资源简介

初中数学
制作一个尽可能大的无盖长方体容器
学习目标
一、考点突破
1.
在“从实际问题抽象出数学问题→建立数学模型→综合应用已有的知识解决问题”的过程中，进一步丰富空间观念和符号感．
2.
通过借助已有的信息去推理事物变化趋势的活动，发展推理能力，积累研究问题的一些方法和经验．
3.
在几何知识和代数知识的综合应用中，体会“无限逼近法”的数学思想，感受数学的整体性，体会用实验、估算法研究问题的可行性，进一步体验数学知识之间的内在联系．
4.
通过经历克服困难和获得成功的体验，增进应用数学的自信心，形成对数学知识的深刻理解．
二、重难点提示
重点：经历从实际问题抽象出数学问题→建立数学模型→综合应用已有知识解决问题的过程．
难点：探究如何使得到的无盖长方体容器的容积尽可能大，在解决问题的过程中进一步丰富空间观念与符号感．
考点精讲
1.
研究内容：
用边长为20cm的长方形纸制作无盖长方体形盒子。
2.
研究方法：
剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm,时，折成的无盖长方体形盒子，用统计表表示出来。
3.
研究过程：
盒子的容积
剪去1cm
（20-2）（20-2）×1=324
剪去2cm
（20-4）（20-4）×2=512
剪去3cm
（20-6）（20-6）×3=588
剪去4cm
（20-8）（20-8）×4=576
剪去5cm
（20-10）（20-10）×5=500
剪去6cm
（20-12）（20-12）×6=384
剪去7cm
（20-14）（20-14）×7=252
剪去8cm
（20-16）（20-16）×8=128
剪去9cm
（20-18）（20-18）×9=36
根据上表可知当剪去3cm时盒子的容积最大
盒子的容积
剪去3cm
（20-6）（20-6）×3=588
剪去3.1cm
（20-6.2）（20-6.2）×3.1=590.364
剪去3.2cm
（20-6.4）（20-6.4）×3.2=591.872
剪去3.3cm
（20-6.6）（20-6.6）×3.3=592.548
剪去3.4cm
（20-6.8）（20-6.8）×3.4=592.416
剪去3.5cm
（20-7）（20-7）×3.5=591.5
剪去3.6cm
（20-7.2）（20-7.2）×3.6=589.824
剪去3.7cm
（20-7.4）（20-7.4）×3.7=587.412
剪去3.8cm
（20-7.6）（20-7.6）×3.8=584.288
剪去3.9cm
（20-7.8）（20-7.8）×3.9=580.476
3.3cm
3.3cm
3.3cm
3.3cm
由上表可知当剪去3.3cm时盒子的容积最大
4.
研究成果:
这次研究给我带来的结果是用边长为20cm的正方形纸制作无盖长方体形盒子当小正方形的边长是剪去3.3cm时制作出的无盖长方体形盒子最大。
典例精讲
例题1
观察下列图形及其所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n（n是正整数）的结果为（
）
A.
（2n＋1）2
B.
1＋8n
C.
1＋8（n－1）
D.
4n2＋4n
思路分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律，然后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．
答案：图（1）：1＋8＝9＝（2×1＋1）2；图（2）：1＋8＋16＝25＝（2×2＋1）2；图（3）：1＋8＋16＋24＝49＝（3×2＋1）2；…；那么图（n）：1＋8＋16＋24＋…＋8n＝（2n＋1）2．故选A．
点评：主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
例题2
用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S＝a＋b－1（史称“皮克公式”）．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形的面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形，根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边上的格点的个数
格点多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1
多边形2
7
3
…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
则S与a、b之间的关系为S＝__________（用含a、b的代数式表示）．
思路分析：根据8＝8＋2（1－1），11＝7＋2（3－1）得到S＝a＋2（b－1）．
答案：填表如下：
格点多边形各边上的格点的个数
格点边多边形内部的格点个数
格点多边形的面积
多边形1
8
1
8
多边形2
7
3
11
…
…
…
…
一般格点多边形
a
b
S
则S与a、b之间的关系为S＝a＋2（b－1）（用含a、b的代数式表示）．
点评：此题需要根据图、表格和自己所算得的数据总结出规律．寻找规律是一项比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
提分宝典
【方法提炼】
对于规律性问题，我们要注意观察各部分图形或数字的变化规律以及各数字之间的关系．解这一类题目要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法．数学史上有很多重要的发现，如哥德巴赫猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索、猜想而得，学习数学必须不断探索、猜想、总结规律，才会有所发现、有所创造．
观察下图中的数字，请你猜一猜在“？”处应填上一个什么数才合适？
解析：由图中看到第二个数字是由第一个数字加3得到的，第三个数字是由第二个数字加上5得到的，第四个数字是由第三个数字加上7得到的，后面依次加上9，11，…．这样可以推测出“？”处的数．若要寻找规律，应直接观察0，3，8，15，……，可以发现每个数加上1后都变成完全平方数，也就是0＝12－1，3＝22－1，8＝32－1，……，48＝72－1．下一个数（“？”处）应该是82－1＝63．
同步练习
（答题时间：15分钟）
1.
下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（
）
A.
20
B.
27
C.
35
D.
40
2.
把边长为1的正方形按如图所示的方式排列，则第n个图形的周长用含n（n为正整数）的式子表示为（
）
A.
4n
B.
2n－2
C.
2n＋2
D.
4n－4
3.
一道围栏由0.3米宽的柱子和2米长的链子组成（链子的长度看作两根柱子之间的距离），如果围栏的起点与终点均为柱子，下面各数中不可能是围栏长度的是（
）
A.
25.6m
B.
32.5m
C.
36.5m
D.
37.1m
4.
将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为S1，第2次对折后得到的图形的面积为S2，…，第n次对折后得到的图形的面积为Sn，请根据图2化简S1＋S2＋S3＋…＋S6＝__________。
5.
将相同的矩形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片的长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为__________。
6.
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
7.
如图1是一种竹凉席（俗称麻将席），它是由规格为1.4cm×3cm的小竹片按横、竖方向编织而成的．如图2是这种规格的凉席横向组成部分的一条“链条”，每相邻两个小竹片的长边互相平行，且间距为0.5cm（如图3）．
（1）5个小竹片组成的“链条”长为__________cm；
（2）n个小竹片组成的“链条”长为__________cm；
（3）如果此种竹凉席的长为1.99m，则一条“链条”中有小竹片多少个？
答案
1.
B
解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有2＋3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2＋3＋4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2＋3＋4＋…＋（n＋1）＝个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为＝27个．故选B．
2.
C解析：∵n＝1时，周长为4，即4＋0×2；n＝2时，周长为6，即4＋1×2；n＝3时，周长为8，即4＋2×2；n＝4时，周长为10，即4＋3×2；…；第n个图形的周长为4＋（n－1）×2＝2n＋2．故选C．
3.
C
解析：当有2根柱子和1条链子时，长度是0.3×2＋2＝2.6米，当有3根柱子和2条链子时，长度是0.3×3＋2×2＝4.9米，…当有n根柱子和（n－1）条链子时，长度是0.3n＋2（n－1）＝2.3n－2米（n≥2）．A、2.3n－2＝25.6，解得n＝12，符合题意；B、2.3n－2＝32.5，解得n＝15，符合题意；C、2.3n－2＝36.5，解得n≈16.7，不符合题意；D、2.3n－2＝37.1，解得n＝17，符合题意．故选C．
4.
解析：观察发现S1＋S2＋S3＋…＋S6＝＋＋＋…＋＝．
5.
5035
解析：由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3，摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8，摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13，即第偶数个矩形的实线部分在前一个的基础上加2，第奇数个矩形的实线部分在前一个的基础上加3，方法一：∵摆放2014个时，相等于在第1个的基础上加1007个2，1006个3，∴摆放2014个时，实线部分长为：3＋1007×2＋1006×3＝5035．或：方法二：第①个图实线部分长3，第②个图实线部分长3＋2，第③个图实线部分长3＋2＋3，第④个图实线部分长3＋2＋3＋2，第⑤个图实线部分长3＋2＋3＋2＋3，第⑥个图实线部分长3＋2＋3＋2＋3＋2…，从上述规律可以看到，对于第n个图形，当n为奇数时，第n个图形实线部分长度为（3＋2）（n－1）＋3；当n为偶数时，第n个图形实线部分长度为（3＋2）n，所以当摆放2014个时，即第2014个图形，实线部分长度等于（3＋2）×2014＝5035．
6.
解：（1）1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6人，2张长方形餐桌的四周可坐4×2＋2＝10人，3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14人，…n张长方形餐桌的四周可坐4n＋2人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18人，8张长方形餐桌的四周可坐4×8＋2＝34人；
（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22
答：这样的餐桌需要22张．
7.
解：（1）根据题意，5个小竹片组成的“链条”长＝5×1.4＋4×0.5＝9；
（2）仔细观察图形可以发现，n个小竹片组成的“链条”长＝1.4n＋0.5（n－1）＝1.9n－0.5；
（3）设由n个小竹片组成，则依题意可得：1.9n－0.5＝199，解之得n＝105，即如果此种竹凉席的长为1.99m，则一条“链条”中有小竹片105个．

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