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数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、观察法
范例：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式
⑴ 3，33，333，…… ⑵ ……
解： ⑴∴
⑵观察各项的符号是“+”“-”号相间，用表示各项符号。
点评：这类问题主要是观察数列中的与项数n的关系，发现规律，写出通项。
二、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
范例．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
解：设数列公差为
∵成等比数列，∴，
即
∵， ∴………………………………①
∵ ∴…………②
由①②得：，
∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写
二、利用和的关系求的通项公式
要点：已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。
当n =1时，=s1成立，则两式合一
范例．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。
解：由
当时，有
……，
经验证也满足上式，所以
点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
范例 已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，
即
所以
由，
类型2 （1）递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
范例. 已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
变式：已知， ，求。
解：
。
类型3 递推式：
1、当 a=p a+q（p≠1，pq≠0）
解法：可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。
范例1：数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。
解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，
∴数列{ a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列
∴a－2=－（） ∴a=2－（）
说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a－2}，从而达到解决问题的目的。
范例2：数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。
解：由得
设a，比较系数得解得
∴{}是以为公比，以为首项的等比数列
∴
点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
2、当为n的一次式时，可转化为特殊数列{a+An+B}的形式求解
范例．设数列：，求.
解: 设
整理得
∴2A=2且-3A+2B=-1,得A=1，B=1
设则,又，故代入（１）得
本题也可由 ,（）两式相减得转化为进而求出
说明：若为的二次式，则可设利用代定系数法进而求解
3、 当时，则递推公式为（其中p，q均为常数）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：
从而化归为（p、q为常数）型．
范例1：已知数列满足， ，求．
解：将两边同除，得
设，则．令
．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,
．
范例2：已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,应用例7解法得：
所以
类型4 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。
范例1：已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以。
范例2 数列中，，求数列的通项公式。
解：由得设
比较系数得，解得或
若取，则有
∴是以为公比，以为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
==
类型5 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
范例. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.
解：因
所以
即…………………………………………（1）
又因为
所以……
.即………………………（2）
由（1）、（2）得：，
*四、特征根法
1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.
范例．已知数列满足：求
解：作方程
当时，
数列是以为公比的等比数列.于是
2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
范例：已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由，得
，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，
……
。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是
故
3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。
范例1：
数列求数列的通项公式.
解：由已知，得，其特征方程为，解之，得
，
，
。
范例2、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
∴
∴
即

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