资源简介

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答题
优生辅导专题突破训练（附答案）
1．按照指定方法解下列方程：
（1）x（x﹣2）+3＝0．（自选方法）
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．（配方法）
（3）x2﹣9＝2x+6．（因式分解法）
2．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：
求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为
　
　；
（2）求代数式x2+10x+32的最小值；
（3）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．
3．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1?x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
4．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：
（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值
6．已知，关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0的两根为α、β，求的值．
7．已知关于x的方程x2（m﹣1）x+m+1＝0的两实根的平方和等于11，试求m的值．
8．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件40元销售，每月可卖出600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨1元，销售件数减少10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，每件商品售价应定为多少元？这时电商每月能售出商品多少件？
9．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50m，宽为40m．
（1）求四周通道的宽度；
（2）某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
10．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个逅当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝（x2﹣10x+25）+5＝（x﹣5）2+5，因为（x﹣5）2≥0，即（x﹣5）2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）求a2+2a+2021的最小值；
（3）求﹣x2+2x+2019的最大值．
11．为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？
（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
14．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
15．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案：
（1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
（2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
16．第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进A、B两种牡丹制品，若购进A种牡丹制品5件，B种牡丹制品3件，共需450元；若购进A种牡丹制品10件，B种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进A、B两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的A、B两种牡丹制品，在销售中发现，A种牡丹制品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；B种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种牡丹制品每天总获利为10000元，A种牡丹制品每件降价多少元？
17．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
19．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
20．科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）方程整理得：x2﹣2x+3＝0，
配方得：（x﹣）2＝0，
开方得：x﹣＝0，
解得：x1＝x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）方程整理得：x2﹣2x﹣15＝0，
因式分解得：（x﹣5）（x+3）＝0，
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
2．解：（1）3，
故答案为：3．
（2）x2+10x+32＝x2+10x+52﹣52+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+7≥7，
∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，
∴x2+10x+32的最小值为7；
（3）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，
∴y＝x2﹣7x+11，
∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，
∴x+y的最小值为2．
3．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1?x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
4．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．
5．解：（1）证明：（1）Δ＝（2a+2）2﹣4×（2a+1）＝4a2，
∵a2≥0，
∴4a2≥0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个实数根；
（2）x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0，
（x﹣2a﹣1）（x﹣1）＝0，
x1＝2a+1，x2＝1，
∵x12﹣x22＝0，
∴（2a+1）2﹣12＝0，
解得：a＝0或a＝﹣1．
6．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0的两根为α、β，
∴α+β＝﹣4，αβ＝2，
α＜0，β，＜0，
∴＝﹣﹣＝﹣＝﹣×＝2．
7．解：设已知方程两根为x1，x2，则x1+x2＝m﹣1，x1x2＝m+1．
又∵，
∴．
∴（m﹣1）2﹣2（m+1）＝11．
整理，得m2﹣4m﹣12＝0．
解得m＝﹣2，或m＝6．
若m＝﹣2，原方程为x2+3x﹣1＝0，有两实根，符合．
若m＝6，原方程为x2﹣5x+7＝0，没有实根，舍去．
∴m＝﹣2．
8．解：设每件商品售价应定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣30）元，每月的销售量为600﹣10（x﹣40）＝（1000﹣10x）件，
依题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
当x＝50时，1000﹣10x＝1000﹣10×50＝500；
当x＝80时，1000﹣10x＝1000﹣10×80＝200．
答：当每件商品售价定为50元时，这时电商每月能售出商品500件；当每件商品售价定为80元时，这时电商每月能售出商品200件．
9．解：（1）设四周通道的宽度为xm，则停车场的长为（50﹣2x）m，宽为（40﹣2x）m，
依题意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣45x+200＝0，
解得：x1＝5，x2＝40．
当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×5＝30，符合题意；
当x＝40时，40﹣2x＝40﹣2×40＝﹣40＜0，不符合题意，舍去．
答：四周通道的宽度为5m．
（2）设每次降价的百分率为m，
依题意得：80（1﹣m）2＝51.2，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为20%．
10．解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+4﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）a2+2a+2021＝a2+2a+1+2020＝（a+1）2+2020，
∵（a+1）2≥0，
即（a+1）2的最小值是0，
∴a2+2a+2021的最小值是2020；
（3）﹣x2+2x+2019＝﹣（x2﹣2x）+2019＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2019＝﹣（x﹣1）2+2020，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
即﹣（x﹣1）2的最大值是0，
∴﹣x2+2x+2019的最大值是2020．
11．解：（1）设BE＝am，则AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，
∴a＝﹣x+15，
∴AE＝2a＝﹣x+30，
∴AE的长为（﹣x+30）m．
（2）依题意得：3a?x＝600，
即3（﹣x+15）x＝600，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
12．解：7÷2＝（s）．
当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t1＝3，t2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：3秒后，PQ的长度等于2cm．
（3）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5﹣t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
13．解：（i）∵方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得：k≤；
（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵x1，x2是方程的解，
∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，
∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）
＝﹣（x1+2）（x2+2）
＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]
＝﹣（1﹣6+4）
＝1．
14．解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
15．解：（1）设CF的长度为xm，则CD＝
m，
依题意得：x?＝450，
解得：x1＝20，x2＝45．
∵墙AB的长为25m，
∴x＝45不合题意，舍去，
∴CF＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20m．
（2）设BF的长为ym，则AD＝＝（20﹣y）m，
依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去），
∴BF＝5m．
答：BF的长为5m．
16．解：（1）设购进A种牡丹制品每件需x元，B种牡丹制品每件需y元，
则由题意得：，
解得：，
答：购进A种牡丹制品每件需60元，B种牡丹制品每件需50元；
（2）设种牡丹制品每件降价m元，
则由题意得：，
化简得：，
∴m＝10，
答：A种牡丹制品每件降价10元．
17．（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
18．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
19．解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
20．解：（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：前三天日平均增长率为20%．
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，
依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，
整理得：m2﹣29m+100＝0，
解得：m1＝4，m2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，
依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，
整理得：a2﹣29a+220＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，
∴该方程无实数根．
∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．

展开更多......

收起↑