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专题12
空间向量与立体几何
重点题型
题型一、空间几何体的结构及其表面积、体积的计算
1.空间几何体的结构（熟悉）
（1）棱柱：按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.特点：
①底面互相平行.
②侧面都是平行四边形.?
③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.
（2）棱锥：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.特点：
①底面是多边形.
②侧面都是三角形.
③侧面有一个公共顶点.
（3）棱台：可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥.特点：
①上、下底面互相平行，且是相似图形.
②各侧棱的延长线交于一点.
③各侧面为梯形.
（4）圆柱：可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.特点：
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
（5）圆锥：可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.特点：
①底面是圆面.
②有无数条母线，长度相等且交于顶点.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.
（6）圆台：可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.特点：
①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.
②有无数条母线，等长且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.
（7）球：可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.特点：
①球心和截面圆心的连线垂直于截面.
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.
2.表面积体积公式
（1）表面积：就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
（2）体积：
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高)，
(r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
（3）球的表面积和体积（重要）
设球的半径为R，则其表面积公式为，体积公式为.
常见的关于球的切接问题：
①若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
②若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
③若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
⑤球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
题型二、空间线面位置关系的判断与证明
1.判断位置关系时常用公理和定理或结论：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
唯一性定理：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.判断或证明平行关系常用定理：
（1）如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
简记为：线线平行?线面平行.
（2）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
简记为：线面平行?面面平行.
（3）如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
简记为：线面平行?线线平行.
（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
简记为：面面平行?线线平行.
（5）垂直于同一个平面的两条直线平行.
（6）结论：
①如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
②如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．
③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
⑤两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑥如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
⑦如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
⑧如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
3.判断或证明垂直关系常用定理：
（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记为：线线垂直?线面垂直.
（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
简记为：线面垂直?面面垂直.
（3）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
简记为：面面垂直?线面垂直.
（4）结论：
①若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
②若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
③过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
④过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
⑥如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
题型三、空间角的求解
1．异面直线所成的角（范围：）
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
异面直线所成角的范围是.求异面直线所成的角的常见策略：
(1)求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
(2)求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
2．直线与平面所成的角（范围：）
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
3．二面角（范围：）
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.求二面角的步骤：
①一作：即根据定义作出平面角，作平面角时，一定要注意顶点的选择．
②二证：即证明作出的角是所求二面角的平面角；
③三求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小．
题型四、空间向量的应用（熟练）
1.空间向量的坐标运算
设，则，
，，
，
，
，
.
2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）线线平行：若，则；
线面平行：若，则；
面面平行：若，则.
（2）线线垂直：若，则；
线面垂直：若，则；
面面垂直：若，则.
3.利用空间向量求空间角
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）直线所成的角为，则，计算方法：；
（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；
（3）平面所成的二面角为，则，计算方法：|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4.利用空间向量求距离
（1）两点间的距离
设点，为空间两点，
则两点间的距离.
（2）点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为.
考点集训
一、单选题
1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A．
2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若，，则；
③若，，则，；④若，则；
则真命题为（
）
A．②③
B．③④
C．②
D．②④
【答案】C
【解析】若，有可能，①不对；
若，，则平面内存在一条直线，可得，则，②正确；
若，，则以及都可能相交，如三棱柱的三个侧面，③不对；
若，则有可能相交，④不对；故选C.
3．已知正四棱锥V?ABCD的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球的体积为(
)
A．72π
B．36π
C．9π
D．
【答案】B
【解析】由题意知正四棱锥的高为＝4，设其外接球的半径为R，则R2＝(4－R)2＋(2)2，解得R＝3，所以外接球的体积为πR3＝π×33＝36π.故选B．
4．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB＝AD，E，F分别为BB1，AB的中点，则（
）
A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DF
B．A1C1//平面DEF且A1C1与DF不垂直
C．A1C1与平面DEF相交且A1C1⊥DF
D．A1C1与平面DEF相交且A1C1与DF不垂直
【答案】C
【解析】延长DF、CB相交于点M，连接ME并延长，因为点E、F分别是BB1，AB的中点，所以，所以M、E、C1三点共线，所以AC1与平面DEF相交不平行，A1C1与平面DEF相交不平行，故A、B选项不正确；
对于C、D：连接AC与FD相交于点O，因为AB＝AD，F是AB的中点，所以，
又，所以，所以，，又，所以，所以，所以，又，所以，故C正确，D不正确，故选C.
5．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图：∵平面，∴是与底面所成角，∴，∵底面，∴是与底面所成的角，∴，连接，，则.
∴或其补角为异面直线与所成的角.不妨设，则，，，∴，.在等腰中，，所以异面直线和所成角的余弦值为.故选C.
6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.由?∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC,
,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
所以,∴，故选D.
7．已知四棱锥的底面为平行四边形，是棱上靠近点的三等分点，是的中点，平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将棱锥补全成棱柱，作，且，因为四边形为平行四边形，所以，且，所以，且，因为是的中点，所以延长必过点，连接交于，此时四点共面，因为四边形为平行四边形，所以，且，所以，又因为是棱上靠近点的三等分点，所以，所以，故选D.
8．如图，棱长为2的正方体中，P、Q分别是面对角线与BD上的动点，且，给出下列两个判断：
（1）PQ和始终是异面直线；（2）PQ长的最小值是.
则下列说法正确的是（
）
A．（1）正确，（2）错误
B．（1）错误，（2）正确
C．（1）正确，（2）正确
D．（1）错误，（2）错误
【答案】B
【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系.
设，则，，.所以，
设平面的法向量为，所以.
设平面的法向量为，所以.
如果PQ和共面，则平面和平面重合，所以
所以.所以PQ和始终是异面直线错误；
（2）由题得，因为，所以时，PQ长的最小值是.
所以（1）错误，（2）正确.
故选B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．若直线a在平面外，则
B．若平面平面，平面，则
C．若直线直线b，平面，那么直线a平行于平面内的无数条直线
D．平面内有无数多条直线与平面平行，则
【答案】BC
【解析】直线a在平面外，包含，及与相交，A错；
平面平面，则无公共点，平面，与无公共点，则，B正确；
平面，内有无数条直线与平行，它们也都与平行，C正确；
设，则内有无数条直线与平行，这无数条直线与平行，D错误．故选BC．
10．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则(
)
A．平面BCF⊥平面ADF
B．EF⊥平面DAF
C．△EFC为直角三角形
D．VC?BEF∶VF?ABCD＝1∶4
【答案】AD
【解析】因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF，所以平面BCF⊥平面ADF，
由题意可知，平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥F?ABCD，V三棱锥F?CBE.过点F作FG⊥AB于点G，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FG?平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD．所以V四棱锥F?ABCD＝×1×2×FG＝FG，V三棱锥F?BCE＝V三棱锥C?BEF＝×S△BEF×CB＝××FG×1×1＝FG，由此可得V三棱锥C?BEF∶V四棱锥F?ABCD＝1∶4.
11．如图，在正方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法正确的有（
）
A．直线与直线共面
B．
C．二面角的大小为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】连接，显然，而直线与平面相交于点，且不在直线上，
直线与直线异面，则直线与直线异面，选项错误；
在正方体中，显然，选项正确；
显然平面不垂直平面，即二面角的大小不为，选项错误；
直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设为，正方体边长为2，则，
设点到平面的距离为，则，即，解得，
，选项正确．故选BD．
12．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（
）
A．平面
B．异面直线与所成角的大小是
C．球O的表面积是
D．点O到平面的距离是
【答案】ACD
【解析】如图，由题意可知，因为平面，平面，所以平面，故A正确；
因为，所以是异面直线与所成的角，因为，所以，所以，故B错误；
设外接圆的圆心为，连接，由题意可得，，则球的半径，从而球的表面积是，故C正确；
设外接圆的半径为，由题意可得，则，由正弦定理可得，则点到平面的距离，故D正确.故选ACD．
三、填空题
13．已知平面α和平面β的法向量分别为，且α⊥β，则x＝________.
【答案】
【解析】，故答案为：
14．等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为________．
【答案】
【解析】等边圆柱的表面积为S1＝2πR·2R＋2·πR2＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，∴
＝＝．
15．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，
所以.所以直线A′C与DE所成角的余弦值为.故答案为：
16.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
【答案】
【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
17．已知正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为_______，二面角的余弦值为________．
【答案】
【解析】三棱锥外接球即为正方体的外接球，因为正方体的棱长为1，其体对角线即为外接球的直径，所以，所以，所以外接球的表面积，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
则，，
设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，
设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，
设二面角为，则.故答案为：；.
18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为_______，若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是_______.
【答案】
【解析】延长AM至Q，使得CQ⊥AQ，连接NQ，如图，
由于ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，正方体中有平面，平面，所以，即，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以∠NQC为二面角C﹣AM﹣N的平面角，
而，故，
∴，∴；
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(m，2，n)（0≤m，n≤2），A(2，0，0)，M(1，2，0），N(0，2，1），A1(2，0，2），则，，设平面AMN的一个法向量为，则，故可取，
又PA1∥平面AMN，∴，
∴点P的轨迹为经过BB1，B1C1中点的线段，
根据对称性可知，当点P在两个中点时，，当点P在两个中点连线段的中点时，，故选段PA1的长度范围是．故答案为：，．
四、解答题
19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
（1）求证：平面BDM∥平面EFC；
（2）若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．
【解析】（1）如图，设AC与BD交于点N，
则N为AC的中点，连接MN，
又M为棱AE的中点，
∴MN∥EC．
∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，
∴MN∥平面EFC．
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，
∴BF∥DE且BF＝DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，
∴BD∥平面EFC．
又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，
∴平面BDM∥平面EFC．
（2）连接EN，FN.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．
又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，
∴AC⊥平面BDEF，
又N是AC的中点，
∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，
∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝，
∴三棱锥A－CEF的体积为.
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
【解析】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
（1）因为是的中点，所以的坐标为，
所以，
又因为，
所以，
所以，即有；
（2）因为底面是正方形，所以，
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，，，
所以平面的一个法向量为，
因为，
所以，所以平面平面.
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
【解析】（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），
∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），
设平面B1C1E的法向量(u，v，w），
则，取u＝1，得(1，0，﹣1），
∴点B到平面B1C1E的距离为：
d．
（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），
∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），
设平面CC1E的法向量(x，y，z），
则，取x＝1，得(1，﹣1，0），
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ，∴sinθ，
∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．
22．如图，四棱锥中，底面，，，，，E为棱上的点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
【解析】（1）由题意，以D为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量，则，取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，
因为，所以平面平面.
（2）因为，
所以，可得，所以，
因为底面，，
所以到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为.
23．如图，已知在正三棱柱中，，，D，E分别在与上，，.
（1）在线段BE上找一点Р使得平面，并写出推理证明过程；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】（1）取中点，中点，连接，
所以，，
因为，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，，
由正三棱柱知为等边三角形，平面，
所以，，
又，
所以平面，
所以平面.
（2）由（1）可知两两垂直，
所以以为坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，
由（1）知：平面，故平面的法向量，
设平面的法向量，
则即
取，
则，
又因为二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
24．如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．
（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．
【解析】（1）点F为BC的中点，
理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，
∵AD＝CD，∴OA＝OC，
∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，
取AC的中点H，连接
EH，由题意知EH⊥AC，
又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，
∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，
∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，
取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，
又OF?平面EAC，AC?平面EAC，∴OF∥平面EAC，
∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，
∵DF?平面DOF，∴DF∥平面EAC．
（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，
以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），
∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），
设平面EBC的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝，则＝（，0，﹣1），
设直线与平面EBC所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．
25．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线和所成角；
（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.
【解析】（1）∵，，
∴，
∵平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面.
（2）∵，，
∴，，
如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,
∵，，，，
∴，，
∵，
∴异面直线和所成角为.
（3）设为平面的法向量，
∵，，
∴，即，
设，，
∴，
设与平面所成角为，
∵，
∴，
，
，
，
（舍），，
∴的长为.
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专题12
空间向量与立体几何
重点题型
题型一、空间几何体的结构及其表面积、体积的计算
1.空间几何体的结构（熟悉）
（1）棱柱：按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.特点：
①底面互相平行.
②侧面都是平行四边形.?
③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.
（2）棱锥：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.特点：
①底面是多边形.
②侧面都是三角形.
③侧面有一个公共顶点.
（3）棱台：可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥.特点：
①上、下底面互相平行，且是相似图形.
②各侧棱的延长线交于一点.
③各侧面为梯形.
（4）圆柱：可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.特点：
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
（5）圆锥：可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.特点：
①底面是圆面.
②有无数条母线，长度相等且交于顶点.
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.
（6）圆台：可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.特点：
①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.
②有无数条母线，等长且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.
（7）球：可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.特点：
①球心和截面圆心的连线垂直于截面.
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.
2.表面积体积公式
（1）表面积：就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
（2）体积：
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高)，
(r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
（3）球的表面积和体积（重要）
设球的半径为R，则其表面积公式为，体积公式为.
常见的关于球的切接问题：
①若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
②若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
③若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
⑤球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
题型二、空间线面位置关系的判断与证明
1.判断位置关系时常用公理和定理或结论：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
唯一性定理：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.判断或证明平行关系常用定理：
（1）如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
简记为：线线平行?线面平行.
（2）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
简记为：线面平行?面面平行.
（3）如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
简记为：线面平行?线线平行.
（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
简记为：面面平行?线线平行.
（5）垂直于同一个平面的两条直线平行.
（6）结论：
①如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
②如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．
③夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
⑤两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑥如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．
⑦如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
⑧如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
3.判断或证明垂直关系常用定理：
（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记为：线线垂直?线面垂直.
（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
简记为：线面垂直?面面垂直.
（3）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
简记为：面面垂直?线面垂直.
（4）结论：
①若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
②若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
③过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
④过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
⑥如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
题型三、空间角的求解
1．异面直线所成的角（范围：）
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
异面直线所成角的范围是.求异面直线所成的角的常见策略：
(1)求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
(2)求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
2．直线与平面所成的角（范围：）
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
3．二面角（范围：）
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.求二面角的步骤：
①一作：即根据定义作出平面角，作平面角时，一定要注意顶点的选择．
②二证：即证明作出的角是所求二面角的平面角；
③三求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小．
题型四、空间向量的应用（熟练）
1.空间向量的坐标运算
设，则，
，，
，
，
，
.
2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）线线平行：若，则；
线面平行：若，则；
面面平行：若，则.
（2）线线垂直：若，则；
线面垂直：若，则；
面面垂直：若，则.
3.利用空间向量求空间角
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
（1）直线所成的角为，则，计算方法：；
（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；
（3）平面所成的二面角为，则，计算方法：|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4.利用空间向量求距离
（1）两点间的距离
设点，为空间两点，
则两点间的距离.
（2）点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为.
考点集训
一、单选题
1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若，，则；
③若，，则，；④若，则；
则真命题为（
）
A．②③
B．③④
C．②
D．②④
3．已知正四棱锥V?ABCD的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球的体积为(
)
A．72π
B．36π
C．9π
D．
4．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB＝AD，E，F分别为BB1，AB的中点，则（
）
A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DF
B．A1C1//平面DEF且A1C1与DF不垂直
C．A1C1与平面DEF相交且A1C1⊥DF
D．A1C1与平面DEF相交且A1C1与DF不垂直
5．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
7．已知四棱锥的底面为平行四边形，是棱上靠近点的三等分点，是的中点，平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，棱长为2的正方体中，P、Q分别是面对角线与BD上的动点，且，给出下列两个判断：
（1）PQ和始终是异面直线；（2）PQ长的最小值是.
则下列说法正确的是（
）
A．（1）正确，（2）错误
B．（1）错误，（2）正确
C．（1）正确，（2）正确
D．（1）错误，（2）错误
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．若直线a在平面外，则
B．若平面平面，平面，则
C．若直线直线b，平面，那么直线a平行于平面内的无数条直线
D．平面内有无数多条直线与平面平行，则
10．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则(
)
A．平面BCF⊥平面ADF
B．EF⊥平面DAF
C．△EFC为直角三角形
D．VC?BEF∶VF?ABCD＝1∶4
11．如图，在正方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法正确的有（
）
A．直线与直线共面
B．
C．二面角的大小为
D．直线与平面所成角的正弦值为
12．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（
）
A．平面
B．异面直线与所成角的大小是
C．球O的表面积是
D．点O到平面的距离是
三、填空题
13．已知平面α和平面β的法向量分别为，且α⊥β，则x＝________.
14．等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为________．
15．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
16.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
17．已知正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为_______，二面角的余弦值为________．
18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，则二面角C﹣AM﹣N的余弦值为_______，若动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥平面AMN，则线段PA1的长度范围是_______.
四、解答题
19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
（1）求证：平面BDM∥平面EFC；
（2）若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
22．如图，四棱锥中，底面，，，，，E为棱上的点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
23．如图，已知在正三棱柱中，，，D，E分别在与上，，.
（1）在线段BE上找一点Р使得平面，并写出推理证明过程；
（2）求二面角的余弦值.
24．如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．
（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．
25．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线和所成角；
（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.
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