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13.1.2线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质与判定
知识要点：
线段垂直平分线上的点与这条线段??
的距离相等.
2．与线段??
??的点在这条线段的垂直平分线上.
易错点睛：
已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，下列结论：①OA＝OB，②PO⊥AB，③∠APO＝∠BPO，④点P在线段AB的垂直平分线上.其中结论正确的序号有??
??
典型例题：
题型一
线段垂直平分线的性质的应用
1．求线段长
如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15，则AE的长为（?
?)
A.3
B.4
C.6
D.8
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧．若BC＝6cm，则ΔADE的周长是(
?)?
A.3cm
B.12cm
C.9?cm
D.6cm
第1题
第2题
2、［教材P62练习T1变式题］如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上．若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为(
?)?
A.3cm
B.6cm
C.9?cm
D.12cm
2.证明角相等
例2、如图，AB＝CD，点E在线段AC，BD的垂直平分线上.求证：∠ABE＝∠CDE.?
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，O为对角线AC的中点，过点0作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，连接AF.求证：AE=AF.?
题型二、线段垂直平分线的判定
例3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.?
变式练习：
如图，AD与BC相交于点0，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
如图，在RtΔABC中，∠C＝90°∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AB.求∠B的度数.
基础练习：
如图所示，AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AB=AC,②∠B=∠C,③∠BAD=∠CAD,④BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°．其中结论正确的个数有（?
)
A．1个
B．2个
C．3个
?D．4个
2、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数：_______
第1题
第2题
第3题
第4题
如图，在ΔA.0BC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则ΔACE的周长为
?
4、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，ΔABD的周长为13，则ΔABC的周长为??
5、如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40和24，求AB的长．
6、如图，点D在ΔABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段?AC?的垂直平分线上.
7、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE＝AC．
8、如图，直线AC是线段BD的垂直平分线，垂足为E.求证：∠ABC＝∠ADC.
综合探究
如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长．
答案：
知识要点：
1.线段垂直平分线上的点与这条线段??两个端点
的距离相等.
2．与线段??两个端点距离相等??的点在这条线段的垂直平分线上.
易错点睛：
已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，下列结论：①OA＝OB，②PO⊥AB，③∠APO＝∠BPO，④点P在线段AB的垂直平分线上.其中结论正确的序号有??
??
【点睛】??易出现如图的错误.
典型例题：
题型一
线段垂直平分线的性质的应用
1．求线段长
如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15，则AE的长为（??)
A.3
B.4
C.6
D.8
解析：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，AE＝CE.
∵ΔABC的周长为23，ΔABD的周长为15，
∴AB+AC+BC=23,AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15.
∴.AC=23-15=8.,∴AE=AC=4.?
答案：B
变式练习：
如图，在ΔABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧．若BC＝6cm，则ΔADE的周长是(
D?)?
A.3cm
B.12cm
C.9?cm
D.6cm
第1题
第2题
2、［教材P62练习T1变式题］如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上．若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为(
C?)?
A.3cm
B.6cm
C.9?cm
D.12cm
2.证明角相等
例2、如图，AB＝CD，点E在线段AC，BD的垂直平分线上.求证：∠ABE＝∠CDE.?
证明：如图，连接AE，CE.
∵点E在线段AC，BD的垂直平分线上，
∴AE=CE,BE=DE.
在ΔABE和ΔCDE中：AB=CD,AE=CE,BE=DE
∴ΔABE≌ΔCDE(SSS)·∴∠ABE=∠CDE.
变式练习：
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，O为对角线AC的中点，过点0作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，连接AF.求证：AE=AF.?
证明：∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF.?
在ΔAOE和ΔCOF中，
∠OAE=∠OCF,?
OA=OC,?
∠AOE=∠COF,
∴ΔAOE≌ΔCOF(ASA)·∴OE=OF.
又AC⊥EF，∴AC垂直平分EF·∴AE＝AF．
题型二、线段垂直平分线的判定
例3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.?
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°.
在RtΔAED和RtΔAFD中，
AD=AD,
DE=DF,
∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL).?
∴AE=AF.?
又DE＝DF，
∴点A，D都在EF的垂直平分线上．
∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.
变式练习：
如图，AD与BC相交于点0，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
证明：在ΔAOB和ΔCOD中：
∠A=∠C,
OA=OC,
∠AOB=∠COD,
ΔAOB≌ΔCOD(ASA).
∴OB=OD.
∴0在线段BD的垂直平分线上。
∴BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上。
∴OE是线段BD的垂直平分线，即OE垂直平分BD.
如图，在RtΔABC中，∠C＝90°∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE垂直
平分AB.求∠B的度数.
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD,∠AED=∠BED=90°
在RtΔADE和RtΔBDE中：
AD=BD,
DE=DE,
∴RtΔADE≌RtΔBDE(HL).
∴∠DAE=∠B·∵∠C=90°,
∴∠CAB＋∠B＝90°∴AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAE·∴2∠DAE+∠B=2∠B+∠B=3∠B=90°·∴∠B=30°.
基础练习：
如图所示，AD是线段BC的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AB=AC,②∠B=∠C,③∠BAD=∠CAD,④BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°．其中结论正确的个数有（?D
)
A．1个
B．2个
C．3个
?D．4个
2、如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数：___300_____
第1题
第2题
第3题
第4题
3、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则ΔACE的周长为
11?
4、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，若AE＝3，ΔABD的周长为13，则ΔABC的周长为??19
5、如图，在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40和24，求AB的长．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16（cm）．
故答案为：16．
6、如图，点D在ΔABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段?AC?的垂直平分线上.
7、如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段
CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB的补角是110°．求证：BE＝AC．
证明：如图，连接AE.
∵∠ACB的补角是110°。
∴∠ACB=180°-110°=70°
∵∠DAC=20°,∴∠DAC+∠ACD=90°
∴∠ADC=90°,∴AD⊥EC.
又D为线段CE的中点，
∴DE＝DC，∴AD垂直平分CE，∴AE＝AC.
∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC.
8、如图，直线AC是线段BD的垂直平分线，垂足为E.求证：∠ABC＝∠ADC.
证明：∵直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB=AD,BC=DC.
在ΔABC和ΔADC中，
AC=AC,???????????
AB=AD,
BC=DC,
∴ΔABC≌ΔADC(SSS).∴∠ABC=∠ADC.
综合探究
如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长．
解：（1）BE＝CF．理由如下：如图，连接BD，CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，?
∴∠EAD=∠FAD,DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.?
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD.?
在RtΔBED和RtΔCFD中，
BD=CD,?
DE=DF,?
∴RtΔBED≌RtΔCFD（HL）.
∴BE=CF.
（2）在ΔAED和ΔAFD中，?∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,?AD=AD,?
∴ΔAED≌ΔAFD（AAS）．
∴AE=AF.
∵AB=AE+BE=8,AC=AF-CF=AE-BE=6,
∴AB+AC=2AE=14,
∴AE=7.
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