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(共49张PPT)
4.2.3　等差数列的前n项和
第一课时　等差数列的前n项和公式及
相关性质
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式及相关性质，并能解决有关问题.
2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
课标要求
素养要求
在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.数列{an}的前n项和
一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.
2.等差数列的前n项和公式
(1)等差数列的前n项和公式
2.等差数列的前n项和公式
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.(
)
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.(
)
提示　当an＝0时，Sn＝an.
(3)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(
)
提示　当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.
×
×
√
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)
A.n
B.n2
C.2n＋1
D.2n－1
D
解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又因a1＝1适合an＝2n－1，
所以，an＝2n－1.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
C
12
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
解析　因为
S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】　在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
解　法一　由已知条件得
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值.
思维升华
(2)利用等差数列的性质解题.
思维升华
【训练1】　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2
018，S6－2S3＝18，则S2
020＝(　　)
A.－2
018
B.2
018
C.2
019
D.2
020
D
解析　设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝－2
018，S6－2S3＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2.
(2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7
B.a8
C.S15
D.S16
BC
解
由a1＋a15＝2a8，故由a1＋a8＋a15是定值可得a8是定值，
故S15为定值，故选BC.
【例2】　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
题型二　等差数列前n项和性质的应用
解　
法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
思维升华
【训练2】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)
A.36
B.18
C.72
D.9
A
解
由等差数列前n项和的性质，得
C
【例3】　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
题型三　求数列{|an|}的前n项和
解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点.
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.
思维升华
【训练3】　已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
课堂小结
2.掌握3种方法
(1)等差数列中基本计算的两个技巧.
(2)等差数列前n项和运算的几种思维方法.
(3)求数列{|an|}的前n项和的方法.
3.注意1个易错点
求和时弄不清项数致错.
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　)
A.138
B.135
C.95
D.23
解析　由a2＋a4＝2a3＝4得a3＝2，由a3＋a5＝2a4＝10得a4＝5，故公差d＝3，
所以a1＝a3＋(1－3)d＝－4，
C
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　)
A.2
B.3
C.6
D.7
B
解析　由S2＝a1＋a2＝4及S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20，得a3＋a4＝16，
故(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即4d＝12，d＝3.
3.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(　
　)
ABC
解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N
)，
则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，
该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；
当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，
如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
4.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
B
解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，
5.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，则正整数k为(　　)
A.2
017
B.2
018
C.2
019
D.2
020
C
解析　因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性质及S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，
二、填空题
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，
7.《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，
其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，
4(n＋1)2
2n2＋6n
三、解答题
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解　设等差数列的公差为d，则
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解　法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
A.38
B.20
C.10
D.9
C
解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由S2m－1＝38知am≠0，
所以am＝2，又S2m－1＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
B
A.－2
B.0
C.2
D.4
又∵d≠0，
∴a4＋a2＋a5＋a3＝0.
∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0.
13.在等差数列{an}中，a1＝60，a17＝12，求数列{|an|}的前n项和.
故通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝60＋(－3)×(n－1)＝63－3n.
令an≥0，即63－3n≥0，解得n≤21，即数列的前21项是非负数，从第22项开始都是负数.
设Sn，Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和，
当n≥22时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋|a22|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a21－(a22＋…＋an)＝S21－(Sn－S21)＝2S21－Sn.
解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
本节内容结束(共50张PPT)
第二课时　等差数列的前n项和的最值及应用
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
2.会求等差数列前n项和的最值.
课标要求
素养要求
通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.前n项和公式
2.等差数列前n项和的最值
最大
最小
最小
最大
1.思考辨析，判断正误
×
(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(
)
√
×
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A.－2
B.－1
C.0
D.1
B
解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，则当Sn取到最大值时，n的值为(　　)
A.4或5
B.5或6
C.6或7
D.7
解析　∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，
∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
B
4或5
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴S4＝S5同时最大.∴n＝4或5.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】　(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N
)，则下列命题正确的是(　
　)
A.若S3＝S11，则必有S14＝0
B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C.若S7>S8，则必有S8>S9
D.若S7>S8，则必有S6>S9
ABCD
解析　根据等差数列的性质，若S3＝S11，
则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，
所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，
即S6>S9，所以ABCD都正确.
A.第1项
B.第8项
C.第9项
D.第15项
B
故a8>0，a9<0，公差d<0，所以数列{an}是递减数列，
所以a1，…，a8均为正，a9，…，an均为负，
且S1，…，S15均为正，S16，…，Sn均为负，
题型二　等差数列前n项和最值的计算
(1)求Sn；
解　设数列{an}的公差为d.
求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.
思维升华
【训练2】　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
法一　∵a1＝9，d＝－2，
10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
∵n∈N
，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
【例3】　7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
题型三　等差数列求和的实际应用
解　设7月n日售出的服装件数为an(n∈N
，1≤n≤31)，最多售出ak件.
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
解
设Sn是数列{an}的前n项和，
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
应用等差数列解决实际问题的一般思路：
思维升华
【训练3】　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
解　(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项
a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，
所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，
公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有
2
200＋5
900＝8
100(人).
1.牢记1个知识点
课堂小结
2.掌握2种方法
(1)求等差数列前n项和最值的方法.
(2)解决与等差数列有关的应用题的思路.
3.注意1个易错点
研究前n项和Sn的最值时忽视值为0的项.
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
D
2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N
)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　)
A.6
B.7
C.8
D.9
B
解析　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
因为k∈N
，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？(　　)
A.4日
B.3日
C.5日
D.6日
A
解析　由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列；驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.
整理得14n2＋364n－1
680＝0，
即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　)
A.35
B.32
C.23
D.38
A
解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.
解得a1＝35.
5.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的命题有(　　)
A.若S10＝0，则S2＋S8＝0
B.若S4＝S12，则使Sn>0的n的最大值为15
C.若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大
D.若S7BC
则a1＋a10＝0，即2a1＋9d＝0，则S2＋S8＝(2a1＋d)＋(8a1＋28d)＝10a1＋29d≠0，A不正确；
对于B，若S4＝S12，则S12－S4＝0，即a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4(a8＋a9)＝0，
由于a1>0，则a8>0，a9<0，
故使Sn>0的n的最大值为15，B正确；
对于C，若S15>0，S16<0，
则有a8>0，a9<0，故{Sn}中S8最大，故C正确；
对于D，若S70，而S9－S8＝a9，不能确定其符号，D错误.
二、填空题
6.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
6或7
解析　由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0，
∴2a1＋12d＝0，
∴a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小.
7.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.
8
解析　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.
故前8项的和最大.
8或9
即n＝8或9时，Tn有最大值；
若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，
三、解答题
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
解　
∵a3＝12，∴a1＝12－2d.
∵S12＞0，S13＜0，
(2)问前几项的和最大，并说明理由.
解　∵S12＞0，S13＜0，
∴a6＞0，
又由(1)知d＜0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负.
∴数列前6项和最大.
10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1
150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？
解　因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1
000万元，依据题意，知其后应分20次付款，
则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1
000×1%＝60，a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋
[1
000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N
)，
所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a10＝60－9×0.5＝55.5，
所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1
105＋150＝1
255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1
255万元.
11.若数列{an}是等差数列，首项a1>0，公差d<0，且a2
019(a2
018＋a2
019)>0，a20
20(a2
019＋a2
020)<0，则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.4
039
B.4
038
C.4
037
D.4
036
B
解析　由题意，得数列{an}是递减数列，由a2
019(a2
018＋a2
019)>0，
且a2
020(a2
019＋a2
020)<0，可得a2
019>0，a2
020<0，且|a2
019|>|a2
020|，a20
19＋a2
020>0，
∴使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4
038.
12.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N
，都有an3
11
∵对任意n∈N
，都有an∴a2k－1)，即1＋(k－1)d1<2＋(k－1)d2<1＋kd1，
取k＝2时，可得1＋d1<2＋d2<1＋2d1，
∴d1＝3＝d2.
∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11.
13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50
m，最远一根电线杆距离电站1
550
m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17
500
m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
解　由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，
则an＝1
550×2＝3
100，d＝50×3×2＝300，
Sn＝17
500.
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
由①得a1＝3
400－300n.
代入②得n(3
400－300n)＋150n(n－1)－17
500＝0，
整理得3n2－65n＋350＝0，
所以a1＝3
400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400
m，
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100
m.
14.《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十人(即每等一人)，官赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据意，可得每等人比其下一等人多得金(　　)
B
解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，
则数列{an}为等差数列，设公差为d(d>0)，则每等人比下一等人多得d斤金，由题
意得
本节内容结束第二课时　等差数列的前n项和的最值及应用
课标要求
素养要求
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.会求等差数列前n项和的最值.
通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
自主梳理
1.前n项和公式
Sn＝＝na1＋d＝n2＋n.
2.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－处取得.(×)
提示　只有当－是正整数时才成立.
(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(√)
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N
)，则Sn在n＝(p＋q)处取得最大值或最小值.(×)
提示　当(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时结论才成立.
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A.－2
B.－1
C.0
D.1
答案　B
解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，则当Sn取到最大值时，n的值为(　　)
A.4或5
B.5或6
C.6或7
D.7
答案　B
解析　∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1＞0，
∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
答案　4或5
解析　由解得
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴S4＝S5同时最大.∴n＝4或5.
题型一　等差数列前n项和最值问题的判断
【例1】　(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N
)，则下列命题正确的是(　　)
A.若S3＝S11，则必有S14＝0
B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C.若S7>S8，则必有S8>S9
D.若S7>S8，则必有S6>S9
答案　ABCD
解析　根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝7(a7＋a8)＝0；根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是
＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正确.
【训练1】　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则数列的前15项中最大的项是(　　)
A.第1项
B.第8项
C.第9项
D.第15项
答案　B
解析　S15＝＝15a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，故a8>0，a9<0，公差d<0，所以数列{an}是递减数列，所以a1，…，a8均为正，a9，…，an均为负，且S1，…，S15均为正，S16，…，Sn均为负，则>0，>0，…，>0，<0，<0，…，<0.
又S8>S7>…>S1>0，a1>a2>…>a8>0，
所以>>…>>0，所以最大的项是，即第8项.
题型二　等差数列前n项和最值的计算
【例2】　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和.
(1)求Sn；
(2)求Tn及Tn的最小值.
解　(1)设数列{an}的公差为d.
依题意有解得
∴Sn＝na1＋d＝－2n＋＝.
(2)法一　由(1)知Sn＝，∴＝.
设bn＝＝，则bn＋1－bn＝－＝，
∴数列{bn}是公差为的等差数列，
首项b1＝＝a1＝－2.
又Tn为数列的前n项和，
∴Tn＝－2n＋×＝＝－.
∴当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5.
法二　易知bn＝，由解得4≤n≤5.
故Tn的最小值为T4＝T5＝－5.
思维升华　求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.
【训练2】　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一　∵a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋×(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N
，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
题型三　等差数列求和的实际应用
【例3】　7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
解　(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N
，1≤n≤31)，最多售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
思维升华　应用等差数列解决实际问题的一般思路：
【训练3】　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
解　(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为
S10＝＝2
200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
T20＝＝5
900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有
2
200＋5
900＝8
100(人).
1.牢记1个知识点
Sn＝＝na1＋＝n2＋n.
2.掌握2种方法
(1)求等差数列前n项和最值的方法.
(2)解决与等差数列有关的应用题的思路.
3.注意1个易错点
研究前n项和Sn的最值时忽视值为0的项.
一、选择题
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
答案　D
解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列.
又a1＝24，d＝－2，
∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n
＝－＋.
∵n∈N
，∴当n＝12或13时，Sn最大.
2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N
)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　)
A.6
B.7
C.8
D.9
答案　B
解析　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有
所以即≤k≤.
因为k∈N
，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？(　　)
A.4日
B.3日
C.5日
D.6日
答案　A
解析　由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列；驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.
因为数列{an}的前n项和为＝，
数列{bn}的前n项和为＝，
∴＋＝840，整理得14n2＋364n－1
680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　)
A.35
B.32
C.23
D.38
答案　A
解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.
5.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的命题有(　　)
A.若S10＝0，则S2＋S8＝0
B.若S4＝S12，则使Sn>0的n的最大值为15
C.若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大
D.若S7答案　BC
解析　对于A，若S10＝0，则S10＝＝0，
则a1＋a10＝0，即2a1＋9d＝0，则S2＋S8＝(2a1＋d)＋(8a1＋28d)＝10a1＋29d≠0，A不正确；对于B，若S4＝S12，则S12－S4＝0，即a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4(a8＋a9)＝0，由于a1>0，则a8>0，a9<0，则有S15＝＝15a8>0，S16＝＝＝0，故使Sn>0的n的最大值为15，B正确；
对于C，若S15>0，S16<0，
则S15＝＝15a8>0，
S16＝＝8(a8＋a9)<0，
则有a8>0，a9<0，故{Sn}中S8最大，故C正确；
对于D，若S70，而S9－S8＝a9，不能确定其符号，D错误.
二、填空题
6.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
答案　6或7
解析　由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0，∴2a1＋12d＝0，∴a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小.
7.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.
答案　8
解析　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.
故前8项的和最大.
8.已知{an}是等差数列，首项为a1，其公差d<0，前n项和为Sn，设数列的前n项和为Tn.(1)若a1＝－4d，则当n＝________时，Tn有最大值；(2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则的取值范围是________.
答案　8或9　
解析　易知＝n＋，
若a1＝－4d，则＝n－d.由解得8≤n≤9.
即n＝8或9时，Tn有最大值；
若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则
解得－3<<－.
三、解答题
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由.
解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d.
∵S12＞0，S13＜0，
∴即
∴－＜d＜－3，
即d的取值范围为.
(2)∵S12＞0，S13＜0，
∴∴
∴a6＞0，
又由(1)知d＜0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负.
∴数列前6项和最大.
10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1
150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？
解　因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1
000万元，依据题意，知其后应分20次付款，
则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1
000×1%＝60，a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋[1
000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N
)，
所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a10＝60－9×0.5＝55.5，
S20＝＝1
105.
所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1
105＋150＝1
255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1
255万元.
11.若数列{an}是等差数列，首项a1>0，公差d<0，且a2
019(a2
018＋a2
019)>0，a20
20(a2
019＋a2
020)<0，则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.4
039
B.4
038
C.4
037
D.4
036
答案　B
解析　由题意，得数列{an}是递减数列，由a2
019(a2
018＋a2
019)>0，且a2
020(a2
019＋a2
020)<0，可得a2
019>0，a2
020<0，且|a2
019|>|a2
020|，a20
19＋a2
020>0，
∴S4
039＝4
039a2
020<0，S4
038＝4
038×＝2
019(a2
019＋a2
020)>0，
∴使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4
038.
12.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意n∈N
，都有an答案　3　11
解析　由题意知，S10＝5×1＋d1＋5×2＋×d2＝75，故d1＋d2＝6.
∵对任意n∈N
，都有an∴a2k－1)，即1＋(k－1)d1<2＋(k－1)d2<1＋kd1，
取k＝2时，可得1＋d1<2＋d2<1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得∴d1＝3＝d2.
∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11.
13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50
m，最远一根电线杆距离电站1
550
m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17
500
m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
解　由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，
则an＝1
550×2＝3
100，d＝50×3×2＝300，
Sn＝17
500.
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
得
由①得a1＝3
400－300n.
代入②得n(3
400－300n)＋150n(n－1)－17
500＝0，
整理得3n2－65n＋350＝0，
解得n＝10或n＝(舍去)，
所以a1＝3
400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400
m，
第一根电线杆距离电站×400－100＝100(m).
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100
m.
14.《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十人(即每等一人)，官赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据题意，可得每等人比其下一等人多得金(　　)
A.斤
B.斤
C.斤
D.斤
答案　B
解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}为等差数列，设公差为d(d>0)，则每等人比下一等人多得d斤金，由题意得
即
解得d＝，
故每等人比其下一等人多得金斤.4.2.3　等差数列的前n项和
第一课时　等差数列的前n项和公式及相关性质
课标要求
素养要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式及相关性质，并能解决有关问题.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
自主梳理
1.数列{an}的前n项和
一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn.
2.等差数列的前n项和公式
(1)等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋
(2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
3.等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0).
等差数列前n项和公式推导及应用
(1)公式的推导：在等差数列中a1＋an＝a2＋an－1＝….故公式的推导中，用倒序相加法.
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时，用公式Sn＝，用此公式时，有时要结合等差数列的性质.
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋d求和方便.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.(√)
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.(×)
提示　当an＝0时，Sn＝an.
(3)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(×)
提示　当公差d＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数.
(4)等差数列{an}的前n项和Sn＝.(√)
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)
A.n
B.n2
C.2n＋1
D.2n－1
答案　D
解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又因a1＝1适合an＝2n－1，
所以，an＝2n－1.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
答案　C
解析　设{an}的公差为d，由
得解得d＝4.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
答案　12
解析　因为
S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，故2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，即2×4＝2＋S12－6，得S12＝12.
题型一　等差数列前n项和公式的基本运算
【例1】　在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解　(1)法一　由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二　由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
思维升华　等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值.
(2)利用等差数列的性质解题.
【训练1】　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2
018，S6－2S3＝18，则S2
020＝(　　)
A.－2
018
B.2
018
C.2
019
D.2
020
(2)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7
B.a8
C.S15
D.S16
答案　(1)D　(2)BC
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝－2
018，S6－2S3＝18，∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18，整理可得9d＝18，解得d＝2.则S2
020＝2
020×(－2
018)＋×2＝2
020.故选D.
(2)由a1＋a15＝2a8，故由a1＋a8＋a15是定值可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值，故选BC.
题型二　等差数列前n项和性质的应用
【例2】　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值.
解　(1)法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
法二　在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝＝＝.
思维升华　等差数列前n项和运算的几种思维方法
(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解.
(2)待定系数法：利用当公差d≠0时Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算.
(3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解.
【训练2】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)
A.36
B.18
C.72
D.9
(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N
)，则的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
(2)由等差数列前n项和的性质，得
＝＝＝
＝＝＝.
题型三　求数列{|an|}的前n项和
【例3】　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
由an≥0，解得n≤，则
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
思维升华　已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点.
第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.
【训练3】　已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即　解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n
(n∈N
).
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
1.牢记2个公式
(1)Sn＝.
(2)Sn＝na1＋.
2.掌握3种方法
(1)等差数列中基本计算的两个技巧.
(2)等差数列前n项和运算的几种思维方法.
(3)求数列{|an|}的前n项和的方法.
3.注意1个易错点
求和时弄不清项数致错.
一、选择题
1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　)
A.138
B.135
C.95
D.23
答案　C
解析　由a2＋a4＝2a3＝4得a3＝2，由a3＋a5＝2a4＝10得a4＝5，故公差d＝3，所以a1＝a3＋(1－3)d＝－4，则S10＝10×(－4)＋×10×9×3＝95.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　)
A.2
B.3
C.6
D.7
答案　B
解析　由S2＝a1＋a2＝4及S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20，得a3＋a4＝16，故(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即4d＝12，d＝3.
3.(多选题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(　　)
答案　ABC
解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N
)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
4.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
答案　B
解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，
∴a1＋an＝70.又Sn＝＝·70＝210，∴n＝6.
5.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，则正整数k为(　　)
A.2
017
B.2
018
C.2
019
D.2
020
答案　C
解析　因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2
011＝S2
016，Sk＝S2
008，可得＝，解得k＝2
019.
二、填空题
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
答案　
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.
7.《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
答案　
解析　由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺.
8.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N
)，则an＝________，＋＋…＋＝________.
答案　4(n＋1)2　2n2＋6n
解析　令n＝1，得＝4，∴a1＝16.
当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1).
与已知式相减，得＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2.
∴an＝4(n＋1)2.又∵n＝1时，a1满足上式，
∴an＝4(n＋1)2(n∈N
).
∴＝4n＋4，∴数列是首项为8的等差数列，
∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.
三、解答题
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解　设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
解　法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
11.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A.38
B.20
C.10
D.9
答案　C
解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0.
由S2m－1＝38知am≠0，
所以am＝2，又S2m－1＝38，
即＝＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
12.设{an}是公差不为零的等差数列，且a＋a＝a＋a，则{an}的前6项和为(　　)
A.－2
B.0
C.2
D.4
答案　B
解析　设数列{an}的公差为d，则a＋a＝a＋a，整理可得a－a＋a－a＝0，即2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3)＝0.
又∵d≠0，
∴a4＋a2＋a5＋a3＝0.
∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0.
∴S6＝＝3(a3＋a4)＝0.故选B.
13.在等差数列{an}中，a1＝60，a17＝12，求数列{|an|}的前n项和.
解　等差数列{an}的公差为d＝＝＝－3，
故通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝60＋(－3)×(n－1)＝63－3n.
令an≥0，即63－3n≥0，解得n≤21，即数列的前21项是非负数，从第22项开始都是负数.
设Sn，Tn分别表示数列{an}与数列{|an|}的前n项和，
则Sn＝＝－n2＋n.
当n≤21时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；
当n≥22时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋|a22|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a21－(a22＋…＋an)＝S21－(Sn－S21)＝2S21－Sn.
由S21＝－×212＋×21＝630，
得Tn＝2×630－＝n2－n＋1
260.
故Tn＝
14.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝________.
答案　
解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝.

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