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浙江省温州市苍南县、龙港市2020-2021学年高二上学期数学“姜立夫杯”竞赛试卷
一、单选题
1．（2020高二上·苍南竞赛）已知集合 ，集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·苍南竞赛）函数 的图象关于直线 对称，则实数 的值是（　　）
A． B．2 C． D．
3．（2020高二上·苍南竞赛）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·苍南竞赛）如图，已知正四面体 中， 为棱 的中点， 为棱 上的动点，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·舒兰期中）函数 ．若存在 ，使得 ，则k的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2020高二上·苍南竞赛）在面积为2的 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，则 的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（2020高二上·苍南竞赛）如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 ， ( 在 的上方)，且 . 的另外两个顶点 ， 恰好在圆 ： 上，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·苍南竞赛）设 为不超过 的最大整数， 为 可能取到所有值的个数， 是数列 前 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（　　）
①
②2020是数列 中的项
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 ，则函数 的单调递减区间为　 　.
10．（2020高二上·苍南竞赛）已知 ， ，则 　 　.
11．（2020高二上·苍南竞赛）对任意的实数 ， ，直线 恒经过的一个定点的坐标是　 　.
12．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 ，若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是　 　．
13．（2020高二上·苍南竞赛）已知实数 ， ， 满足 ， ，且 ，则 的取值范围是　 　.
14．（2020高二上·苍南竞赛）定义 为正整数 的各位数字之和，例如 ，当 时， 的最小值为　 　.
三、解答题
15．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 的单调递增区间和最大值.
16．（2020高二上·苍南竞赛）已知实数 ，关于 的方程 恰有三个不同的实数根 ， ， .且 ；
（1）当 时，求实数 的值；
（2）记函数 ，证明： .
17．（2020高二上·苍南竞赛）已知 ， ， ， ， ，记 为数列 的前 项和.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明： .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
，
故 ，
故答案为：B.
【分析】化简集合A，B，再求交集即可。
2．【答案】D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】由题意，函数 ，
又由函数的图象关于 对称，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】 利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过，函数取得最值，求出a的值即可.
3．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 为 上的增函数且 ，
故 ，故 ，
而 为 上的增函数，故 ，
故 ，
故答案为：D.
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行比较，可得答案。
4．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】设正四棱锥的棱长为 ，且 ，
因为 为棱 的中点，可得 ，
则
设 ，可得 ，
则 ，
又由 ，
所以 ，
令 ，则 ，可得
可得 ，
设
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最大值为 ，所以
即 的最大值为 .
故答案为：C.
【分析】设正四棱锥的棱长为 ，且 ， ，根据向量的线性运算法则，可得及，利用向量的夹角公式，求得 ，结合二次函数的性质，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；不等式的综合；绝对值不等式
【解析】【解答】当 时， ，因此 ，可化为 ，即存在 ，使 成立，由于 的对称轴为 ，所以 ，当 单调递增，因此只要 ，即 ，解得 ，又因 ，所以 ，当 时， ， ，满足题意，
综上， ．
故答案为：D．
【分析】分类讨论， 或 ， 时直接根据绝对值定义去掉绝对值符号，不等式化为一元二次不等式，由 的最小值小于0得结论， 时， 中 时函数值小于0满足题意，综合后可得结论．
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，
所以EF到BC的距离即为点A到BC距离的一半，
所以 的面积=2 的面积，即 ，设角 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得： ，
显然 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时，即 时， ，函数 为增函数，
当 时，即 时， ，函数 为减函数，
所以当 时，即 时，函数 有最小值，且为 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：C
【分析】因为 ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，所以EF到BC的距离即为点A到BC距离的一半，设角 ， ，所以 ，即 ，由余弦定理得： ，令 ，求导可得 ， ，即可求出 的最小值 。
7．【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为圆 与 轴相切于点 ，故可得 ，且圆 的半径为 ，
因为 ，故 ，故 ，所以圆 .
故 ，
设 ，则
，
同理 ，故 .
故答案为：A.
【分析】先求出圆的方程，求出A，B的坐标，设 ，用x，y表示 ，再结合 化简可得为定值，从而可得答案。
8．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【解答】当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
…可得 ， ， ， ， ，
即 ，故①正确；
令 ，即 ，无整数解，故②错误；
设 ，
可得 ，
即 ，故③正确；
，故 ，
设 ， 由 ，
得
故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用代值法、裂项求和法、放缩法，逐项进行验证，可得答案。
9．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令 ，可得 或 ，定义域为 ，
因为 单调递减，
所以要求 的单调减区间，
只需求 在 上的增区间，
的对称轴为 ，所以 在 上单调递增
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为： .
【分析】令 ，求得函数的定义域，根据 单调递减，求函数的单调递减区间转化为求函数t在定义域内的增区间即可得解。
10．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， ， ，则 .
故答案为：
【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质可得 。
11．【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】由题意，直线方程 ，
可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，即交点坐标为 ，
即直线 恒经过的一个定点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】化简直线方程为，联立方程组，求得交点坐标，即可求解。
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，
又因为不等式 的解集为空集，
所以 ，
解得
所以实数a的取值范围是
故答案为：
【分析】由 ，又因为不等式 的解集为空集，可得 ，求解可得实数a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】因为 ， ，
故 ，即 ，
故 为方程 的两个不等的实数根且它们都小于 .
故 即 ，故 .
故答案为：
【分析】由题设可得 为方程 的两个不等的实数根且它们都小于 ，利用根分布可求 的取值范围 。
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，其值最小，则a=1，d=9，
所以 ，
类似分析当b=0，c=9时，符合题意，此时 ，
故答案为：
【分析】设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则可表示出 ，分析可得当a=1，b=0，c=9，d=9时有最小值，即可求得答案。
15．【答案】（1）
，
的最小正周期为 .
（2） ，
在 ， 上单调递增，
即 ，解得 ，
的单调递增区间为 ， ，
当 即 时 有最大值，
.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简 ， 利用周期的公式，即可求解函数的最小正周期；
（2）由 ，根据三角函数的性质，得到 即可得到函数的递增区间及最大值。
16．【答案】（1）由题意知： ， 恰有三个不同实数根，
或 ，即 或
在 上递减，在 上递增，在 时取得最小值 .
所以 有两个不同实数根， 恰有一个实数根，
所以 .
（2） ， ，同理， ， ，
要证明 ，只要证： ，
由题意知：
①若 ，则 ，而当 时， ， ，
不存在三个实数根，
②若 ， 是方程 的唯一实数根，
， ， (舍去) .
， 是方程 的两个不等实根，
， 成立.
【知识点】分析法和综合法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】 (1)利用转化思想和数形结合思想，将实数根的个数转化为交点个数求解；
(2)先将要求的结论等价化简，合理分类去绝对值得到两个方程，分析两个方程在一定范围内的零点情况，再证明。
17．【答案】（1）因为 可得 ，而 ，
，
数列 为常数列，因为 ， ，所以 ， ， ，所以数列 为公差为 的等差数列， ， .
， .
， .
（2） ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题设条件得出 ，即 数列 为常数列 ，再根据题中数据得出 ，化简得出数列 为公差为 的等差数列，从而得出 的通项公式，再由 ，得出 的通项公式；
（2）由 ， 裂项相消即可求其前项和Sn，从而得出结果。
1 / 1浙江省温州市苍南县、龙港市2020-2021学年高二上学期数学“姜立夫杯”竞赛试卷
一、单选题
1．（2020高二上·苍南竞赛）已知集合 ，集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
，
故 ，
故答案为：B.
【分析】化简集合A，B，再求交集即可。
2．（2020高二上·苍南竞赛）函数 的图象关于直线 对称，则实数 的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】由题意，函数 ，
又由函数的图象关于 对称，所以 ，
即 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】 利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过，函数取得最值，求出a的值即可.
3．（2020高二上·苍南竞赛）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 为 上的增函数且 ，
故 ，故 ，
而 为 上的增函数，故 ，
故 ，
故答案为：D.
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行比较，可得答案。
4．（2020高二上·苍南竞赛）如图，已知正四面体 中， 为棱 的中点， 为棱 上的动点，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】设正四棱锥的棱长为 ，且 ，
因为 为棱 的中点，可得 ，
则
设 ，可得 ，
则 ，
又由 ，
所以 ，
令 ，则 ，可得
可得 ，
设
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最大值为 ，所以
即 的最大值为 .
故答案为：C.
【分析】设正四棱锥的棱长为 ，且 ， ，根据向量的线性运算法则，可得及，利用向量的夹角公式，求得 ，结合二次函数的性质，即可求解。
5．（2020高二下·舒兰期中）函数 ．若存在 ，使得 ，则k的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式的解法；不等式的综合；绝对值不等式
【解析】【解答】当 时， ，因此 ，可化为 ，即存在 ，使 成立，由于 的对称轴为 ，所以 ，当 单调递增，因此只要 ，即 ，解得 ，又因 ，所以 ，当 时， ， ，满足题意，
综上， ．
故答案为：D．
【分析】分类讨论， 或 ， 时直接根据绝对值定义去掉绝对值符号，不等式化为一元二次不等式，由 的最小值小于0得结论， 时， 中 时函数值小于0满足题意，综合后可得结论．
6．（2020高二上·苍南竞赛）在面积为2的 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，则 的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，
所以EF到BC的距离即为点A到BC距离的一半，
所以 的面积=2 的面积，即 ，设角 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由余弦定理得： ，
显然 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时，即 时， ，函数 为增函数，
当 时，即 时， ，函数 为减函数，
所以当 时，即 时，函数 有最小值，且为 ，
所以 的最小值是 .
故答案为：C
【分析】因为 ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，所以EF到BC的距离即为点A到BC距离的一半，设角 ， ，所以 ，即 ，由余弦定理得： ，令 ，求导可得 ， ，即可求出 的最小值 。
7．（2020高二上·苍南竞赛）如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 ， ( 在 的上方)，且 . 的另外两个顶点 ， 恰好在圆 ： 上，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为圆 与 轴相切于点 ，故可得 ，且圆 的半径为 ，
因为 ，故 ，故 ，所以圆 .
故 ，
设 ，则
，
同理 ，故 .
故答案为：A.
【分析】先求出圆的方程，求出A，B的坐标，设 ，用x，y表示 ，再结合 化简可得为定值，从而可得答案。
8．（2020高二上·苍南竞赛）设 为不超过 的最大整数， 为 可能取到所有值的个数， 是数列 前 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（　　）
①
②2020是数列 中的项
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【解答】当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ；
…可得 ， ， ， ， ，
即 ，故①正确；
令 ，即 ，无整数解，故②错误；
设 ，
可得 ，
即 ，故③正确；
，故 ，
设 ， 由 ，
得
故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用代值法、裂项求和法、放缩法，逐项进行验证，可得答案。
二、填空题
9．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 ，则函数 的单调递减区间为　 　.
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令 ，可得 或 ，定义域为 ，
因为 单调递减，
所以要求 的单调减区间，
只需求 在 上的增区间，
的对称轴为 ，所以 在 上单调递增
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为： .
【分析】令 ，求得函数的定义域，根据 单调递减，求函数的单调递减区间转化为求函数t在定义域内的增区间即可得解。
10．（2020高二上·苍南竞赛）已知 ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， ， ，则 .
故答案为：
【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质可得 。
11．（2020高二上·苍南竞赛）对任意的实数 ， ，直线 恒经过的一个定点的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】由题意，直线方程 ，
可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，即交点坐标为 ，
即直线 恒经过的一个定点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】化简直线方程为，联立方程组，求得交点坐标，即可求解。
12．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 ，若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，
又因为不等式 的解集为空集，
所以 ，
解得
所以实数a的取值范围是
故答案为：
【分析】由 ，又因为不等式 的解集为空集，可得 ，求解可得实数a的取值范围。
13．（2020高二上·苍南竞赛）已知实数 ， ， 满足 ， ，且 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】因为 ， ，
故 ，即 ，
故 为方程 的两个不等的实数根且它们都小于 .
故 即 ，故 .
故答案为：
【分析】由题设可得 为方程 的两个不等的实数根且它们都小于 ，利用根分布可求 的取值范围 。
14．（2020高二上·苍南竞赛）定义 为正整数 的各位数字之和，例如 ，当 时， 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则 ，其值最小，则a=1，d=9，
所以 ，
类似分析当b=0，c=9时，符合题意，此时 ，
故答案为：
【分析】设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则可表示出 ，分析可得当a=1，b=0，c=9，d=9时有最小值，即可求得答案。
三、解答题
15．（2020高二上·苍南竞赛）已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 的单调递增区间和最大值.
【答案】（1）
，
的最小正周期为 .
（2） ，
在 ， 上单调递增，
即 ，解得 ，
的单调递增区间为 ， ，
当 即 时 有最大值，
.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简 ， 利用周期的公式，即可求解函数的最小正周期；
（2）由 ，根据三角函数的性质，得到 即可得到函数的递增区间及最大值。
16．（2020高二上·苍南竞赛）已知实数 ，关于 的方程 恰有三个不同的实数根 ， ， .且 ；
（1）当 时，求实数 的值；
（2）记函数 ，证明： .
【答案】（1）由题意知： ， 恰有三个不同实数根，
或 ，即 或
在 上递减，在 上递增，在 时取得最小值 .
所以 有两个不同实数根， 恰有一个实数根，
所以 .
（2） ， ，同理， ， ，
要证明 ，只要证： ，
由题意知：
①若 ，则 ，而当 时， ， ，
不存在三个实数根，
②若 ， 是方程 的唯一实数根，
， ， (舍去) .
， 是方程 的两个不等实根，
， 成立.
【知识点】分析法和综合法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】 (1)利用转化思想和数形结合思想，将实数根的个数转化为交点个数求解；
(2)先将要求的结论等价化简，合理分类去绝对值得到两个方程，分析两个方程在一定范围内的零点情况，再证明。
17．（2020高二上·苍南竞赛）已知 ， ， ， ， ，记 为数列 的前 项和.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】（1）因为 可得 ，而 ，
，
数列 为常数列，因为 ， ，所以 ， ， ，所以数列 为公差为 的等差数列， ， .
， .
， .
（2） ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题设条件得出 ，即 数列 为常数列 ，再根据题中数据得出 ，化简得出数列 为公差为 的等差数列，从而得出 的通项公式，再由 ，得出 的通项公式；
（2）由 ， 裂项相消即可求其前项和Sn，从而得出结果。
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