资源简介

2.3
绝对值导学案
教学目标：
1.巩固绝对值的意义；
2.学会利用绝对值的意义，探求两点之间的距离；
3.把绝对值问题与生活联系起来。
教学重点与难点：
1.理解绝对值的意义；
2.两点间的距离的绝对值意义
探究：
在数轴上，点A,B分别表示数a,b，利用有理数减法，分别计算下列情况下点A,B之间的距离：
a=2,b=6；a=0,b=6；a=2,b=-6；a=-2,b=-6.
你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗？
探究思路：
探究时，要解决好的几个问题：
熟知数轴的构造特点
是一条规定原点，正方向，单位长度的直线，
2.熟知三数与数轴上点的对应关系
表示正数的点位于原点的右边，表示负数的点位于原点的左边，表示0的数位于原点；
3.理解两点之间的距离的意义
数轴上两点之间的距离就是这两点代表的数的差值.
4.清楚描述两点之间的距离的运算
有理数的减法.
5.学会两种重要数学思想
数形结合思想，二是一般性与特殊性关系思想，这是数学学习重要指导思想.
直播探究历程：
画数轴如图1所示：
当a=2,b=6时，AB=6-2=4；当a=0,b=6时，AB=6-0=6；
当a=2,b=-6时，AB=2-（-6）=2+6=8；当a=-2,b=-6时，AB=-2-（-6）=-2+6=4.
根据计算，得到如下的结论：
分类表示距离法：
设A,B分别表示数，，则A,B之间的距离计算如下：
1.当A，B其中一个表示原点时，则AB=||或AB=||；
2.当A，B都表示正数，且＜时，则AB=||-||；
3.当A，B都表示负数，且＜时，则AB=||-||；
3.当A表示正数，B表示负数时，则AB=||+||.
这种方法计算较为复杂，能否化为同一形式，使得计算简便些呢？于是得到第二种方法
差后绝对值法：
设A,B分别表示数，，则AB=|-|.
这样计算时，就不要考虑数的属性，直接代入计算即可,使得计算简便快捷.
反思定位：探究问题可以引申到任意两个有理数之间的差值计算，也就是说，
任意两个数的差，都可以看成是其对应点之间的距离，也就可以利用这个公式计算了.
从而将公式的使用范围拓展了整个有理数范围.
应用与引申：
1.原点型
例1
（1）
数轴上点A表示的数为-8，点B表示的数为4，则点A到原点的距离为
；
点B到原点的距离为
.
（2）
数轴上点A到原点的距离为6，则点A表示的数为
.
解析：
（1）点A到原点的距离为|-8|=8
；点B到原点的距离为|4|=4
.
（2）设A表示的数为x，则|x|=6,所以x=6或x=-6，所以点A表示的数为6或-6.
说明：当一个点是原点时，其距离问题可概括如下：
数轴上点A表示的数为a,则点A到原点的距离为|a|；
数轴上，点A到原点的距离a(a＞0)，则点A表示的数为a或-a.
熟记，熟知，一定能熟练解题，高效解题.
2.非原点型
例2
数轴上，
点B表示的数为-2，点A到点B的距离为6，则点A表示的数为
.
解析：
设数轴上点A表示的数为a，则AB之间的距离为|a-(-2)|,根据题意，得|a-(-2)|=6，
因此a+2=6或a+2=-6,所以a=6-2=4或a=-6-2=-8,所以点A表示的数为4或-8.
说明：当已知点不是原点时，其距离问题可概括如下：
数轴上点A表示的数为a,AB之间的距离为b，则点B表示的数为b+a或b-a.
熟记结论，对于此类型的选择或填空题解答起来将十分简便.
3.复合型
例3
如果数轴上的点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A,B两点之间的距离是多少？
解析：设A,B分别表示数，，则||=3，||=5，所以=3或=-3，=5或=-5，
当=3，=5时，AB之间的距离为|3-5|=2；
当=3，=-5时，AB之间的距离为|3-（-5）|=8；
当=-3，=5时，AB之间的距离为|-3-5|=8；
当=-3，=-5时，AB之间的距离为|-3-（-5）|=2；
所以A。B之间的距离为2或8.
说明：此题型，可以引申如下结论：
数轴上的点A到原点的距离为a(a＞0)，点B到原点的距离为b(b＞0)，则A,B两点之间的距离是a+b或|a-b|.
4综合型
例4如图2，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示－4，点G表示8.
（1）点B表示的有理数是
????????
，表示原点的是点
???????；
（2）图中的数轴上另有点M到点A，点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是
???????
.
（3）若将原点取在点D，则点C表示的有理数是
??
?，此时点B与点???
表示的有理数互为相反数.
解析：AG之间的距离为|8-（-4）|=12，因为相邻两点之间的距离都相等，
所以这个距离为12÷6=2，所以点B表示的数为-2，点C表示的为0，点D表示的数为2，点E表示的数为4，点F表示的数为6，因此：
（1）点B表示的有理数是-2，表示原点的是点C；
（2）设点M表示的数是x，则|x-8|+|x+4|=13,
当x＞8时，则x-8+x+4=13,所以2x=17，因此x=8.5；
当-4≤＜x≤8时，则8-x+x+4=12,不成立；
当x＜-4时，则8-x-x-4=13，则-2x=9，因此x=-4.5,所以点M表示的数是8.5或-4.5.
（3）若将原点取在点D，则点C表示的有理数是-2，此时点B与点F表示的有理数互为相反数.
说明：解答时，注意一下几点：
1.熟练用两点之间的距离除以等空距个个数，确定单位长度的意义，这是解题的关键；
2.
熟练运用两点间的距离公式，分别确定各点表示的数；
3.学会用分类的思想化简绝对值，从而确定符合题意的点表示的数；
4.理解原点的任意性，原点不同，点表示的数不同，其次，学会利用数轴加深对相反数的理解.
5阅读型
例5（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣.
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图3，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a-b∣；
当A、B两点都不在原点时，
①如图4，点A、B都在原点的右边∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图5，点A、B都在原点的左边，∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=－b-（-a）=∣a-b∣；
③如图6，点A、B在原点的两边，∣AB∣＝∣OB∣+∣OA∣＝∣a∣+∣b∣=
a
+（-b）=∣a-b∣；
回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_________,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是___________,如果∣AB∣＝2，那么x为____________；
③代数式∣x+1∣＝∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是_______________.
解析：
①通过阅读，根据公式，得数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是|x-(-1)|=|x+1|,因为∣AB∣＝2，
所以|x+1|=2,所以x+1=2或x+1=-2，解得x=1或x=-3；
③当x＞2时，化简，得x+1=x-2,
不成立；
当-1≤＜x≤2时，化简，得x+1=2-x,
x=；
当x＜-1时，化简，得-x-1=2-x,
不成立；所以∣x+1∣＝∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是-1≤＜x≤2.
说明：阅读学习新知识，学习新方法，为解题提供支撑，学以致用，是数学学习的有效方式，学会分类思想化简绝对值，也是本题的重要特色，要努力掌握，最好能熟练运用.
6.
探究过程再现型
例6
探究数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．
（1）如图7所示，观察数轴，填空：
①点D与点F的距离为______，点D与点B的距离为______．
②点E与点G的距离为______，点A与点B的距离为______．
③点C与点F的距离为______，点B与点G的距离为______．
我的发现：在数轴上，如果点M对应的数是m，点N对应的数是n，那么点M与点N之间的距离可表示为MN=______（用m、n表示）．
（2）利用你发现的结论解决下列问题：数轴上表示x和-2的两点P与Q之间的距离是3，则x=______．
解析：（1）
①点D与点F的距离为2，点D与点B的距离为2．
②点E与点G的距离为2，点A与点B的距离为1．
③点C与点F的距离为3，点B与点G的距离为5．
点M与点N之间的距离可表示为MN=|m=n|．
(2)根据题意，得|x+2|=3,所以x+2=3或x+2=-3，解得x=1或x=-5.
说明：这是探究过程的再现，是原题的更细化的再现，也是探究问题的引申，它在再现探究过程的同时，添加了结论应用这一块，使得探究的内容更完善，更全面，更丰富，更深刻，既培养了良好的学习习惯，也能不断提升学生学习的能力，解决问题的能力.

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