项与项数n的函数关系，所以利用通项公式，可以求数列中任意一项，也可以检验某数是否是该数列中的一项．
1．对通项公式的理解
(1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1,0，－1,0,1,0，－1,0，…，通项公式可以是an＝sin
(n∈N＋)，也可以是an＝cos
π(n∈N＋)．
(2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的近似值构成的数列：3,3.1,3.14,3.141,3.141
5，…就写不出通项公式．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．数列1,3,5,7可表示为集合{1，3，5，7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0,1,2,3,4，…，可记为{n}
C　[由数列定义知A错，B中排列次序不同，D中n∈N．]
2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是(　　)
A．12　　　B．15　　　C．17　　　D．18
B　[各项乘2，变为1×2,2×3,3×4，…，可得原数列的通项公式为an＝，故x＝a5＝＝15．]
3．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－n＋1
B．an＝
C．an＝
D．an＝
C　[观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝．]
4．数列，，，，，…的一个通项公式是_________．
an＝　[数列，，，，，…，即数列，，，，，…，故an＝．
]
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数，
(1)求{an}的通项公式，并求a2
021；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…，组成，试归纳{bn}的一个通项公式．
[解]　
(1)设an＝kn＋b，则解得
∴an＝2n＋1(n∈N
)，∴a2
021＝4
043．
(2)∵a2，a4，a6，a8，…即为5,9,13,17，…，∴bn＝4n＋1．
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