资源简介 第2章 等式与不等式2.2不等式的求解2.2.3分式不等式的求解【学习目标】课程标准学科素养会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解逻辑推理:转化为不等式组数学运算:【自主学习】问题导学预习教材P40-P42的内容,思考以下问题:1、分式不等式的特点?2、分式不等式的一般等价解法;3、分式不等式的实际应用;【知识梳理】1、分式不等式的定义:分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。即:型如或(其中、为整式且)的不等式称为分式不等式。分式方程:将所求分式方程转化为整式方程,利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可,注意求解后根的检验,要使得方程是有意义的。2、分式不等式的解法:基本思路:应用同号相乘(除)得正,异号同号相乘(除)得负,将其转化为同解整式不等式。在此过程中,变形的等价性尤为重要。基本方法:①通过移项,将分式不等式右边化为零;②左边进行通分,化为形如的形式;③同解变形:;;;;3、含参数的不等式分为两类:①讨论参数的取值确定解集;②给定解集确定参数的取值。基本方法:对于第一类,分类讨论一般需要注意以下两方面:(1)的最高次项系数含有参数时,需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况;(2)讨论含参数的根与其他根的大小关系。而对于第二类,一般只需牢记:不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根,代入即可。【自我尝试】1、解下列不等式:(1)≥0; (2)>1;1、解:(1)原不等式等价于解得x≤1或x>2,所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2};(2)原不等式可改写为+1<0,即<0,所以(6x-4)(4x-3)<0,所以所以原不等式的解集为.2、不等式≥5的解集是2、答案:解析:原不等式?≥?≤0?解得0【题型探究】题型一、简单的分式不等式的解法例1、解下列不等式:(1);(2);(3);【提示】注意:利用不等式性质等价转化;【解析】(1)原不等式,所以,原不等式的解集为.(2)原不等式,所以,原不等式的解集为.(3)分母:,则原不等式或,所以,原不等式的解集为.【方法归纳】分式不等式的解法:(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零;(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解;题型二、含参数的分式不等式例2、关于x的不等式的解集是{x|【提示】注意:等价变形;【答案】a=4,b=2;【解析】(注意多种解法)因为x2+x+1=,x2-x+1=,所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1),整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.①由已知可得当x∈{x|x-)(x-1)<0,即2x2-3x+1<0,②比较①②可知;故a=4,b=2;题型三、分式不等式的简单应用例3、当为何值时,关于的不等式的解是:(1)正数?(2)是负数?【提示】注意:等价变形;【解析】()当时,()不存在.当时,().(1)原方程的解为正数或.(2)原方程的解为负数.所以,当时,原方程的解为正数.当时,原方程的解为负数;【方法归纳】注意等价变形。题型四、分式不等式的实际应用例4、某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。【提示】审题列式,注意限制条件;【解析】设楼梯的长度为,甲的速度为,自动扶梯的运行速度为,于是甲上楼所需时间为,乙上楼所需时间为,由题意,得,整理的,由于此处速度为正值,因此上式可化为,即.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍。【方法归纳】学会通过阅读将实际问题转化为数学模型。【素养提升】解不等式的核心问题是不等式的同解变形,整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质,将分式不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法;特别注意:在求解分式不等式解集时,编口诀:“右化零;左化正;商化积;想分母”有助于学生记忆,提高学习效率。【说明】解不等式中的每一步往往要求“等价”,即同解变形,否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集,所以很难像解无理方程那样,对解进行检验,因此同解变形就显得尤为重要。易错防范:不等式≥0的解集为.解析:因为≥0???x<-或x≥.所以原不等式的解集为;答案:【易错防范】注意先保证有意义;【即时练习】A级:“四基”巩固训练1、不等式≥0的解集为1、答案:;解析:因为≥0???x<-或x≥.所以原不等式的解集为.2、若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=________.2、答案:4;解析:由>0得(x-a)(x+1)>0,而解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),从而a=4.3、已知关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是________.3、答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)解析:因为ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a=b>0,所以>0?>0,所以x<-1或x>2.4、设全集I是实数集R.M={x|x2>4}与N=都是I的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集合为________.4、答案:{x|1解析:全集I是实数集R.M={x|x2>4}=(-∞,-2)∪(2,+∞),?IM=[-2,2],N==(1,3],阴影部分所表示的集合为N∩?IM={x|15、若不等式的解集为R,求实数m的取值范围。5、【答案】m<.【解析】由于x2-8x+20>0恒成立,故问题等价于mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R.只需,即,解得m<.即实数m的取值范围为m<.B级:“四能”提升训练6、若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1bx的解集为________.6、答案:{x|x<0}解析:依题意,-1和2都是方程ax2+bx+c=0的根,且a<0.因此,即于是,不等式+c>bx可化为-2a>-ax.因为a<0,所以-2<-x,即<0,当x=1时,不等式不成立;当x≠1时,得x<0.所以,所求不等式的解集为{x|x<0}.答案:{x|x<0}7、若实数a,b满足a+b<0,则不等式的解集为7、【答案】【解析】原不等式等价于(x+a)(b-x)<0,即(x-b)(x+a)>0;因为a+b<0,所以b<-a.所以原不等式的解集为.8、不等式≤3的解集是8、答案:;解析:原不等式等价于-3≤0?≤0?≥0?x(2x-1)≥0,且x≠0.解得x≥或x<0;9、已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3},则a的值是9、【答案】【解析】原不等式等价于(x-1)[(a-1)x+1]<0,因为不等式的解集为{x|x<1或x>3},所以(x-3)(x-1)>0.即.故a=.10、已知不等式的解集为M.(1)当a=4时,求解集M;(2)若3∈M,5?M,求实数a的取值范围.10、【答案】(1);(2).【解析】(1)因为a=4,所以不等式为,可化为(4x-5)(x2-4)<0根据数轴标根法,可得不等式的解集为;若3∈M,则有,①若5?M,则有,②联立①②可得.PAGE第1页普通高中教科书数学必修第一册(上海教育出版社)第2章 等式与不等式2.2不等式的求解2.2.3分式不等式的求解【学习目标】课程标准学科素养会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解逻辑推理:转化为不等式组数学运算:【自主学习】问题导学预习教材P40-P42的内容,思考以下问题:1、分式不等式的特点?2、分式不等式的一般等价解法;3、分式不等式的实际应用;【知识梳理】1、分式不等式的定义:分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。即:型如或(其中、为整式且)的不等式称为分式不等式。分式方程:将所求分式方程转化为整式方程,利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可,注意求解后根的检验,要使得方程是有意义的。2、分式不等式的解法:基本思路:应用同号相乘(除)得正,异号同号相乘(除)得负,将其转化为同解整式不等式。在此过程中,变形的等价性尤为重要。基本方法:①通过移项,将分式不等式右边化为零;②左边进行通分,化为形如的形式;③同解变形:;;;;3、含参数的不等式分为两类:①讨论参数的取值确定解集;②给定解集确定参数的取值。基本方法:对于第一类,分类讨论一般需要注意以下两方面:(1)的最高次项系数含有参数时,需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况;(2)讨论含参数的根与其他根的大小关系。而对于第二类,一般只需牢记:不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根,代入即可。【自我尝试】1、解下列不等式:(1)≥0; (2)>1;2、不等式≥5的解集是【题型探究】题型一、简单的分式不等式的解法例1、解下列不等式:(1);(2);(3);题型二、含参数的分式不等式例2、关于x的不等式的解集是{x|题型三、分式不等式的简单应用例3、当为何值时,关于的不等式的解是:(1)正数?(2)是负数?题型四、分式不等式的实际应用例4、某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。【素养提升】解不等式的核心问题是不等式的同解变形,整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质,将分式不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法;特别注意:在求解分式不等式解集时,编口诀:“右化零;左化正;商化积;想分母”有助于学生记忆,提高学习效率。【说明】解不等式中的每一步往往要求“等价”,即同解变形,否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集,所以很难像解无理方程那样,对解进行检验,因此同解变形就显得尤为重要。易错防范:不等式≥0的解集为.【易错防范】注意先保证有意义;【即时练习】A级:“四基”巩固训练1、不等式≥0的解集为2、若关于x的不等式>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=________.3、已知关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是________.4、设全集I是实数集R.M={x|x2>4}与N=都是I的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集合为________.5、若不等式的解集为R,求实数m的取值范围。B级:“四能”提升训练6、若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1bx的解集为________.7、若实数a,b满足a+b<0,则不等式的解集为8、不等式≤3的解集是9、已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3},则a的值是10、已知不等式的解集为M.(1)当a=4时,求解集M;(2)若3∈M,5?M,求实数a的取值范围.PAGE第1页普通高中教科书数学必修第一册(上海教育出版社) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 【沪教版2020】必修第一册 第 2 章 等式与不等式(教材解读与设计)2.2.3 分式不等式的求解(教师版).doc 【沪教版2020】必修第一册++第+2+章+等式与不等式(教材解读与设计)2.2.3+++分式不等式的求解(学生版).doc