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(共13张PPT)
北师大版数学九年级
精品教学课件
课题学习
猜想、证明与拓广（一）
授 课 教 师 王 平
问题一：你知道两个数的平方和与这两个数积的2倍哪一个大吗？
12+22
2×1×2
＞
（-2）2 + 32
（-2）2+（-5）2
1.12+2.12
12+12
6.22+6.22
(-3)2+(-3)2
2×(-3)×(-3)
2×6.2×6.2
2×1×1
2×1.1×2.1
2×（-2）×（-5）
2×（-2）×3
＞
＞
＞
……
……
=
=
=
猜想：两个数的平方和大于或等于这两
个数积的2倍
∵ （a－b）2≥0
即a2+b2－2ab ≥0
∴a2+b2≥2ab（当a=b时取等号）
证明：设这两个数分别为a和b，
任意给定一个正方形，是否存在
另一个正方形，它的周长和面积分别
是已知正方形周长和面积的2倍？
问题二
a2
a
2a
4a2
a2
a
2a2
问题二
任意给定一个正方形，是否存在
另一个正方形，它的周长和面积分别
是已知正方形周长和面积的2倍？
结论：一定不存在！
任意给定一个矩形，是否存在
另一个矩形，它的周长和面积分别
是已知矩形周长和面积的2倍？
问题三
结论
任意给定一个矩形，一定存在
一个矩形，它的周长和面积分别是
已知矩形周长和面积的2倍.
问题小结
1、通过对今天三个问题的研究，你感悟到了什么样的处理问题的策略
和方法？
2、从关于正方形的问题二到关于矩
形的问题三是我们把问题拓广的过程，
你还能提出相关的问题再拓广吗？
问题二
问题三
任意给定一个正方形，是否存在
另一个正方形，它的周长和面积分别
是已知正方形周长和面积的2倍？
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
拓广问题1 任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？
拓广问题3 任意给定一个菱形，是否存在另一个菱形，它的周长和面积分别是已知菱形周长和面积的2倍？
拓广问题2 任意给定一个平行四边形，是否存在另一个平行四边形，它的周长和面积分别是已知平行四边形周长和面积的2倍？
拓广问题4 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？
……
任意给定一个矩形，是否存在
另一个矩形，它的周长和面积分别
是已知矩形周长和面积的一半？
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课题学习：猜想、证明与拓广（一）
授 课 教 师：王 平
教材：北师大版义务教育课程实验教科书 九年级上册
一、教学目标
1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性的认识。
3．在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。
4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
二、教学重、难点
重点：通过系列问题的解决，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法。
难点：综合运用所学的知识解决问题。
三、教学方法与教学手段
教法： 启发探究法
学法：独立思考、合作交流
四、教学过程
（一）引入
问题一：你知道两个数的平方和与这两个数积的2倍哪一个大吗？
学生自己探索，同座位两个同学交流，教师再提问。
学生1：我找了几个数试了一下，发现是两个数的平方和大。
学生2：学生1说得不完整，我发现当这两个数一样大时，平方和与它们积的2倍一样大。
教师：有没有其他意见了？那么你们得到一个什么猜想？
学生：两个数的平方和大于或等于这两个数积的2倍。
教师：猜想正确吗？
学生：还需要证明。
教师：你能证明吗？
学生先独立思考，教师再给予提示并解决这个问题。
教师：通过这个问题的解决，你有什么收获？
在学生发表过自己的见解后，教师总结：我们在解决问题时，有的时候可以先考察一些简单的、特殊的情形，发现一些规律后来猜想问题的答案，然后经过证明一般情况最终解决这个问题，这种从特殊到一般的方法同学们要好好体会。
教师：你还可以提出一些什么新问题？
在经过教师的提示后，学生提出一些新问题，教师指出提出新问题的过程就是把原问题拓广的过程。
（二）解决问题
问题二：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
学生独立思考后，
学生甲：设给定的正方形边长为，面积为。若周长倍增，即边长变为，则面积应为；
学生乙：设给定的正方形边长为，面积为。若面积倍增，即面积变为，则其边长应为，即周长变为原来的倍。
结论：不存在这样的正方形！
教师：你能把这个问题拓广吗？
在学生拓广后，提出问题三。
问题三：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
学生1（不假思索的）：一定不存在，因为当一个矩形的长和宽都是已知矩形的2倍时，它的面积一定是已知矩形的4倍。
学生2：学生1回答的不对，因为当一个矩形的周长是已知矩形的2倍时，不一定是它的长和宽都是已知矩形的2倍，所以不能这么轻率地下结论。
此时教师通过《几何画板》所制作的一个动画来演示“当一个矩形的周长是已知矩形的2倍时，不一定是它的长和宽都是已知矩形的2倍”的情形。
教师：学生2说得很好，那么怎么解决这个问题呢？
学生先独立思考，感到有一定难度，教师指出：我们可以先按照解决问题一的方式来试一试，先取一个特殊的矩形，看一看是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
下面把每四个学生分成一个小组，让学生们自己确定已知矩形的长和宽，看一看是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
等大部分小组完成后，教师请一些小组派一个代表上来说出自己的研究结果（用实物投影展示），等学生们说完，教师再提出问题：你们猜想问题三的结论是什么呢？
学生答：猜想是一定存在这样的矩形！
教师：你会证明你的猜想吗？
学生先独立思考，再与同座交流。教师请学生口答，并把过程板书在黑板上。
当已知矩形的长和宽分别是n和m时，设所求矩形的长为x，则宽为。根据题意，得
即
解得，
所以，所求矩形的长和宽分别为和。
结论：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
（三）归纳提炼
1．通过对今天三个问题的研究，你感悟到了什么样的处理问题的策略和方法？
2．从关于正方形的问题二到关于矩形的问题三是我们把问题拓广的过程，你还能再把这类问题拓广吗？
（四）课后思考
1．选择一个我们拓广后的问题并尝试解决。
2．思考问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
教学设计说明
1．本课题学习（第一课时）中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的2倍。探究活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学。
2．本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
3．设计问题一的目的主要是希望通过这个简单问题的解决，让学生经历一个由探索到猜想经过证明最终得到结论的过程，感受由特殊到一般的数学思想方法，并为下面学生解决较难的问题三指引好方向。
4．在整个课堂教学中，学生的学习方式主要有独立思考、同座两人合作学习、四人小组合作学习，针对不同问题让学生采用不同的学习方式；教师始终是一个引导者、启发者，教学时为学生提供进行充分思考和交流的时间。
5．由于问题解决需要综合运用有关知识和方法，应该说并不是所有学生都能完整的解决问题三的。但是，在教师的引导下，每一个学生都经历了一个“考察特殊、简单的情形——猜想——证明一般情况——问题拓广”的过程，在这个过程中都不同程度的体会到了由特殊到一般的解决问题的思想和方法，这不正是《课标》所希望的“不同的学生得到不同的发展”吗？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网

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