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浙江省宁波市北仑区七校精准教学联盟2021届九年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020九上·北仑期中）如果 ，那么 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
将 代入 得：
故答案为：A.
【分析】由 可用含y的式子表示x，再代入约分即可得出答案.
2．一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
【答案】C
【知识点】随机事件；可能性的大小
【解析】【解答】解：∵摸到红球是随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵摸到黄球是随机事件，
∴选项B不符合题意；
∵白球和黄球的数量相同，
∴摸到白球与摸到黄球的可能性相等，
∴选项C符合题意；
∵红球比黄球多，
∴摸到红球比摸到黄球的可能性大，
∴选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
3．（2020九上·北仑期中）二次函数 的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解： = = ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】利用配方法将解析式配成顶点式，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k)即可直接得出答案.
4．（2020九上·北仑期中）若 ，则二次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ，则抛物线开口向上，
又∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线与y轴交于（0，-1）点，且对称轴
∴D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由a＞0可得开口向上，由a、b符号相同可得对称轴在y轴左侧（左同右异），由c=-1可得抛物线与y轴交于负半轴可得结果.
5．（2020九上·镇海期末）若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（　　）
A．144° B．132° C．126° D．108°
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意得 2π×2＝ ，
解得 n＝144.
故答案为：A.
【分析】利用圆的周长公式求得该弧的长度，然后由弧长公式进行计算.
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC= AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r﹣1）2，
r= ，
故选D．
【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
7．（2020九上·北仑期中）如图， 为 的直径， ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AED=90°-40°=50°，
∴∠ACD=∠AED=50°.
故答案为：B.
【分析】连接AE，由直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=90°，故可得∠AED，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACD的度数.
8．（2020九上·北仑期中）已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论：① ；② ；③当 时， ：④方程 有两个大于-1的实数根.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴，则c＞0，∴ac＜0，故①正确；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，所以 ，故②正确；
③当x＜0时，有部分图象在x的上方，即函数值y不一定小于0，故③错误；
④利用图象与x轴交点都大于-1，故方程 有两个大于-1的实数根，故④正确；
故答案为：B.
【分析】①由图象开口向下可得a＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，根据有理数的乘法法则即可判断①；②由二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，知，从而即可判断②；③由图象可得错误；④利用图象与x轴交点都大于-1，故方程 有两个大于-1的实数根.
9．（2020九上·北仑期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 ， ， 两点之间的距离为 ，圆心角为 ，则图中摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连结CD.
∵OC=OD，∠O=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CO=3cm，
∴OA=OC+AC=15cm，
∴OB=OA=15cm，
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD= = .
故答案为：C.
【分析】 由题可得S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD，扇形的面积公式为 代入即可.
10．（2020九上·北仑期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝ ，BC＝1，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC.
∵∠AOD＝∠BOE，
∴ ，
∴AD＝BE＝ ，
∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝1，
在Rt△ECF中，EC＝ ＝ ，
∵△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝ .
故答案为：C.
【分析】延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC，由对顶角相等可得∠AOD＝∠BOE，由圆心角和弧、弦的关系可得AD＝BE，可证△EBF是等腰直角三角形，即EF＝BF＝1，由勾股定理可得EC＝ 故可得OC的长度.
二、填空题
11．（2020九上·北仑期中）一幅比例尺为 的地图上，某道路的长度为 ，则它的实际长度为　 　 .
【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设实际距离为x厘米，则
1：300000=2：x，
解得：x=600000，
600000厘米=6千米，
故答案为：6.
【分析】设实际距离为x厘米，根据比例尺=图上距离∶实际距离可列方程求解.
12．（2020九上·北仑期中）在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同的红、绿两种颜色的球共15个，从中摸出红球的概率为 ，则袋中绿球的个数为　 　个.
【答案】10
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设共有x个绿球，由题意得： ，
解得：x=10.
故答案为：10.
【分析】设共有x个绿球，由摸出红球的概率=袋中红球的个数∶袋中小球的总数量 ，求解即可.
13．（2020九上·北京期末）在二次函数中 ，y与x的部分对应值如下表：
x ...... -1 0 1 2 3 4 ......
y ...... -7 -2 m n -2 -7 ......
则m、n的大小关系为m　 　n．（填“>”,“=”或“<”）
【答案】=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格知：图象对称轴为：直线x＝ ，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
两点关于直线x＝ 对称，
∴m=n，
故答案为：=．
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，即可得出答案．
14．（2020九上·北仑期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图， 为 的黄金分割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是　 　.
【答案】（ ）cm
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】 解： 为 的黄金分割点 ，
故答案为：（ ）cm.
【分析】利用黄金分割的定义可得，代入即可得结果.
15．（2020九上·北仑期中）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是　 　.
【答案】-2＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 解： 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
当 时，抛物线 在直线 的下方，
即 的解集为-2＜x＜3
故答案为：-2＜x＜3.
【分析】求不等式 的解集，就是求 ＜ 的解集，也就是求抛物线 的图象在直线 的图象的下方自变量的取值范围，结合图象即可求解.
16．（2020九上·北仑期中）如图，四边形 是 的内接四边形，对角线 ， 交于点 ，且 ，若 ，则 等于　 　 .
【答案】125
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：根据题意，
∵在圆中，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△ABE中， ，
∴ ，
在等腰△ABC中， 则
，
∴ ；
故答案为：125.
【分析】由弦、弧、圆周角的关系可得 ，由三角形内角和可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和可得∠C的度数，由同弧所对圆心角是所对圆周角的2倍可得结果.
三、解答题
17．（2020九上·北仑期中）
（1）已知线段 是线段 、 的比例中项，如果 ， ，求 的长度.
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意得： ，即 ，
将 代入得： ，
解得 ；
（2）解：由 得： ，
整理得： ，即 ，
解得 .
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）由比例性质可得结果；
（2）根据比例性质，两内项之积等于两外项之积可建立方程，求解即可.
18．（2020九上·北仑期中）如图， 放置于平面直角坐标系中，按下面要求画图：
（1）画出 绕原点 逆时针旋转 的 .
（2）求点 在旋转过程中的路径长度.
【答案】（1）解：如图，连接OA、OB、OC，
作OA1⊥OA，OB1⊥OB，OC1⊥OC，使OA1=OA，OB1=OB，OC1=OC，
顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1即为所求，
（2）解：∵旋转角为90°，
∴∠AOA1=90°，
∵ ，
∴点 路径长= = = .
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得点A、B、C 绕原点O逆时针旋转90°的对应点A1,B1,C1，再顺次连接即可；
（2） 点A在旋转过程中的路径长度即为 的长度，代入弧长公式即可.
19．（2020九上·北仑期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏： ， 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表的方式说明理由.
【答案】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种，
∴ ， ，
∵ ，
∴这个游戏对双方是公平的.
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图可知所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种， 根据概率公式分别求出小颖去与小亮去的概率，再比大小即可得出答案.
20．（2020九上·北仑期中）如图，已知抛物线 与坐标轴交于 ， ， 三点，其中 ， .
（1）求该抛物线的表达式；
（2）根据图象，写出 时， 的取值范围；
（3）平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方式及平移后的函数表达式.
【答案】（1）解：将点 、点 代入 可得：
，
解得：
∴该抛物线的表达式 .
（2）解：将y=0代入解析式 ，
解得：x=﹣1或x＝3
∵A（﹣1，0）
∴ ，
结合图象可知，当 时， .
（3）解：∵抛物线的表达式
∴抛物线的对称轴为x=1
将x=1代入解析式可得y=4，
∴顶点 ，
∴当抛物线向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度时，顶点恰好落在原点，此时抛物线的表达式为 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把A、C两点代入解析式得出关于b，c的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）令 y=0 可得图象与x轴的两个交点，求y＞0时，自变量的取值范围，就是求x轴上方图象自变量的取值范围，结合图象可得结果；
（3）把原解析式改为顶点式即，平移后顶点坐标为（0，0）根据抛物线平移：上下平移，上+下-在y轴；左右平移，左+右-在x轴可得结果.
21．（2020九上·北仑期中）如图， 内接于 ，且 ， 是 上的一点， 在 的延长线上，连结 交 于 ，连结 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明：如下图
∵
∴
又∵ ，
∴ ，即 平分 .
（2）证明：∵
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由同弧所对圆周角相等可得 ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得 ，故 可得结果；
（2）由等边对等角、同弧所对圆周角相等、对顶角相等可得 ，且 可得两个三角形相似.
22．（2020九上·北仑期中）为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 ，
由题意，得 ，
解得： ， （舍去）.
答：平均每年的增长率为 .
（2）解：设每千克的平均销售价为 元，由题意得：
∴当 时， .
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设平均每年的增长率为 ，根据用一元二次方程求百分率问题公式，其中a代表原式数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可，特别地，一元二次方程的实际运用，要检验根是否符合实际问题的解；
(2)设每千克的平均销售价为 元 ，则单个利润为（m-30）元，所售数量为[200+50（m-40）]千克，根据总利润=单个利润×数量，可得关于m的二次函数，由a＜0可得开口向下，可得最值为顶点处，可得最大利润.
23．（2020九上·北仑期中）矩形 的一边长 ，且 ，以边 为直径的 交对角线 于 ， ，如图，点 为下半圆上一点.
（1）求 的度数；
（2）求 的长；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若圆上到直线 距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段 的长.
【答案】（1）解：连接 ，
∵ 为 的直径
∴
∵ ，
∴
∴ .
（2）解：∵四边形 是矩形
∴
又
∴
∴ .
（3）解：过 作 于 ，则
∵ ，
∴
∴图中阴影部分的面积
（4）解：过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径=2，则PQ=OQ=1，
∵OA=2，
∴AQ= ，
∴AK=2AQ=2 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1） 连接 ， 由直径所对的圆周角的直角可得 ，可得 故可得 的度数；（2）由四边形 是矩形 可得 ，由（1）可得∠ACB=30°可得 ，故可得CH的长度；
（3）由（1）可得∠AOH=60°， 过 作 于 ，则 ，则阴影部分的面积 =S△ADC-S弓形AM；
（4） 过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P， 解直角三角形即可.
24．（2020九上·北仑期中）如图， 点为 轴正半轴上一点， 交 轴于 、 两点，交 轴于 、 两点， 点为劣弧 上一个动点，连接 ， ，且 ， .
（1）如图1，求点 的坐标和 的度数；
（2）如图2，若 平分 交 于 点，当 点在运动时，线段 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；
（3）如图3，连接 ，当 点在运动时（不与 、 两点重合），求 的值.
【答案】（1）解：如图1，连接 ，则 ，
图1
∵ ，
∴
故点 的坐标为 ，同时可得 ，
∴
（2）解：不发生变化.
如图2，连接 ，则 ，
图2
∵ ， ，
∵ 平分 ，则 ，
则
∴
∵AE=CE， ，
∴三角形ACE为等边三角形
∴AQ=2
（3）解：如图3，在 的延长线上截取 ，则 ，
连接 ，
图3
在 和 中
∴ ，得 ， ，
∵CD⊥AE
∴AC=AD
由（2）可知∠CAE=60°
∴∠CAD=2∠CAE=120°
∴∠MAP=120°
则 是以 为底角的等腰三角形，
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1） 连接 ， 可得 ，由勾股定理可得 可得点C的坐标；
（2） 连接 ，由同弧所对的圆周角相等可证 ，故AC的值是一个定值；
（3） 在 的延长线上截取 ，则 ，连接 ，由全等三角形的对应边相等可得关系.
1 / 1浙江省宁波市北仑区七校精准教学联盟2021届九年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020九上·北仑期中）如果 ，那么 （　　）
A． B． C． D．
2．一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和1个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到黄球是不可能事件
C．摸到白球与摸到黄球的可能性相等
D．摸到红球比摸到黄球的可能性小
3．（2020九上·北仑期中）二次函数 的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020九上·北仑期中）若 ，则二次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020九上·镇海期末）若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（　　）
A．144° B．132° C．126° D．108°
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．3 D．
7．（2020九上·北仑期中）如图， 为 的直径， ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020九上·北仑期中）已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论：① ；② ；③当 时， ：④方程 有两个大于-1的实数根.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
9．（2020九上·北仑期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 ， ， 两点之间的距离为 ，圆心角为 ，则图中摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·北仑期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝ ，BC＝1，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·北仑期中）一幅比例尺为 的地图上，某道路的长度为 ，则它的实际长度为　 　 .
12．（2020九上·北仑期中）在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同的红、绿两种颜色的球共15个，从中摸出红球的概率为 ，则袋中绿球的个数为　 　个.
13．（2020九上·北京期末）在二次函数中 ，y与x的部分对应值如下表：
x ...... -1 0 1 2 3 4 ......
y ...... -7 -2 m n -2 -7 ......
则m、n的大小关系为m　 　n．（填“>”,“=”或“<”）
14．（2020九上·北仑期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图， 为 的黄金分割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是　 　.
15．（2020九上·北仑期中）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是　 　.
16．（2020九上·北仑期中）如图，四边形 是 的内接四边形，对角线 ， 交于点 ，且 ，若 ，则 等于　 　 .
三、解答题
17．（2020九上·北仑期中）
（1）已知线段 是线段 、 的比例中项，如果 ， ，求 的长度.
（2）已知 ，求 的值.
18．（2020九上·北仑期中）如图， 放置于平面直角坐标系中，按下面要求画图：
（1）画出 绕原点 逆时针旋转 的 .
（2）求点 在旋转过程中的路径长度.
19．（2020九上·北仑期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏： ， 是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表的方式说明理由.
20．（2020九上·北仑期中）如图，已知抛物线 与坐标轴交于 ， ， 三点，其中 ， .
（1）求该抛物线的表达式；
（2）根据图象，写出 时， 的取值范围；
（3）平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方式及平移后的函数表达式.
21．（2020九上·北仑期中）如图， 内接于 ，且 ， 是 上的一点， 在 的延长线上，连结 交 于 ，连结 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求证： .
22．（2020九上·北仑期中）为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.
（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
23．（2020九上·北仑期中）矩形 的一边长 ，且 ，以边 为直径的 交对角线 于 ， ，如图，点 为下半圆上一点.
（1）求 的度数；
（2）求 的长；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若圆上到直线 距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段 的长.
24．（2020九上·北仑期中）如图， 点为 轴正半轴上一点， 交 轴于 、 两点，交 轴于 、 两点， 点为劣弧 上一个动点，连接 ， ，且 ， .
（1）如图1，求点 的坐标和 的度数；
（2）如图2，若 平分 交 于 点，当 点在运动时，线段 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；
（3）如图3，连接 ，当 点在运动时（不与 、 两点重合），求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
将 代入 得：
故答案为：A.
【分析】由 可用含y的式子表示x，再代入约分即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】随机事件；可能性的大小
【解析】【解答】解：∵摸到红球是随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵摸到黄球是随机事件，
∴选项B不符合题意；
∵白球和黄球的数量相同，
∴摸到白球与摸到黄球的可能性相等，
∴选项C符合题意；
∵红球比黄球多，
∴摸到红球比摸到黄球的可能性大，
∴选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解： = = ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为：B.
【分析】利用配方法将解析式配成顶点式，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k)即可直接得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ，则抛物线开口向上，
又∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线与y轴交于（0，-1）点，且对称轴
∴D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由a＞0可得开口向上，由a、b符号相同可得对称轴在y轴左侧（左同右异），由c=-1可得抛物线与y轴交于负半轴可得结果.
5．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意得 2π×2＝ ，
解得 n＝144.
故答案为：A.
【分析】利用圆的周长公式求得该弧的长度，然后由弧长公式进行计算.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AC= AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r﹣1）2，
r= ，
故选D．
【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AE，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AED=90°-40°=50°，
∴∠ACD=∠AED=50°.
故答案为：B.
【分析】连接AE，由直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=90°，故可得∠AED，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACD的度数.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴，则c＞0，∴ac＜0，故①正确；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，所以 ，故②正确；
③当x＜0时，有部分图象在x的上方，即函数值y不一定小于0，故③错误；
④利用图象与x轴交点都大于-1，故方程 有两个大于-1的实数根，故④正确；
故答案为：B.
【分析】①由图象开口向下可得a＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，根据有理数的乘法法则即可判断①；②由二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，知，从而即可判断②；③由图象可得错误；④利用图象与x轴交点都大于-1，故方程 有两个大于-1的实数根.
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连结CD.
∵OC=OD，∠O=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CO=3cm，
∴OA=OC+AC=15cm，
∴OB=OA=15cm，
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD= = .
故答案为：C.
【分析】 由题可得S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD，扇形的面积公式为 代入即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC.
∵∠AOD＝∠BOE，
∴ ，
∴AD＝BE＝ ，
∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝1，
在Rt△ECF中，EC＝ ＝ ，
∵△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝ .
故答案为：C.
【分析】延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC，由对顶角相等可得∠AOD＝∠BOE，由圆心角和弧、弦的关系可得AD＝BE，可证△EBF是等腰直角三角形，即EF＝BF＝1，由勾股定理可得EC＝ 故可得OC的长度.
11．【答案】6
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设实际距离为x厘米，则
1：300000=2：x，
解得：x=600000，
600000厘米=6千米，
故答案为：6.
【分析】设实际距离为x厘米，根据比例尺=图上距离∶实际距离可列方程求解.
12．【答案】10
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设共有x个绿球，由题意得： ，
解得：x=10.
故答案为：10.
【分析】设共有x个绿球，由摸出红球的概率=袋中红球的个数∶袋中小球的总数量 ，求解即可.
13．【答案】=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格知：图象对称轴为：直线x＝ ，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
两点关于直线x＝ 对称，
∴m=n，
故答案为：=．
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，即可得出答案．
14．【答案】（ ）cm
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】 解： 为 的黄金分割点 ，
故答案为：（ ）cm.
【分析】利用黄金分割的定义可得，代入即可得结果.
15．【答案】-2＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 解： 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
当 时，抛物线 在直线 的下方，
即 的解集为-2＜x＜3
故答案为：-2＜x＜3.
【分析】求不等式 的解集，就是求 ＜ 的解集，也就是求抛物线 的图象在直线 的图象的下方自变量的取值范围，结合图象即可求解.
16．【答案】125
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：根据题意，
∵在圆中，有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△ABE中， ，
∴ ，
在等腰△ABC中， 则
，
∴ ；
故答案为：125.
【分析】由弦、弧、圆周角的关系可得 ，由三角形内角和可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和可得∠C的度数，由同弧所对圆心角是所对圆周角的2倍可得结果.
17．【答案】（1）解：由题意得： ，即 ，
将 代入得： ，
解得 ；
（2）解：由 得： ，
整理得： ，即 ，
解得 .
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）由比例性质可得结果；
（2）根据比例性质，两内项之积等于两外项之积可建立方程，求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，连接OA、OB、OC，
作OA1⊥OA，OB1⊥OB，OC1⊥OC，使OA1=OA，OB1=OB，OC1=OC，
顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1即为所求，
（2）解：∵旋转角为90°，
∴∠AOA1=90°，
∵ ，
∴点 路径长= = = .
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得点A、B、C 绕原点O逆时针旋转90°的对应点A1,B1,C1，再顺次连接即可；
（2） 点A在旋转过程中的路径长度即为 的长度，代入弧长公式即可.
19．【答案】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种，
∴ ， ，
∵ ，
∴这个游戏对双方是公平的.
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】根据题意画出树状图，由图可知所有等可能的结果共有6种，其中能配成紫色的结果有3种， 根据概率公式分别求出小颖去与小亮去的概率，再比大小即可得出答案.
20．【答案】（1）解：将点 、点 代入 可得：
，
解得：
∴该抛物线的表达式 .
（2）解：将y=0代入解析式 ，
解得：x=﹣1或x＝3
∵A（﹣1，0）
∴ ，
结合图象可知，当 时， .
（3）解：∵抛物线的表达式
∴抛物线的对称轴为x=1
将x=1代入解析式可得y=4，
∴顶点 ，
∴当抛物线向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度时，顶点恰好落在原点，此时抛物线的表达式为 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把A、C两点代入解析式得出关于b，c的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）令 y=0 可得图象与x轴的两个交点，求y＞0时，自变量的取值范围，就是求x轴上方图象自变量的取值范围，结合图象可得结果；
（3）把原解析式改为顶点式即，平移后顶点坐标为（0，0）根据抛物线平移：上下平移，上+下-在y轴；左右平移，左+右-在x轴可得结果.
21．【答案】（1）证明：如下图
∵
∴
又∵ ，
∴ ，即 平分 .
（2）证明：∵
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由同弧所对圆周角相等可得 ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得 ，故 可得结果；
（2）由等边对等角、同弧所对圆周角相等、对顶角相等可得 ，且 可得两个三角形相似.
22．【答案】（1）解：设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为 ，
由题意，得 ，
解得： ， （舍去）.
答：平均每年的增长率为 .
（2）解：设每千克的平均销售价为 元，由题意得：
∴当 时， .
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设平均每年的增长率为 ，根据用一元二次方程求百分率问题公式，其中a代表原式数据，b为变化后的数据，增长即为“+”减少即为“-”代入即可，特别地，一元二次方程的实际运用，要检验根是否符合实际问题的解；
(2)设每千克的平均销售价为 元 ，则单个利润为（m-30）元，所售数量为[200+50（m-40）]千克，根据总利润=单个利润×数量，可得关于m的二次函数，由a＜0可得开口向下，可得最值为顶点处，可得最大利润.
23．【答案】（1）解：连接 ，
∵ 为 的直径
∴
∵ ，
∴
∴ .
（2）解：∵四边形 是矩形
∴
又
∴
∴ .
（3）解：过 作 于 ，则
∵ ，
∴
∴图中阴影部分的面积
（4）解：过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径=2，则PQ=OQ=1，
∵OA=2，
∴AQ= ，
∴AK=2AQ=2 .
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1） 连接 ， 由直径所对的圆周角的直角可得 ，可得 故可得 的度数；（2）由四边形 是矩形 可得 ，由（1）可得∠ACB=30°可得 ，故可得CH的长度；
（3）由（1）可得∠AOH=60°， 过 作 于 ，则 ，则阴影部分的面积 =S△ADC-S弓形AM；
（4） 过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P， 解直角三角形即可.
24．【答案】（1）解：如图1，连接 ，则 ，
图1
∵ ，
∴
故点 的坐标为 ，同时可得 ，
∴
（2）解：不发生变化.
如图2，连接 ，则 ，
图2
∵ ， ，
∵ 平分 ，则 ，
则
∴
∵AE=CE， ，
∴三角形ACE为等边三角形
∴AQ=2
（3）解：如图3，在 的延长线上截取 ，则 ，
连接 ，
图3
在 和 中
∴ ，得 ， ，
∵CD⊥AE
∴AC=AD
由（2）可知∠CAE=60°
∴∠CAD=2∠CAE=120°
∴∠MAP=120°
则 是以 为底角的等腰三角形，
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1） 连接 ， 可得 ，由勾股定理可得 可得点C的坐标；
（2） 连接 ，由同弧所对的圆周角相等可证 ，故AC的值是一个定值；
（3） 在 的延长线上截取 ，则 ，连接 ，由全等三角形的对应边相等可得关系.
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