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第11章
三角形
本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的内容包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形的内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等.本章热门考点可概括为两个概念、三种线段、三个关系、两种计算、两个技巧和三种思想。
考点1?两个概念
概念1?与三角形有关的概念
1．如图，图中有8个三角形；其中以AB为边的三角形为
??；以∠OCB为内角的三角形为?
；在ΔBOC中，OC所对的角是
，∠OCB所对的边是?
.
概念2
与多边形有关的概念
下列说法正确的是?(
)
A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B.多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D.连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
考点二
三种线段
如图，AD，CE是ΔABC的两条高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，则AD的长为?
3题
4题
4.在△ABC中，E是边BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，连接AE,BD交于点F，若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=___
___
5.如图，在ΔABC中，AF是中线，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝90°，FC＝6．根据图形填空：
(1)BF=
,?BC=
;?
(2)∠BAE=
,?
∠CAE=
;?
(3)∠ADB=??
,∠ADC=?
?
考点3?三个关系
关系1
三角形的三边关系
6．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为?(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
关系2
三角形内、外角的关系
7．如图，在ΔABC中，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝57°．求∠CAD的度数．
关系3
多边形内、外角的关系
8．用一条足够长的和方形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝
度．
常用的思想
求角度（一）转化、方程、分类讨论的思想题来解决；3．涉及高的问题时，往往需分类讨论解决。
一、转化的思想
（一）四边形?转化三角形
1．如图，∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝20°，求∠ADC的度数．
（二）多边形转华三角形或四边形
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
二、方程的思想
3．在ΔABC中，∠A-∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A，∠B，∠C的度数分别为??
4．在ΔABC中，∠A-∠B＝15°，∠C＝75°，则∠A的度数为_____________
5.如图，∠B＝∠C，D为BC上一点，点E在CA的延长线上，连接AD，DE，若∠E＝∠ADE，∠BAD＝26°，求∠BDE的度数．
在ΔABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为
7．在ΔABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数．
8．已知非直角ΔABC中，∠A＝40°，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数．?
方法技巧??求角度（二）整体、从特殊到一般的思想
一、整体的思想
1．如图，∠1＋∠2＝70°，若∠A＝60°，求∠BOC的度数。
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
3．如图，将ΔABC沿EF折叠，使点C落到点C＇处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系。
从特殊到一般的思想
（一）与三角形的高有关
4．在ΔABC中，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，若∠A＝40°，则∠BCD的度数为
（2）如图2，若∠BAC＝100°，则∠BCD的度数为
（3）若∠BAC＝a，求∠BCD的度数．
（二）与三角形的角平分线有关
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，CD⊥BD于点D．
（1）若∠A＝80°，则∠DCE＝40度；
（2）若∠A＝α，求∠DCE的度数．
答案：考点1?两个概念
概念1?与三角形有关的概念
1．如图，图中有8个三角形；其中以AB为边的三角形为△ABO,ΔABC,ΔABD??；以∠OCB为内角的三角形为?ΔBOC，ΔABC；在ΔBOC中，OC所对的角是∠OBC，∠OCB所对的边是?OB.
概念2
与多边形有关的概念
下列说法正确的是?(
C
)
A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B.多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D.连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
考点二
三种线段
如图，AD，CE是ΔABC的两条高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，则AD的长为?3cm?
3题
4题
4.在△ABC中，E是边BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，连接AE,BD交于点F，若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=___2___
5.如图，在ΔABC中，AF是中线，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝90°，FC＝6．根据图形填空：
(1)BF=6,?BC=12;?
(2)∠BAE=45°,?
∠CAE=45°;?
(3)∠ADB=??90°,∠ADC=?900?
考点3?三个关系
关系1
三角形的三边关系
6．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为?(
C
)
A.7
B.8
C.9
D.10
关系2
三角形内、外角的关系
7．如图，在ΔABC中，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝57°．求∠CAD的度数．
解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝∠1+∠2=2x°.
在ΔABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°,∠BAC=57°,?
x+2x+57=180,?
解得x＝41．
∠CAD=∠BAC-∠1=57-41°=16°.?
关系3
多边形内、外角的关系
8．用一条足够长的和方形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝36度．
常用的思想?
求角度（一）转化、方程、分类讨论的思想
问题来解决；3．涉及高的问题时，往往需分类讨论解决。
一、转化的思想
（一）四边形?转化三角形
1．如图，∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝20°，求∠ADC的度数．
解：∠ADC＝100°．
方法一：延长AD交BC于点E.
方法二：作射线BD.
方法三：连接AC.
（二）多边形转华三角形或四边形
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解：∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°．
二、方程的思想
3．在ΔABC中，∠A-∠B＝30°，∠C＝4∠B，则∠A，∠B，∠C的度数分别为??55°,25°,100°60°
4．在ΔABC中，∠A-∠B＝15°，∠C＝75°，则∠A的度数为__600____
5.如图，∠B＝∠C，D为BC上一点，点E在CA的延长线上，连接AD，DE，若∠E＝∠ADE，∠BAD＝26°，求∠BDE的度数．
解：设∠E＝∠ADE＝a，∴∠CAD＝2a，
∵∠BAD=26°,∠BAC=2α+26°,
∵∠B=∠C,.∴∠C=77°-α,
∵∠BDE=∠C+∠E,∴∠BDE=77°.
三、分类讨论的思想
6．在ΔABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为20°或40°
解：当高AD在ΔABC内部时，∠EAD＝20°；
当高AD在ΔABC外部时，∠EAD＝40°．
7．在ΔABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数．
解：①∠BAC为锐角时，∠C＝65°；
②∠BAC为钝角时，∠C＝25°．
8．已知非直角ΔABC中，∠A＝40°，高BD和CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数．?
解：①∠ACB为锐角时，∠BHC＝140°；
②∠ACB为钝角时，∠BHC＝40°；
③∠ABC为钝角时，∠BHC＝40°．?
方法技巧??求角度（二）整体、从特殊到一般的思想
一、整体的思想
1．如图，∠1＋∠2＝70°，若∠A＝60°，求∠BOC的度数。
解：130°．
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：180°，方法一：∠C＋∠D＝∠BPC，∠BFC＋∠B＝∠EGA，
∠A+∠EGA+∠E=180°;?
方法二：连接AB:∠C＋∠D＝∠FAB＋∠FBA.
3．如图，将ΔABC沿EF折叠，使点C落到点C＇处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系。
解：∠1＝180°-2∠CEF，∠2＝180°-2∠CFE，
∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)?
=360°-360°+2∠C=2∠C.?
从特殊到一般的思想
（一）与三角形的高有关
4．在ΔABC中，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AB于点D．
（1）如图1，若∠A＝40°，则∠BCD的度数为20°
（2）如图2，若∠BAC＝100°，则∠BCD的度数为50°
（3）若∠BAC＝a，求∠BCD的度数．
解：（1）20°；（2）50°；（3）α．
（二）与三角形的角平分线有关
5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，CD⊥BD于点D．
（1）若∠A＝80°，则∠DCE＝40度；
（2）若∠A＝α，求∠DCE的度数．
解：（1）40；
易证：∠BEC＝900-∠A
∴∠DCE=∠BEC-900=900+∠A-900=∠A
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