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(共46张PPT)
第
2章
2.1
圆的方程
第一课时　圆的标准方程
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.能准确判断点与圆的位置关系.
课标要求
素养要求
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.圆的定义及标准方程
///////
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.其中定点就是圆心；定长就是半径.
(2)圆的标准方程
x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径
r(r>0)
r(r>0)
标准方程
————————
————————————?
点睛
2.点与圆的位置关系
d＞r
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
d＝r
d＜r
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
————
————
————
自主检验
1.思考辨析，判断正误
×
///////
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(
)
提示　当m＝0时，该方程表示点(a，b).
√
×
×
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(
)
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(
)
提示　圆心坐标为(－1，－2)，半径为2.
(4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(
)
提示　把(0，0)代入圆的方程，得(－1)2＋(－2)2>1，则点(0，0)在圆外.
2.经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是(　　)
B
3.点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为(　　)
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.无法确定
B
∴点P在圆内.
在圆外
4.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
∵m4≥0，
∴点P在圆外.
解析　由圆的方程x2＋y2＝24，得
课堂互动
题型剖析
2
题型一　求圆的标准方程
///////
角度1　直接法求圆的标准方程
【例1】　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
解
设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，
∴C(2，0)，
(x－2)2＋y2＝9
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
角度2　待定系数法求圆的标准方程
解　法一(待定系数法)
【例2】　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
解
法二
(直接法)
由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.
即圆心坐标为(4，－3)，
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
1.用直接法求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
思维升华
【训练1】　求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；
解　圆心为C(4，－1)，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.
解
设圆心为M(a，0)，∵MC＝MD，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
【例3】　已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
题型二　点与圆的位置关系的判断
///////
解　由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
思维升华
A.点P在圆C内
B.点P在圆C外
C.点P在圆C上
D.无法确定
A
【例4】　如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2
m时，
水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽多少米？
(结果保留两位小数)
题型三　圆的方程的实际应用
///////
解　以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).
设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，
将A(6，－2)代入方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1
m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0).
本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决.一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.
思维升华
【训练3】　一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过多少米？(结果保留一位小数)
解　建立如图所示的平面直角坐标系.设蓬顶距地面高度为h，
则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62.
把A(0.8，h－3.6)代入，得0.82＋h2＝3.62.
因此这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过3.5米.
1.牢记2个知识点
(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)求圆的标准方程的方法.
(2)判断点与圆的位置关系的方法.
3.注意1个易错点
本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
C
2.圆心是C(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(　　)
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D
解析　将C(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得.
3.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0
B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0
D.x－y＋3＝0
D
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式，得直线l的方程为y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
解析　圆的圆心为(－a，－b).
∵直线经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，
∴圆心在第四象限.
5.点(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(　　)
D
二、填空题
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是______________.
(x－2)2＋y2＝25
即(2，0)，则圆心为(2，0).故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是____________________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析　圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为
＋1.
三、解答题
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.
解　法一　设点C为圆心，
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).
又∵该圆经过A，B两点，∴CA＝CB.
解得a＝－2.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
10.等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程.
能力提升
///////
1
27
12.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为________________________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为________________.
(x＋2)2＋(y－2)2＝4
解析　由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，
所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
x2＋y2＝4
设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b).
故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2.
所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
13.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4).
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
解　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
本节内容结束第2章　圆与方程
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
圆的历史
古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
墨子
18
000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.6
000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在6
000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.约在4
000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子.
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2
000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥，距今已有1
400年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37
m，宽9
m，拱矢高度7.24
m，赵州桥是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥.
2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直线，太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识.
3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经
过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题吗？
问题1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有关的应用有哪些？
问题2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？
问题3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？
链接：圆在桥上的应用只是解析几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论日常生活还是航天技术的运用，用到解析几何知识的地方还很多，而测量比萨斜塔的倾斜程度，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是解析几何的一部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习解析几何知识吧！
2.1　圆的方程
第一课时　圆的标准方程
课标要求
素养要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.圆的定义及标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.其中定点就是圆心；定长就是半径.
(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径
r(r>0)
r(r>0)
标准方程
x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径.
2.点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大
小关系
d＞r
d＝r
d＜r
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(×)
提示　当m＝0时，该方程表示点(a，b).
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(√)
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(×)
提示　圆心坐标为(－1，－2)，半径为2.
(4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(×)
提示　把(0，0)代入圆的方程，得(－1)2＋(－2)2>1，则点(0，0)在圆外.
2.经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝
D.(x－1)2＋(y－1)2＝
答案　B
解析　圆的半径长r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为(　　)
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.无法确定
答案　B
解析　∵PA＝＝<5，∴点P在圆内.
4.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
答案　在圆外
解析　由圆的方程x2＋y2＝24，得
圆心为原点O(0，0)，半径r＝2.
点P与圆心O的距离d＝＝.
∵m4≥0，
∴>2.
∴点P在圆外.
题型一　求圆的标准方程
角度1　直接法求圆的标准方程
【例1】　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________.
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________.
答案　(1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25　(2)(x－2)2＋y2＝9
解析　(1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，
由题意知，＝，解得a＝2，
∴C(2，0)，
则圆C的半径为r＝CM＝＝3.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
角度2　待定系数法求圆的标准方程
【例2】　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解　法一(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(直接法)
由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
思维升华　1.用直接法求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
【训练1】　求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程.
解　(1)圆心为C(4，－1)，
半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)设圆心为C(0，b)，∴r＝＝5，
∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)设圆心为M(a，0)，∵MC＝MD，
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝MC＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
题型二　点与圆的位置关系的判断
【例3】　已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解　由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
思维升华　判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
【训练2】　已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A.点P在圆C内
B.点P在圆C外
C.点P在圆C上
D.无法确定
答案　A
解析　由题意，a＋b＝1，ab＝－，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
∴点P在圆C内，故选A.
题型三　圆的方程的实际应用
【例4】　如图所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2
m时，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽多少米？(结果保留两位小数)
解　以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).
设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，
将A(6，－2)代入方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1
m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0).
将A′(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝，
∴水面下降1
m，水面宽为2x0＝2≈14.28(m).
思维升华　本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决.一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.
【训练3】　一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过多少米？(结果保留一位小数)
解　建立如图所示的平面直角坐标系.设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62.把A(0.8，h－3.6)代入，得0.82＋h2＝3.62.
∴h＝4≈3.5(米).
因此这辆卡车的蓬顶距地面的高度不得超过3.5米.
1.牢记2个知识点
(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握2种方法
(1)求圆的标准方程的方法.
(2)判断点与圆的位置关系的方法.
3.注意1个易错点
本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解.
一、选择题
1.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　)
A.(1，)
B.(－1，)
C.(1，－)
D.(－1，－)
答案　C
解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－).
2.圆心是C(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(　　)
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
答案　D
解析　将C(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得.
3.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0
B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0
D.x－y＋3＝0
答案　D
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式，得直线l的方程为y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
4.若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案　D
解析　圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圆心在第四象限.
5.点(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，1)
B.
C.
D.
答案　D
解析　依题意有(5a)2＋144a2<1，得169a2<1，所以a2<，即－二、填空题
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________.
答案　(x－2)2＋y2＝25
解析　AB＝＝10，则r＝5，AB的中点坐标为，即(2，0)，则圆心为(2，0).故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是________.
答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析　圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
答案　＋1
解析　圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1.
三、解答题
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.
解　法一　设点C为圆心，
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).
又∵该圆经过A，B两点，∴CA＝CB.
∴＝，
解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知解得
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
10.等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圆的方程.
解　(1)当点A的坐标是(0，4)时(如图①)，kAB＝，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y－2＝－，即y＝－x＋.
令x＝0，则y＝.
所以圆心的坐标是，半径长为4－＝，
此时所求外接圆的方程是x2＋＝.
(2)当点A的坐标是(0，－4)时(如图②)，kAB＝－，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y＋2＝，即y＝x－.
令x＝0，则y＝－.所以圆心的坐标是，半径长为4－＝，此时所求外接圆的方程是x2＋＝.综上，所求外接圆的方程是x2＋＝或x2＋＝.
11.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则的最小值为________，最大值为________.
答案　1　27
解析　由几何意义可知最小值为14－＝1，最大值为14＋＝27.
12.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切，则圆C的标准方程为________；与圆C关于直线x－y＋2＝0对称的圆的方程为________.
答案　(x＋2)2＋(y－2)2＝4　x2＋y2＝4
解析　由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2，2)，半径为2，
所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
设(－2，2)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b).
则有解得
故所求圆的圆心为(0，0)，半径为2.
所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝4.
13.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4).
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
解　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
即以线段AB的中点(0，1)为圆心，r＝AB＝为半径.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1，1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由
解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝AM＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(共50张PPT)
第二课时　圆的一般方程
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.
课标要求
素养要求
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.圆的一般方程的定义
///////
D2＋E2－4F>0
D2＋E2－4F<0
(1)当________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为___________，半径为______________.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点__________.
(3)当_______________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
点睛
圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.
(3)
2.点与圆的位置关系
>
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
＝
<
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F
0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F
0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F
0
自主检验
1.思考辨析，判断正误
√
///////
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(
)
×
√
√
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(
)
提示　当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(
)
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.(
)
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3)
B.(－2，3)
C.(－2，－3)
D.(2，－3)
D
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
D
4
4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　圆的一般方程的概念
///////
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解　由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，
思维升华　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数为1.
思维升华
【训练1】　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半
径分别为_________________；
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
9π
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴该圆的面积为9π.
【例2】　已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5).
题型二　圆的一般方程的求法
///////
(1)求这个三角形外接圆的一般方程；
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系.
解　(1)法一　设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵此圆过A，B，C三点，
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
联立解得圆心坐标为(－2，2).
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)∵M(1，2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1，2)在圆内.
∵N(4，5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4，5)在圆外.
∵Q(2，3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2，3)在圆外.
本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程.
思维升华
【训练2】　已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，
故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
角度1　直接法求轨迹方程
题型三　求动点的轨迹方程
///////
解　设点M的坐标是(x，y)，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度2　代入法求轨迹方程
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
【例4】　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
角度3　定义法求动点的轨迹方程
【例5】　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3，且x≠－1.
法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
思维升华
特别提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
【训练3】　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
1.牢记2个知识点
(1)圆的一般方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握3种方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法.
(2)待定系数法求圆的方程.
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤.
3.注意1个易错点
易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
///////
一、选择题
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
C
解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
D
3.(多选题)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定经过(　
　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
ABC
C
A.x2＋y2－2x＋4y＝0
B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0
D.x2＋y2－2x－4y＝0
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
解得－4故该圆的圆心在第四象限.
二、填空题
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是______________.
(－∞，－13)
解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，
解得m＜－13.
故m＜－13.
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为____________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
三、解答题
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，
∵A(12，0)，M为PA的中点，
∴P(2x－12，2y).
∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，
∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.
故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
解　法一　设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①
将P，Q的坐标分别代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
故所求圆的方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为(a，a－1)，
并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.
故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
能力提升
///////
AC
A.D＝2
B.D＝－2
C.E＝－4
D.E＝4
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是______________；最长弦所在直线的方程为____________.
x＋y－1＝0
x－y－1＝0
13.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作?MONP，求点P的轨迹方程.
解　如图所示，
因为平行四边形的对角线互相平分，
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
14.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
B
本节内容结束第二课时　圆的一般方程
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
自主梳理
1.圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.
(3)
2.点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√)
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(×)
提示　当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.(√)
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3)
B.(－2，3)
C.(－2，－3)
D.(2，－3)
答案　D
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
答案　D
4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
答案　4
解析　由题意，得解得
题型一　圆的一般方程的概念
【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解　由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，
解得m<，故实数m的取值范围为.
圆心坐标为(－m，1)，半径为.
思维升华　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数为1.
【训练1】　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
答案　(1)，　(2)9π
解析　(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为＋＝，
故圆心坐标为，半径为.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
题型二　圆的一般方程的求法
【例2】　已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5).
(1)求这个三角形外接圆的一般方程；
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系.
解　(1)法一　设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵此圆过A，B，C三点，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
②－①，③－①得
解得
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法三　AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，
BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2，2).
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法四　由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，
∴kAB·kAC＝－1，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
半径r＝BC＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)∵M(1，2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1，2)在圆内.
∵N(4，5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4，5)在圆外.
∵Q(2，3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2，3)在圆外.
思维升华　本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程.
【训练2】　已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
题型三　求动点的轨迹方程
角度1　直接法求轨迹方程
【例3】　求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程.
解　设点M的坐标是(x，y)，
则＝.∴＝.
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度2　代入法求轨迹方程
【例4】　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
则∴
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
角度3　定义法求动点的轨迹方程
【例5】　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由直角三角形的性质，知CD＝AB＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
思维升华　求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
特别提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
【训练3】　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∴①
∵AD＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.牢记2个知识点
(1)圆的一般方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.重点掌握3种方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法.
(2)待定系数法求圆的方程.
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤.
3.注意1个易错点
易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.
一、选择题
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
答案　C
解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　若方程表示圆，则1＋1－4k>0，∴k<.
3.(多选题)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定经过(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案　ABC
解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，则a<0，b>0.直线x＋ay＋b＝0化为y＝－x－，则斜率k＝－>0，在y轴上的截距－>0，所以直线一定经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
4.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x＋4y＝0
B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0
D.x2＋y2－2x－4y＝0
答案　C
解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1，2).
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案　D
解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为＋(y－a)2＝－a2－3a，故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
由r2>0，即－a2－3a>0，
解得－4故该圆的圆心在第四象限.
二、填空题
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________.
答案　(－∞，－13)
解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，
解得m＜－13.
又由4＋9－4m＞0，得m＜.
故m＜－13.
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为________.
答案　x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
8.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________________.
答案　(－∞，－3]∪
解析　由y＝得(x－1)2＋y2＝9(y≥0)，它表示以(1，0)为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆(含x轴)，故t可以看作半圆上的动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A(－1，－3)，B(4，0)，C(－2，0)，
则kAB＝，kAC＝－3，
∴t≤－3或t≥.
三、解答题
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，
∵A(12，0)，M为PA的中点，
∴P(2x－12，2y).
∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，
∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.
故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
10.已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.
解　法一　设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①
将P，Q的坐标分别代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根.
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或
故所求圆的方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为(a，a－1)，
又圆C的半径r＝CP＝
.②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
故r2＝a2＋，代入②并将两端平方，
并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.
∴当圆心为(1，0)时，半径r1＝；当圆心为(5，4)时，半径r2＝.
故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
11.(多选题)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则(　　)
A.D＝2
B.D＝－2
C.E＝－4
D.E＝4
答案　AC
解析　圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0，
所以
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.
答案　x＋y－1＝0　x－y－1＝0
解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.由于直线过圆心C(2，1)时弦最长，此弦所在的直线方程为y－0＝x－1，即为x－y－1＝0.
13.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作?MONP，求点P的轨迹方程.
解　如图所示，
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
则即N(x＋3，y－4).
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.
14.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
A.
B.5
C.2
D.10
答案　B
解析　由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0知圆心为M(－2，－1).由题意知直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.

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