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课后素养落实(十)　数学归纳法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1成立时，左边的项是(　　)
A．1　　　　
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
C　[因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．]
2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　)
A．3k－1
B．3k＋1
C．8k　　
D．9k
C　[因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k．]
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)
D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)
B　[n∈N＋且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，就完成了归纳递推．]
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1　　
B．1＋2
C．1＋2＋3　　
D．1＋2＋3＋4
[答案]　D
5．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即
＜k＋1．
那么当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立．
则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
D　[此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是________．
2＋f(1)＝2f(2)　[因为n≥2，所以n0＝2．观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2)．]
7．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
＋＋…＋＋＞－　[观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．]
8．[一题两空]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)第一步要证明的不等式是________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项．
1＋＋<2　2k　[当n＝2时，1＋＋<2．
当n＝k时到第2k－1项，
而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，
所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k．]
三、解答题
9．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N＋时，an[证明]　(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的非负根，所以a2＝，即a1(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，0≤ak所以a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
又ak＋2＋ak＋1＋1>0，
所以ak＋1即当n＝k＋1时，an综上，可知an10．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1．
(1)写出a1，a2，a3，推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得结论．
[解]　(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝，a2＝，a3＝，推测an＝＝2－(n∈N＋)．
(2)证明：an＝2－(n∈N＋)．
①当n＝1时，a1＝2－＝，结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即ak＝2－，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
因为a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
所以2ak＋1＝ak＋2，所以2ak＋1＝4－，所以ak＋1＝2－，
所以当n＝k＋1时结论成立．
由①②知对于任意正整数n，结论都成立．
11．如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝1，2也均成立，则下列结论正确的是(　　)
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对所有正奇数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
A　[由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，当n＝1时成立，则p(n)对所有正奇数都成立；当n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立，因此p(n)对所有正整数n都成立．]
12．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N＋”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　)
A．2k＋1　　
B．2(2k＋1)
C．　　
D．
B　[当n＝k(k∈N＋)时，
左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；
当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．]
13．(多选题)某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么不能推出(　　)
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
ABD　[法一：由n＝k(k∈N＋)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．
法二：其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”?“n＝4时不成立”．]
14．[一题两空]用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．
1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4　[当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1．]
15．平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数f(n)＝．
[证明]　(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝．那么当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N＋成立．
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§5　数学归纳法
第一章　数列
情境导学·探新知
NO.1
n＝k＋1
数学归纳法
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合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
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§5　数学归纳法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升学生逻辑推理素养．
1．在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
[提示]　能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：
(ⅰ)第一块骨牌倒下；(ⅱ)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
2．你认为第二个条件的作用是什么？
[提示]　条件(ⅱ)给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下．
数学归纳法
一般地，证明某些与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？
[提示]　数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．
(　　)
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1．
(　　)
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3．]
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________．
(2k＋2)＋(2k＋3)　[当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，
所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．]
4．求证：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)．
[证明]　①当n＝1时，左边＝1，右边＝，所以不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞．
则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋2k－1·＝．
所以当n＝k＋1时，
不等式成立．
由①②可知1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立．
类型1　用数学归纳法证明等式
【例1】　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋．
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明等式的规则
(1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．
[跟进训练]
1．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝．
[证明]　(1)当n＝1时，＝成立．
(2)假设当n＝k时等式成立即有＋＋…＋＝，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立．
类型2　用数学归纳法证明不等式
【例2】　对任意的n∈N＋，··…·＞均成立．
[思路点拨]　本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．
[解]　①当n＝1时，左式＝，右式＝，
左式＞右式，所以结论成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即··…·＞，
则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥．
即证≥，
由基本不等式知＝≥成立，
故≥成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N＋时，不等式··…·＞成立．
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．
[跟进训练]
2．求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)．
[证明]　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋．(
)
法一　(分析法)下面证(
)式≥，即＋＋－≥0，
只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，
只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，
只需证9k＋5≥0，显然成立．
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
法二　(放缩法)(
)式＞＋＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．
类型3　归纳——猜想——证明
【例3】　设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N＋)．猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
[解]　分别令n＝1，2，3，得
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，
猜想：an＝n．
由2Sn＝a＋n，①
可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)，②
①－②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1．
(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，
∵a2>0，∴a2＝2．
(ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，
a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1，即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，
∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，
∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立，
∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立，
故对于一切n∈N＋，均有an＝n．
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
[跟进训练]
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．
(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
[证明]　(1)因为a1＝1，Sn＝n2an，所以S1＝a1＝1，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝；当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝；
当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝．猜想Sn＝．
(2)下面用数学归纳法证明猜想成立．
①当n＝1时，结论显然成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即Sk＝，
则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)，
所以(k2＋2k)Sk＋1＝(k＋1)2Sk＝(k＋1)2·，
所以Sk＋1＝．
故当n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知，对于任意的n∈N＋，都有Sn＝．
因为Sn＝n2an，所以an＝＝＝．
1．数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从k到k＋1的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”也成立，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证(　　)
A．n＝1　　　　
B．n＝2
C．n＝3　　
D．n＝4
[答案]　C
2．一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
B　[本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A，C，D不正确．]
3．用数学归纳法证明“＋＋…＋＞”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是(　　)
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上结论都不正确
C　[当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项．]
4．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为________．
3　[根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3．]
5．给出四个等式：
1＝1，
1－4＝－(1＋2)，
1－4＋9＝1＋2＋3，
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
…
(1)写出第5，6个等式，并猜测第n(n∈N＋)个等式；
(2)用数学归纳法证明你猜测的等式．
[解]　(1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，
第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)，
第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)．
(2)证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1(1＋2＋3＋…＋k)＝(－1)k－1·．
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)
＝(－1)k
＝(－1)k(1＋2＋3＋…＋k＋1)．
所以n＝k＋1时，等式也成立，
根据①②可知，对?n∈N＋等式均成立．
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