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(共36张PPT)
1.5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
理解两点间的距离公式，并能进行简单的应用.
课标要求
素养要求
通过学习本节内容提升学生的数学运算的核心素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.两点间的距离公式
///////
平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝
特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|.
.
2.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，
则____________________________
自主检验
1.思考辨析，判断正误
×
///////
(1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.(
)
√
×
提示　无关.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.
(3)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在同一坐标轴上时，两点间的距离公式不适用了.(
)
提示　适用.当两点都在x轴上时，AB＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，AB＝|y1－y2|.
2.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(　　)
C
解析　∵点A关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，
由光的反射理论可知，
此即为光线从A到B的距离.
D
解析　由两点间的距离公式，
4.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　两点间距离公式的应用
///////
由PA＝PB，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.
平面上两点间的距离公式的应用类型
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.
思维升华
【训练1】　(1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.
(2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形.
(1)解　设点P的坐标为(x，0)，由PA＝10，
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形.
【例2】　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
题型二　坐标法的应用
///////
证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则AB＝c.
又由中点坐标公式，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.
思维升华
【训练2】　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：AC＝BD.
证明　如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
故AC＝BD.
1.牢记1个公式
课堂小结
2.掌握1种方法
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为(　　)
A
A.10
B.5
C.8
D.6
2.以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　)
C
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
3.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
D
4.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　)
C
D
二、填空题
6.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB等于________.
解析　设A(x，0)，B(0，y)，
∵AB的中点为P(2，－1)，
∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，
7.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是________.
8.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的
长度为________.
∴△ABC是等腰三角形，
∴D为BC的中点，
有AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形.
10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1，
此时，与l1的交点为(1，4)也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
能力提升
///////
B
12.已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg
x的图象与x轴交于点B，点P
在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________.
解析　易知A(0，1)，B(1，0)，
所以直线AB的方程为y＝1－x，
点P在直线AB上移动，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0，
又知点Q(0，－2)，
13.如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.
试用坐标法证明：AE＝CD.
证明　如图，以B为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立坐标系xOy，设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(－a，0)，C(c，0)，
所以AE＝CD.
14.已知两点A(2，3)，B(4，1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋PB的
最小值为________，PA－PB的最大值为________________.
解析　如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，
此时PA－PB＝AB.
本节内容结束1.5　平面上的距离
1.5.1　平面上两点间的距离
课标要求
素养要求
理解两点间的距离公式，并能进行简单的应用.
通过学习本节内容提升学生的数学运算的核心素养.
自主梳理
1.两点间的距离公式
平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝.特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|.
2.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.(×)
提示　无关.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.
(2)式子的几何意义是平面上的点(x，y)到原点的距离.(√)
(3)当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在同一坐标轴上时，两点间的距离公式不适用了.(×)
提示　适用.当两点都在x轴上时，AB＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，AB＝|y1－y2|.
2.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(　　)
A.5
B.2
C.5
D.10
答案　C
解析　∵点A关于x轴的对称点为
A′(－3，－5)，
∴A′B＝＝5，
由光的反射理论可知，
此即为光线从A到B的距离.
3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为(　　)
A.
B.
C.3
D.2
答案　D
解析　由两点间的距离公式，
得AC＝＝4，
CB＝＝2，故＝＝2.
4.过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.
答案　
解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝＝.
题型一　两点间距离公式的应用
【例1】　(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使PA＝PB，并求PA的值；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.
解　(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
PA＝＝，
PB＝＝.
由PA＝PB，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
PA＝＝.
(2)法一　∵AB＝
＝2，
AC＝＝2，
又BC＝＝2，
∴AB2＋AC2＝BC2，
且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又AC＝＝2，
AB＝＝2，
∴AC＝AB.
∴△ABC是等腰直角三角形.
思维升华　平面上两点间的距离公式的应用类型
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【训练1】　(1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.
(2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形.
(1)解　设点P的坐标为(x，0)，由PA＝10，
得＝10，解得：x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
(2)证明　∵AB＝＝2，
AC＝＝2，
BC＝＝2，
∴AC＝BC.
又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形.
题型二　坐标法的应用
【例2】　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则AB＝c.
又由中点坐标公式，
得D，E，
∴DE＝＝||，
∴DE＝AB，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
思维升华　用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.
【训练2】　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：AC＝BD.
证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
∴AC＝＝，
BD＝＝.
故AC＝BD.
1.牢记1个公式
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
P1P2＝.
2.掌握1种方法
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤
→→
一、选择题
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为(　　)
A.10
B.5
C.8
D.6
答案　A
解析　设A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝＝10.
2.以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
答案　C
解析　∵AB＝＝＝
＝2，
BC＝＝＝＝4，
AC＝＝＝2，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形.故选C.
3.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A.2
B.4
C.5
D.
答案　D
解析　根据中点坐标公式得＝1且＝y，
解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，
则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得AB＝.
5.已知平面上两点A(x，－x)，B，则AB的最小值为(　　)
A.3
B.
C.2
D.
答案　D
解析　∵AB＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，
∴ABmin＝.
二、填空题
6.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB等于________.
答案　2
解析　设A(x，0)，B(0，y)，
∵AB的中点为P(2，－1)，
∴＝2，＝－1，
∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，
∴AB＝＝2.
7.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是________.
答案　
解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝，
∴最小值为＝.
8.已知△ABC的三顶点A(3，8)，B(－11，3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________.
答案　
解析　由两点间距离公式得AB＝，BC＝，AC＝.∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D为BC的中点，
由中点坐标公式易得
D.
∴AD＝＝.
三、解答题
9.已知△ABC的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C，试判断△ABC的形状.
解　因为BC＝＝＝1，
AB＝2，AC＝＝，
有AC2＋BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形.
10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得即B.
由AB＝＝5，
解得k＝－，
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1，
此时，与l1的交点为(1，4)也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　)
A.5
B.
C.
D.2＋
答案　B
解析　f(x)＝＋＝＋，
表示平面上点M(x，0)与点A(－5，2)，B(－3，－3)的距离和，连接AB，与x轴交于点M(x，0)，
∴f(x)的最小值为＝，故选B.
12.已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg
x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________.
答案　
解析　易知A(0，1)，B(1，0)，
所以直线AB的方程为y＝1－x，
点P在直线AB上移动，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0，
又知点Q(0，－2)，
则PQ＝＝eq
\r(x＋（3－x0）2)
＝≥＝(当且仅当x0＝时等号成立)，
故PQ的最小值为.
13.如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明：AE＝CD.
证明　如图，以B为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立坐标系xOy，设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(－a，0)，C(c，0)，
E，D，
由距离公式，得
AE＝＝，
CD＝＝，
所以AE＝CD.
14.已知两点A(2，3)，B(4，1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋PB的最小值为________，PA－PB的最大值为________________.
答案　　2
解析　如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1).
则有
解得故A′.
由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，故PA＋PB的最小值为A′B＝＝.
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，此时PA－PB＝AB.
故PA－PB的最大值为AB＝
＝2.

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