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1.5三角形全等的判定(4)
教案
课题
1.5三角形全等的判定(4)
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解并掌握全等三角形“角角边”判定定理推理，能运用它进行简单证明；2.理解并掌握角平分线的性质定理．
重点
本节教学的重点是两个三角形全等的条件：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
难点
例7需要添加辅助线，证明的思路较复杂，是本节教学的难点。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?
如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?议一议如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”中的条件吗？【做一做】如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，其中60°角所对的边为2cm。(1)如果80°角所对的边是2
cm,你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
(2)如果60°角所对的边是2
cm,你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
【思考】通过刚才的画图，你能得到什么结论？
下面给出证明.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，BC=B'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.【总结归纳】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成
“角角边”或“AAS”.几何语言：___________________________________________________________________________________________________________________________
思考自议
讲授新课
提炼概念三、典例精讲例6
已知：如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C.
求证：PB=PC.角平分线上的点到角两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.例7
已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
判定两个三角形全等，先根据已知条件和求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
课堂检测
四、巩固训练1.下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是
(　
　)
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DE
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长1.D2.已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD.
(1)求证：△ABD≌△EBC；
(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．解：(1)证明：∵∠ABD＝∠1＋∠EBD，∠EBC＝∠2＋∠EBD，∠1＝∠2.∴∠ABD＝∠EBC.
∴△ABD≌△EBC(AAS)；
(2)从中还可得到AB＝EB，∠BAD＝∠BEC.3.直角△ABC中，∠C＝90°，AD
平分∠CAB交BC于D，
DE⊥AB于E，若AC＝6，
BC＝8，AB＝10，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积．
解：(1)∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，
∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，
又∵AD为公共边，∴△ACD≌△AED，
∴CD＝DE，∵CD＝3，∴DE＝3；
(2)∵AB＝10，4.如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
课堂小结
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1.5三角形全等的判定(4)
浙教版
七年级上
新知导入
情境引入
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?
如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
3
2
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
合作学习
议一议
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？
你能将它转化为“做一做”中的条件吗？
【做一做】
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，其中60°角所对的边为2cm。
2cm
80°
60°
2cm
80°
60°
画的三角形全等
【做一做】
(2)如果60°角所对的边是2
cm,你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
【思考】
通过刚才的画图，你能得到什么结论？
2cm
80°
60°
2cm
80°
60°
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
提炼概念
下面给出证明.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，BC=B'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'(已知），
∠A+∠B+∠C=∠A'+∠B'+∠C'=180°，
∴∠C=∠C'.
在△ABC和△A'B'C'中，
∠B＝∠B',
∵
BC＝B'C'
，
∠C＝∠C'
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
典例精讲
新知讲解
例6
已知：如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C.
求证：PB=PC.
证明
∵PB⊥AB，PC⊥AC(已知），
∴∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义）.
在△APB和△APC中，
∠PAB＝∠PAC,
∠ABP＝∠ACP
，
AP＝AP(公共边)
∴△APB≌△APC(AAS).
∴PB=PC.
∵
角平分线上的点到角两边的距离相等.
符号语言:
因为OC平分∠AOB,
CD⊥OA,CE⊥OB,
所以CD=CE.
B
E
O
D
C
A
【总结归纳】
归纳概念
【总结归纳】
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D,
∠B＝∠E
，
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF(AAS).
几何语言：
A
B
C
D
E
F
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成
“角角边”或“AAS”.
（AAS）
A
B
C
D
E
F
角角边的情形包括：
两角和其中一角的对边对应相等
例7
已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
分析
由AB∥CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理知，它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段.
证明
如图，作PE⊥BC于点E.
AB∥CD(已知），∴∠BAD+∠CDA=180°
∵AD⊥AB.
∴∠BAD=90°(垂直的定义）.
∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°.
∴AD⊥CD(垂直的定义）.
∵PB平分∠ABC(已知），
∴PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等）.
同理，PD=PE.
∴PA=PE=PD.
课堂练习
1.下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是
(　
　)
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DE
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周
长
D
2.已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD.
(1)求证：△ABD≌△EBC；
(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．
解：(1)证明：∵∠ABD＝∠1＋∠EBD，∠EBC＝∠2＋∠EBD，∠1＝∠2.∴∠ABD＝∠EBC.
∴△ABD≌△EBC(AAS)；
(2)从中还可得到AB＝EB，∠BAD＝∠BEC.
3.直角△ABC中，∠C＝90°，AD
平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AC＝6，
BC＝8，AB＝10，CD＝3.
(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．
解：(1)∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，
∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，
又∵AD为公共边，∴△ACD≌△AED，
∴CD＝DE，∵CD＝3，∴DE＝3；
(2)∵AB＝10，
4.如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．
证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
课堂总结
SSS
SAS
ASA
AAS
两个三角形全等
的判定定理
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1.5三角形全等的判定(4)学案
课题
1.5三角形全等的判定(4)
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解并掌握全等三角形“角角边”判定定理推理，能运用它进行简单证明；2.理解并掌握角平分线的性质定理。
重点
本节教学的重点是两个三角形全等的条件：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
难点
例7需要添加辅助线，证明的思路较复杂，是本节教学的难点。
教学过程
导入新课
【引入思考】
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?
如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?议一议如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“做一做”中的条件吗？【做一做】如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，其中60°角所对的边为2cm。(1)如果80°角所对的边是2
cm,你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
(2)如果60°角所对的边是2
cm,你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
【思考】通过刚才的画图，你能得到什么结论？
下面给出证明.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，BC=B'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.【总结归纳】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成
“角角边”或“AAS”.几何语言：___________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
例6
已知：如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C.
求证：PB=PC.总结归纳】______________________________________________________________________________
符号语言:_______________________________________例7
已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
课堂练习
巩固训练1.下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是
(　
　)
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DE
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周
长2.已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD.
(1)求证：△ABD≌△EBC；
(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．4.如图，E、D分别是AC、AB上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N．
求证：A、M、N在一条直线上．答案引入思考提炼概念典例精讲
例6角平分线上的点到角两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.例7巩固训练D2.解：(1)证明：∵∠ABD＝∠1＋∠EBD，∠EBC＝∠2＋∠EBD，∠1＝∠2.∴∠ABD＝∠EBC.
∴△ABD≌△EBC(AAS)；
(2)从中还可得到AB＝EB，∠BAD＝∠BEC.4.证明：过点N作NF⊥AB于F，NH⊥ED于H，NK⊥AC于K；过点M作MJ⊥BC于J，MP⊥AB于P，MQ⊥AC于Q．
∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC，
∴NF=NH，NH=NK，
∴NF=NK，
∴N在∠A的平分线上．
∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB
∴MP=MJ，MQ=MJ，
∴MP=MQ，
∴M在∠A的平分线上．
∵M、N都在∠A的平分线上，
∴A、M、N在一条直线上．
课堂小结
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精品试卷·第
2
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（共
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