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第四章
数列
4.2.2
等差数列的前n项和公式
学案
一、学习目标
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题.
3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究的最值.
4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题.
5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
二、基础梳理
等差数列的前n项和公式为，也可以用来表示.
三、巩固练习
1.已知等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差为(
)
A.
B.2
C.
D.3
2.设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则(
)
A.8
B.52
C.45
D.72
3.已知等差数列的前n项和为，，则(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
4.记为等差数列的前n项和，已知，，则(
)
A.
B.
C.
D.
5.设等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
6.已知等差数列的前n项和为，若，，则k的值是(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
7.在等差数列中，公差，，前m项和，则(
)
A.5或7
B.3或5
C.7或-1
D.3或-1
8.等差数列的前n项和为，若，，则为(
)
A.84
B.108
C.144
D.156
9.已知数列是等差数列.若，，且数列的前n项和有最大值，则取得最大正值时n等于(
)
A.20
B.17
C.19
D.21
10.记为等差数列的前n项和.若，，则_____________.
11.设等差数列的前n项和为，若，，，则_________.
12.设数列的前n项和为，点均在函数的图像上，则数列的通项公式_____________.
13.已知等差数列的前n项和为，，公差，，若取得最大值，则_____________.
14.在等差数列中，公差，其前n项和为，且，.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和.
15.设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和.
（1）求；
（2）求及的最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，由，，解得，故选B.
2.答案：B
解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得，
则，故选B.
3.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，，，.故选B.
4.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，由题知，解得，，故选A.
5.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，则由题意，知，解得，则，所以当时，取得最小值，故选A.
6.答案：B
解析：∵等差数列的前n项和可看作是关于n的二次函数且，
对称轴方程为，又，，解得.
7.答案：D
解析：，所以①.
，所以②.由①②得或.故选D.
8.答案：B
解析：由等差数列前n项和的性质可知，，成等差数列.
又，，由等差中项的性质可知，，，故选B.
9.答案：C
解析：由等差数列的性质可得，又且有最大值，可得，，则有，而，进而可得取得最大正值时n等于19.
10.答案：25
解析：设等差数列的公差为d，则，解得，所以.
11.答案：15
解析：因为，所以，又，所以.
12.答案：
解析：依题意得，即，所以数列为等差数列，且，，设其公差为d，则，所以.
13.答案：7或8
解析：∵在等差数列中，，公差，，，，，，当或8时，取得最大值.
14.解析：（1）由，得，解得或.
等差数列中，公差，，.
.
（2）由（1）知，，
数列为等差数列，且，.
15.解析：(1)设数列的公差为d.
依题意有，解得，
.
(2)由(1)知，，设，
则，
数列是公差为的等差数列，首项.
又为数列的前n项和，
.
当或时，.

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