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2.2　直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题.
课标要求
素养要求
通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
直线与圆的位置关系及判断
(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)
2
1
0
<
=
>
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
——个
————个
————个
判
定
方
法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d
r
d
r
d
r
代数法：由消元得到一元二次
方程根的判别式Δ
Δ
0
Δ
0
Δ
0
图形
<
=
>
1.思考辨析，判断正误
×
提示　直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.
√
×
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(
)
(2)直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.(
)
(3)若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a等于4.(
)
(4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线方程与圆的方程联立消元后的一元二次方程无解.(
)
√
2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
B
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，∴选B.
3.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A.5
B.4
C.3
D.2
C
解析　由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，
即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　直线与圆位置关系的判定
【例1】　已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，　③
方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
∴b>2或b<－2.
综上，当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
特别提醒　利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.
思维升华
【训练1】　a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：
(1)相交；
解　法一(代数法)
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90
000＞0，得－50＜a＜50；
【训练1】　a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：
(2)相切；(3)相离？
解
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，
即a＜－50或a＞50.
法二(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
(1)当直线和圆相交时，d＜r，
(2)当直线和圆相切时，d＝r，
(3)当直线和圆相离时，d＞r，
【例2】　过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程.
题型二　直线与圆相切的有关问题
解　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
【迁移1】　若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？
解　由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，
∴切线方程为y＝－2.
【迁移2】　若例2中的条件不变，如何求其切线长？
解　由题知，设切线长为d，
1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.
2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条.
思维升华
【训练2】　(1)圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　)
C
∴点P在圆上.∴P为切点.
(2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.
8
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当OP达到最小，
题型三　直线与圆相交的有关问题
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
思维升华
图1
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，
设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
图2
其中k为直线l的斜率.
【训练3】　(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解析　设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析　设圆的半径为r，由条件，
1.牢记1个知识点
直线与圆的位置关系
2.重点掌握3种规律方法
(1)直线与圆位置关系的判断方法.
(2)求圆的切线方程的方法.
(3)求直线与圆相交时弦长的方法.
3.注意1个易错点
在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
B
解析　∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
2.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，若弦AB的中点为
C(－2，3)，则直线l的方程为(　　)
A.x－y＋5＝0
B.x＋y－1＝0
C.x－y－5＝0
D.x＋y－3＝0
A
解析　由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2).
故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
3.若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
D
AC
5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B
二、填空题
6.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________.
解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
7.直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________.
解析　x2＋y2－4x－4y－1＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.
8.圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为________，最小弦长为________.
10
解析　圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即最大值为10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，
三、解答题
9.已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
解　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆.
解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.
10.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
证明　l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
即l恒过定点A(3，1).
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
C
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析　由x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
12.(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是(　　)
CD
解析　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
13.圆C与直线2x＋y－5＝0相切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
解　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
14.过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________.
4
解析　圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，
本节内容结束2.2　直线与圆的位置关系
课标要求
素养要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题.
通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
直线与圆的位置关系及判断
(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
dd＝r
d>r
代数法：由消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.(×)
提示　直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切.
(2)直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心.(√)
(3)若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a>0)相切，则a等于4.(×)
提示　若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即＝，解之得a＝2.
(4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线方程与圆的方程联立消元后的一元二次方程无解.(√)
2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
答案　B
解析　圆心到直线的距离d＝＝<1，
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，∴选B.
3.已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案　C
解析　由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解之得a＝3.
4.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________.
答案　x－y＋2＝0
解析　由题意点P在圆上且P为切点.∵点P与圆心(2，0)连线的斜率为＝－，
∴切线的斜率为，∴切线方程为y－＝(x－1)，
即x－y＋2＝0.
题型一　直线与圆位置关系的判定
【例1】　已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
解　法一　直线与圆的位置关系问题可转化为方程组
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，　③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
法二　圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.
当d当d＝r，即＝时，直线与圆相切，∴b＝±2.
当d>r，即>时，直线与圆相离，∴b>2或b<－2.
综上，当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
思维升华　判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
特别提醒　利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.
【训练1】　a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？
解　法一(代数法)
由方程组
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90
000＞0，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，
即a＜－50或a＞50.
法二(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
(1)当直线和圆相交时，d＜r，
即＜10，得－50＜a＜50；
(2)当直线和圆相切时，d＝r，
即＝10，得a＝50或a＝－50；
(3)当直线和圆相离时，d＞r，
即＞10，得a＜－50或a＞50.
题型二　直线与圆相切的有关问题
【例2】　过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程.
解　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是
y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
由于直线与圆相切，故＝1，解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
【迁移1】　若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？
解　由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，
设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.
【迁移2】　若例2中的条件不变，如何求其切线长？
解　由题知，设切线长为d，
d＝＝＝7.
思维升华　1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.
2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【训练2】　(1)圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　)
A.x＋y－2＝0
B.x＋y－4＝0
C.x－y－4＝0
D.x－y＋2＝0
(2)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________.
答案　(1)C　(2)8
解析　(1)∵()2＋(－1)2＝4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为－，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0.
(2)如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，
又OA⊥AP，
所以S四边形PAOB＝2×OA·PA
＝2＝2.
为使四边形PAOB面积最小，当且仅当OP达到最小，
又OP的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，即OPmin＝＝2，
故所求最小值为2＝8.
题型三　直线与圆相交的有关问题
【例3】　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
解　法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解.
解这个方程组，得或
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)，
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.
法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，
又OM＝＝，
所以AB＝2AM＝2
＝2＝2.
思维升华　求直线与圆相交时弦长的两种方法：
图1
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有＋d2＝r2，
即AB＝2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
图2
则AB＝
＝|x1－x2|
＝
|y1－y2|(k≠0)，
其中k为直线l的斜率.
【训练3】　(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________________.
答案　(1)2　(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析　(1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
∵CA＝＝，
∴半弦长为＝＝.
∴最短弦的长为2.
(2)设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝.
又由题意知，半弦长为，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
1.牢记1个知识点
直线与圆的位置关系
2.重点掌握3种规律方法
(1)直线与圆位置关系的判断方法.
(2)求圆的切线方程的方法.
(3)求直线与圆相交时弦长的方法.
3.注意1个易错点
在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况.
一、选择题
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
答案　B
解析　∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交.
2.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为(　　)
A.x－y＋5＝0
B.x＋y－1＝0
C.x－y－5＝0
D.x＋y－3＝0
答案　A
解析　由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2).由圆的性质易知，点M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1，又kMC＝＝－1，∴kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
3.若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A.
B.1
C.
D.
答案　D
解析　∵a2＋b2＝2c2，∴圆心到直线的距离d＝＝.设弦长为l，则l＝2＝.
4.(多选题)方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值可以是(　　)
A.k＝±
B.k＝±2
C.k<－2或k>2
D.k<－3或k>3
答案　AC
解析　由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得k<－2或k>2或k＝±.故选AC.
5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案　B
解析　由x－y＝0与x－y－4＝0都与圆相切，且直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，知圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上.由得圆心C(1，－1).又因为两平行线间距离d＝＝2，所以所求圆的半径长r＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
二、填空题
6.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________.
答案　－
解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得k＝－.
7.直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________.
答案　2
解析　x2＋y2－4x－4y－1＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是＝，
故弦长的一半是＝，
所以弦长为2.
8.圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为________，最小弦长为________.
答案　10　2
解析　圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即最大值为10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，
此时弦心距d＝＝3，
所以最小弦长为2＝2＝2.
三、解答题
9.已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
解　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆.
(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.
10.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，由解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，AC＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
11.在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案　C
解析　由x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，故圆心为(－1，－2)，半径r＝2，从而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意.
12.(多选题)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是(　　)
A.2x＋y＋＝0
B.2x＋y－＝0
C.2x＋y＋5＝0
D.2x＋y－5＝0
答案　CD
解析　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
13.圆C与直线2x＋y－5＝0相切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
解　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
所以2r＝＝4.
所以r＝2.
所以＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10；①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10.②
又因为过圆心和切点的直线与切线垂直，
所以＝.③
联立①②③，解得
故所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
14.过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________.
答案　4
解析　圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，
示意图如图所示.则圆心为O′(3，4)，r＝.切线长OP＝＝2.
∴PQ＝2·＝2×＝4.

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