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第四章
数列
4.2.1
等差数列的概念
学案
一、学习目标
1.通过实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.通过等差数列的概念、通项公式，认识等差数列的性质.
二、基础梳理
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为.
三、巩固练习
1.数列的通项公式为，则此数列(
)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
2.在等差数列中，若，，则(
)
A.-1
B.0
C.1
D.6
3.已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差(
)
A.1
B.
C.2
D.2或
4.若等差数列的前三项为，，，则这个数列的通项公式为(
)
A.
B.
C.
D.
5.在数列中，，，则的值为(
)
A.52
B.51
C.50
D.49
6.若a，b，c成等差数列，则二次函数的图像与x轴的交点个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.1或2
7.已知等差数列的公差为，且，若，则m的值为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
8.已知数列满足，，则(
)
A.143
B.156
C.168
D.195
9.已知数列为等差数列，，.若，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.等差数列中，，，则与等差中项的值为_____________.
11.在等差数列中，，，则数列的通项公式为___________.
12.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为_________________.
13.已知数列是等差数列.若，，且，则_________________.
14.已知数列满足，.
(1)数列是否为等差数列?说明理由.
(2)求.
15.在数列中，，，若数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项与最小项.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，数列是公差为2的等差数列.令，得，故的首项为7.故选A.
2.答案：B
解析：因为为等差数列，所以，解得，故选B.
3.答案：B
解析：，，又，或（舍去）.
4.答案：B
解析：等差数列的前三项为，，，
，解得.
设数列的公差为，，，.故选B.
5.答案：A
解析：因为数列满足，所以，又，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，所以故选A.
6.答案：D
解析：因为a，b，c成等差数列，所以，所以.所以二次函数的图像与x轴交点的个数为1或2.故选D.
7.答案：D
解析：由题意，，即，
根据等差数列的性质，可知，，，又，.
8.答案：C
解析：由，得，，
又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，
，.
9.答案：A
解析：，.
数列为等差数列，，，，，，.
10.答案：11
解析：根据题意，等差数列中，，，则有，则与的等差中项为.
11.答案：
解析：设数列的公差为d，由，得，又，所以，所以.
12.答案：
解析：设等差数列的公差为d，且d为整数，由题意得，，，所以，且，解得，又d为整数，则公差.
13.答案：18
解析：设数列的公差为d，，，，，，，即，解得.
14.解析：(1)数列是等差数列.理由如下：
因为，，所以，
所以，
即是首项为，公差的等差数列.
(2)由(1)可知，，所以.
15.解析：（1）当时，
，，
.
又，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）依题意，有.
，.
对于函数，当时，，当时，，
且函数在上单调递减，在上单调递减.
当时，取最大值，最大值为；
当时，取最小值，最小值为.
数列中的最大项为，最小项为.

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