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第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.2
相交平面
初中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P6－P8的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解三个公理及其推论；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；
2、用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理3
文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.
符号表示：A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
【说明】1、公理3可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”；2、过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示；3、如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有：；4、如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面；
4、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
符号表示：A?l?存在唯一的平面α，使A∈α，且l?α
图形表示：
【说明】（1）这是由公理3与公理1得到的，
如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.
由公理2可知，确定一个平面，记为，由公理以及可知.
（2）推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
符号表示：l∩m＝A?存在唯一的平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
推论3：
文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面
符号表示：l∥m?存在唯一的平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【说明】（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”；（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的；（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立；
公理2
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
图形表示：
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
【说明】1、公理2说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
2、在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
3、根据公理2可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分；
【自我尝试】
1、已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条
B．2条或3条
C．1条或3条
D．1条或2条或3条
1、【答案】　D
【解析】　当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；
2、设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
2、【答案】
【分析】根据点、线、面的位置关系可得结果.
【解析】∵a∩b＝M，所以，
因为，所以，因为，所以.故答案为：
3、平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面.
【解析】　(1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；
(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
【答案】　1或4
4、在正方体中，
（1）平面平面_______；
（2）平面平面________.
【答案】；；
【解析】
由图可知，（1）平面平面，
（2）平面平面
AC
【题型探究】
题型一、平面的基本性质的应用
例1、如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由；
（1）直线AC1在平面CC1B1B内；
（2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，
则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
（3）由点A、D、C可以确定一个平面；
（4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1；
（5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面；
【提示】注意理解三个公理及其推论；
【解析】（1）错误．因为点A平面CC1B1B，所以AC1不在平面CC1B1B内．
（2）正确．因为点O∈直线AC，直线AC平面AA1C1C，所以点O∈平面AA1C1C．同理，点O1∈平面AA1C1C，所以直线OO1平面AA1C1C．同理，直线OO1平面BB1D1D．故OO1为平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线；
（3）错误．因为点A、O、C在同一直线上，故不能确定—个平面；
（4）正确．因为点A、C1、B1不共线，故可确定一个平面，又AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1，故由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1；
（5）正确．因为点A、C1、B1确定的平面为平面ADC1B1，而由点A、C1、D确定的平面也是平面ADC1B1，故它们确定的是同一个平面；
【方法归纳】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据；
题型二、画平面与平面的交线（以后称：截面）
例2、（1）若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，
试画出平面ABC与平面α，β的交线.
【提示】注意先确定平面然后利用公理3；
【解析】∵若α∩β＝l，A，B∈α，∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
（2）如图，在长方体中，
找出下列各对平面的交线：
（1）平面与平面犃犃１犅１犅；
（2）平面与平面；
（3）平面与平面；
（4）平面与平面；
【提示】注意先确定平面然后利用公理3；
【答案】（1）棱所在直线；
（2）对角线所在直线；
（3）不妨设与交点为，上底面同理，连接所在直线；
（4）所在直线；
题型三、公理及其推论的综合应用
例3、如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，
AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；
【提示】注意理解三个公理及其推论的图形特征与符号表示
【解析】（1）如图，连接B1D1.
∵EF是D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
（2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵QA1C1，∴Qα.又QEF，∴Qβ.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴RA1C.
∴Rα，且Rβ，则RPQ.
故P，Q，R三点共线．
例4、定义：四个点不同在一个平面内的四边形，称作：空间四边形；
如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，
且，.
（1）证明：E，F，G，H四点共面.
（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
【答案】（1）见解析（2）当时，四边形EFGH是平行四边形.
【解析】（1）证明：连接BD
因为,所以
又，所以
所以，所以E,F,G,H四点共面；
（2）当时,四边形EFGH为平行四边形
由（1）可知
因为
所以
同理可得
由，可得，得
故当时,四边形EFGH是平行四边形。
【方法归纳】证明点、线共面问题的常用方法：（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”；
【素养提升】
1、三个公理的作用
公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据。
2、点共线与线共点的证明方法
（1）点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上；
（2）三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【类比】线共面与面共线。
易错防范：
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，
则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由点A，O，C可以确定一个平面；
(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上．
【解析】　
(1)错误．若AC1?平面CC1B1B，又BC?平面CC1B1B，
则A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，
所以AB?平面CC1B1B，与AB?平面CC1B1B矛盾，故(1)中说法错误．
(2)正确．因为O，O1是两平面的两个公共点，
所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)错误．因为A，O，C三点共线，所以不能确定一个平面．
(4)正确．因为A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可以确定平面α，又四边形AB1C1D为平行四边形，AC1，B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α，所以B1O2?α，又D∈B1O2，所以D∈α.
(5)正确．若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上．
【错因与提醒】判断直线与平面的位置关系时，忽视“直线在平面内”。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、以下不属于公理的是（
）
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
D．平行于同一条直线的两条直线平行
1、【答案】C
【分析】利用平面的公理直接判断求解．
【详解】解：在中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故是公理；
在中，由公理二得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确；
在中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故是定理，不是公理；
在中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故是公理；
故选：C
2、下列叙述错误的是（
）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
2、【答案】C
【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．
【详解】选项，点在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
故选：C
3、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，
直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(
)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
3、【答案】A
【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
故选：A．
4、已知表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理错误的是______(填序号).
①,,,;
②,,,;
③,.
4、【答案】③
【分析】根据如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内，可判断①；根据两点确定一条直线和平面交线的知识，可判断②；根据两平面相交为直线可判断③；
【详解】解:
①为判断直线在平面内的依据,故正确;
②为判断两个平面相交的依据,故正确;
③中,,则,即为经过点A的一条直线而不是点A,故错误.
故答案为：③
【点睛】本题考查了直线在平面内的判定以及两平面相交为直线；
5、用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线经过平面外的一点M；
（3）直线既在平面内，又在平面内.
5、【答案】（1），如图.（2），如图.（3），如图.
【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.
【详解】（1），
如图：
（2），
如图：
（3）或，
如图：
【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.
B级：“四能”提升训练
6、在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（
）
A．点必在直线上
B．点必在直线上
C．点必在平面内
D．点必在平面内
6、【答案】A
【解析】∵在面上，而在面上，
且、能相交于点，∴在面与面的交线上，
∵是面与面的交线，所以点必在直线上．故选：A．
7、在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（
）
A．B．C．
D．
7、【答案】B
【分析】选项A、B、C中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B通过证明两直线平行，从而判断四点共面.
【详解】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，
而点不在直线上，故，，，不共面，
选项A错误；
选项B，连接底面对角线，则由中位线定理可知，，又易知，则，
故，，，共面，选项B正确；
选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故故，，，不共面，选项C错误；
选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故，，，四点不共面，
选项D错误.
【点睛】
方法点睛：判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；
（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.
8、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.
8、解析　因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，
平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
答案　P∈直线DE
9、若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
证明　∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB?β，
∴O∈β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
10、如图所示的正方体中，E是棱上的一点，
试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.。
【解析】因为面，面ABCD
所以面，即面与面相交。
延长与，设它们相交于F，如图所示，则：
直线，直线面，
直线，直线面，
则面面，从而为面与面的交线，如图所示.
【变式练习】如图所示，在正方体中．
画出平面与平面及平面与平面的交线．
【解析】如图，∵，，
∴平面，平面．
又平面，平面．
∴平面
平面．
同理平面平面．
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第3页
普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】第10章
空间直线与平面
10.1
平面及其基本性质
10.1.1
空间的点、直线与平面（2）
中学面几何，研究的是平面上一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质；
从平面几何到立体几何，既要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，但更重要地，要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，不仅平面作为一类典型的空间图形要开始进行充分地研究，而且空间两条直线之间的位置关系，除了平行与相交，还有既不相交、也不平行的情况，从而出现了异面直线这种更为复杂的研究对象；这些都是和平面几何情况大不相同的，也使立体几何的内涵格外丰富多彩。
【学习目标】
学习目标
学科素养
1、借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；(重点)2、会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系；(易错点)3、能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理及其推论，理解三个公理的地位与作用；(重点、难点)
1、数学抽象：平面的概念；2、逻辑推理：三个公理及其推论；3、数学运算：点、直线、平面的关系；4、直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
【自主学习】
问题导学：预习教材P4－P6的内容，思考以下问题：
1、知道平面的概念；2、会点、线、面位置关系的符号表示；3、理解公理2及其推论；
【知识梳理】
1、平面的概念及表示
（1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的；
（2）平面的表示方法
①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)；
②字母表示：平面通常用平面α，β，γ，…表示，平面ABCD；也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，平面AC或平面BD.
用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ.
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD.
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD.
【说明】（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°
，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面；
2、直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l；
2、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
3、平面的基本性质
公理1
文字表示：如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
符号表示：A∈α，B∈α?AB?α；
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
【说明】（1）1、公理1可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上；（2）用来证明或判断直线在平面内时，注意根据题设；如：
公理2
文字表示：不在
的三点确定一个平面。
符号表示：A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α使A，B，C∈α
图形表示：
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
4、由三个公理得到的三个推论
推论1：
文字表示：一条
和这条
确定一个平面；
符号表示：A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，且l?α
图形表示：
推论2：
文字表示：两条
直线确定一个平面；
符号表示：l∩m＝A?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
推论3：
文字表示：两条
确定一个平面；
符号表示：l∥m?有且只有一个平面α，使l?α，且m?α；
图形表示：
【自我尝试】
1、判断下列命题的真假。（真：用“√”；假：用“×”）
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点；（
）
（3）如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合；（
）
2、已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a?α，则A?α；
②若A∈α，a?α，则A∈a；
③若A?a，a?α，则A?α；
④若A∈a，a?α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
3、下列说法不正确的是(　　)
A．三角形是平面图形
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．平行四边形是平面图形
D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立
4、设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
【题型探究】
题型一、点、线共面问题
例1、如图所示，直线l1∩直线l2＝点A，直线l2∩直线l3＝点B，直线l1∩直线l3＝点C；
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内；
例2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，
直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线；
题型二、微专题点共线、线共点、面共线问题
注意避免：
探究1、线共点问题
例3、如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的
棱AB，BC，CC1，C1D1的中点；求证：FE，HG，DC三线共点。
探究2、点共线问题
例4、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线。
探究3、面共线问题
例5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由；
【素养提升】
1、三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。
2、证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理2.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
3、证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点，
常结合公理2，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明
三线共点；
4、证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合；
易错防范：
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面；
因为，A，B，C，D共面，所以，点A在B，C，D所确定的平面内；
因为，B，C，D，E共面，所以，点E在B，C，D所确定的平面内；
所以，点A、E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、判断下列命题的真假(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）三点可以确定一个平面；（
）
（2）一条直线和一个点可以确定一个平面；（
）
（3）四边形是平面图形；（
）
（4）两条相交直线可以确定一个平面；（
）
2、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（
）
A．黑板面　
B．乒乓球桌面
C．篮球的表面
D．平静的水面
3、若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)
4、如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
5、如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上；
B级：“四能”提升训练
6、经过空间任意三点作平面（
）
A．只有一个
B．可作二个
C．可作无数多个
D．只有一个或有无数多个
7、A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β
＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
D．l?α，A∈l?A?α
8、下列命题中正确的是(　　)
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
9、如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；
求证：PQ?α.
10、已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
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普通高中教科书
数学
必修
第三册（上海教育出版社）【2020年12月底1版第次】

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