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(共40张PPT)
1.2
直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
3.了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系.
课标要求
素养要求
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.直线的点斜式方程
///////
x＝x1
(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程______________叫作直线的点斜式方程.
(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的直线方程为
.
2.直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，则直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.称b为直线l在y轴上的
.方程由直线l的斜率和它在y轴上的
定，这个方程也叫作直线的斜截式方程.
截距
截距
点睛
(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
√
///////
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(
)
提示　前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).
(3)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(
)
(4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(
)
提示　令x＝0，得y＝－b，∴在y轴上的截距为－b.
×
√
×
2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以该直线过定点(－1，－2)，斜率为－1.
D
C
1
4.已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.
45°
0
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求直线的点斜式方程
///////
【例1】　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan
135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式方程表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
思维升华　求直线的点斜式方程的思路
思维升华
特别提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【训练1】　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.
解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
题型二　求直线的斜截式方程
///////
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解　(1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
思维升华　直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和直线在y轴上的截距，代入斜截式方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和直线在y轴上的截距，再写出直线的斜截式方程.
思维升华
【训练2】　写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2).
【例3】　已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
题型三　点斜式、斜截式方程的综合应用
///////
解　设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，
当x＝0时，y＝1－4k>0；
思维升华　在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论.
思维升华
则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b.
即6|b|2＝6，
∴b＝±1.
1.牢记2个直线方程
(1)点斜式方程.
(2)斜截式方程.
2.掌握3种规律方法
(1)求点斜式方程的方法步骤.
(2)斜截式方程的求解策略.
(3)含参数方程问题的求解.
3.注意1个易错点
本节的易错点是利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为(　　)
C
A.y＝－2x－2
B.y＝2x－2
C.y＝2x＋2
D.y＝－2x＋2
解析　由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：y＝2x＋2.故选C.
2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　)
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
C.y＝－x＋1
D.y＝－x－1
B
解析　∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，
又∵直线过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，
整理可得y＝x－1，故选B.
3.(多选题)给出下列四个结论，正确的是(　　)
BC
B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
B正确，C正确，D只有斜率k存在时成立.
4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
B
解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
5.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A.(1，3)
B.(－1，－3)
C.(3，1)
D.(－3，－1)
C
解析　直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
二、填空题
6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是________.
－5
解析　令x＝0，则y＝－5，
∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是
_________________________.
解析　与y轴相交成30°角的直线的斜率为：
8.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是__________.
(－∞，0]
解析　当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；
当k>0时，直线过第三象限；
当k<0时，直线不过第三象限.
三、解答题
9.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；
(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.
解　(1)斜率k＝tan
45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.
又0°≤α1<180°，
∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，
能力提升
///////
11.(多选题)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　)
CD
13.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－314.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
本节内容结束1.2　直线的方程
1.2.1　直线的点斜式方程
课标要求
素养要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.3.了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系.
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
自主梳理
1.直线的点斜式方程
(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程.
(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的直线方程为x＝x1.
2.直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，则直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.称b为直线l在y轴上的截距.方程由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，这个方程也叫作直线的斜截式方程.
(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(√)
(2)对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(×)
提示　前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).
(3)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(√)
(4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)
提示　令x＝0，得y＝－b，∴在y轴上的截距为－b.
2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
答案　D
解析　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以该直线过定点(－1，－2)，斜率为－1.
3.经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝(x＋1)
D.y－1＝2(x＋1)
答案　C
解析　由题意知所求直线斜率为，
故由点斜式方程知所求直线方程为y－1＝(x＋1).
4.已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y轴上的截距为________.
答案　1　45°　0
题型一　求直线的点斜式方程
【例1】　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4).
解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)].
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan
135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式方程表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝＝－5.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
思维升华　求直线的点斜式方程的思路
特别提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【训练1】　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.
解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；
(2)∵直线的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；
(3)y＝－1.
题型二　求直线的斜截式方程
【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　(1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan
150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan
60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
思维升华　直线的斜截式方程的求解策略：
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和直线在y轴上的截距，代入斜截式方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和直线在y轴上的截距，再写出直线的斜截式方程.
【训练2】　写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan
60°＝，∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4，0)和(0，－2).
∴k＝＝，
∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2.
题型三　点斜式、斜截式方程的综合应用
【例3】　已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
解　设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，
当x＝0时，y＝1－4k>0；
当y＝0时，x＝4－>0.
由题意，得×(1－4k)×(4－)＝8，
解得k＝－.
所以直线l的点斜式方程为y－1＝－(x－1).
思维升华　在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论.
【训练3】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程.
解　设直线方程为y＝x＋b，
则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b.
由已知可得
·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，
∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
1.牢记2个直线方程
(1)点斜式方程.
(2)斜截式方程.
2.掌握3种规律方法
(1)求点斜式方程的方法步骤.
(2)斜截式方程的求解策略.
(3)含参数方程问题的求解.
3.注意1个易错点
本节的易错点是利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况.
一、选择题
1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为(　　)
A.y＝－2x－2
B.y＝2x－2
C.y＝2x＋2
D.y＝－2x＋2
答案　C
解析　由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为：y＝2x＋2.故选C.
2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　)
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
C.y＝－x＋1
D.y＝－x－1
答案　B
解析　∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，
又∵直线过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，
整理可得y＝x－1，故选B.
3.(多选题)给出下列四个结论，正确的是(　　)
A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
答案　BC
解析　A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；
B正确，C正确，D只有斜率k存在时成立.
4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
答案　B
解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
5.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A.(1，3)
B.(－1，－3)
C.(3，1)
D.(－3，－1)
答案　C
解析　直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
二、填空题
6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是________.
答案　－5
解析　令x＝0，则y＝－5，
∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________.
答案　y＝x－6或y＝－x－6
解析　与y轴相交成30°角的直线的斜率为：
k＝tan
60°＝，或k＝tan
120°＝－，
∴在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝x－6或y＝－x－6.
8.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________.
答案　(－∞，0]
解析　当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；
当k>0时，直线过第三象限；
当k<0时，直线不过第三象限.
三、解答题
9.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；
(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.
解　(1)斜率k＝tan
45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.
(2)由题意知直线过点(3，1)，(0，－1)，∴斜率k＝＝，可得斜截式方程为y＝x－1.
10.直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的点斜式方程.
解　直线l1的方程是y－2＝－(x＋1).
∵k1＝－＝tan
α1，
又0°≤α1<180°，
∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，
∴k2＝tan
120°＝－，
∴直线l2的方程为y－2＝－(x＋1).
11.(多选题)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　)
A.－2
B.－
C.
D.2
答案　CD
解析　令x＝0，得y＝.
由已知得＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，
即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或，符合题意.
12.斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________.
答案　y＝x±3
解析　设所求直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
由题意得：|b|＋＋＝12，
即|b|＋|b|＋|b|＝12，即4|b|＝12，∴b＝±3，
∴所求直线方程为y＝x±3.
13.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足即
解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是.
14.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝.
由三角形的面积为2，得××2＝2.
解得，k＝.
可得直线l的方程为y－2＝(x－2).
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2).

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