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《第1章
集合与逻辑》章节复习
【内容提要】（教材23页）
１、集合的概念与表示：
（1）
集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数
集有、、、等；
（2）空集是不含任何元素的集合；
（3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足
的所有实数组成的集合记作闭区间等；
2、集合的关系与运算：
（1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合；
（2）集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合；记作：；集合
与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作：；
（3）相对于全集，其任一子集犃均有补集．一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作：；
3、命题：
（1）命题是指能判断其真假的语句．
（2）
命题有真、假两类．
4、充分条件与必要条件：
（1）
当αβ
时，α是β的充分条件；β是α的必要条件；
（2）
当αβ
时，α是β的充要条件；此时，在推理过程中α与β能互相替换；
5、反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法；
【典例例析】
题型1、集合的有关概念
例1、若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合中元素的互异性可知，正确；给取特值可知，不正确.
【详解】根据集合中元素的互异性可知，，所以此三角形一定不是等腰三角形，故正确；
当时，三角形为直角三角形，故不正确；
当时，三角形为锐角三角形，故不正确；
当时，三角形为钝角三角形，故不正确；
故选：D.
【说明】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题.
题型2、集合间的关系
例2、设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？
【解析】集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
【说明】一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系。
题型3、集合间的关系与运算
例3、集合，，，
，则下面正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【提示】根据集合中元素的特点判断即可；
【答案】D
【解析】对于集合，当时，则，与B集合中元素相同；
当时，则，与集合C中元素相同；
当时，则，与集合D中元素相同；
所以.
故选：D
【说明】本题考查集合间的基本关系判断，解答的关键在于分析清楚各集合中元素的规律，较简单.
题型4、集合的有关概念、关系与运算的综合
例4、（1）已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得出是成立的充分条件，再根据充分条件与集合的包含关系可得出合适的选项.
【详解】由于命题“若，则”是真命题，则是成立的充分条件，
因为集合满足，集合满足，.
故选：B.
（2）下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的序号是___
【答案】①③⑤
【分析】由元素与集合、集合与集合间的关系逐个判断即可得解.
【详解】
对于①，由可得，故①正确；
对于②，为单元素集，中不含元素，所以，故②错误；
对于③，由元素与集合的关系可得，故③正确；
对于④、⑤，、均为集合，所以，故④错误，⑤正确.
故答案为：①③⑤.
【说明】本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断，属于基础题.
题型5、分类讨论思想在集合中的应用
例5、（1）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值组成的集合；
（2）若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值组成的集合.
【解析】（1）P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；[2分]
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－
,[4分]
为满足S?P可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.[6分]
故所求集合为{0，，－}．[7分]
（2）当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；[9分]
若B≠?，且满足B?A，如图所示，
则即∴2≤m≤3.[13分]
故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[14分]
【方法归纳】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答；
【易错提醒】（1）容易忽略a＝0时，S＝?这种情况；（2）想当然认为m＋1<2m－1忽略“>”或“＝”两种情况。
题型6、充要条件的判断
例6、给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．
（1）、p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
（2）、p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
（3）、p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
（4）、p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
【解析】（1）∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，∴p是q的充分不必要条件．
（2）∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等?两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
（3）∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
（4）∵矩形的对角线相等，∴p?q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要条件；
题型7、充要条件的证明
例7、设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】（1）必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
两式相减可得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，
（2）充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°；
【方法归纳】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”?“结论”是证明命题的充分性，由“结论”?“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．
题型8、集合与逻辑中的转化与化归思想
例8、
(14分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．
【解析】∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0.
[2分]
另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，
∴
解得m∈[－，1]．
[6分]
∵两根为整数，故和与积也为整数，
∴，
[10分]
∴m为4的约数，∴m＝－1或1，当m＝－1时，
第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，
而当m＝1时，两方程均为整数根，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
[14分]
【方法归纳】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数；
【易错提醒】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数；
题型9、正难则反或数形结合判断充要条件
例9、“”是“或”的(
)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【提示】根据命题的等价命题，结合充分性、必要性的定义、特例法进行判断即可.
【答案】A
【解析】命题若“”，则“或”的等价命题是：
若“且”，则“”，
当“且”成立时，显然成立，
当时，不一定能推出且，
例如，满足，但且不成立，
因此“且”是“”的充分不必要条件，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A
【说明】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了等价命题的应用；试一试：利用直角坐标系“数形结合”解之。
题型10、反证法
例10、已知与均为正有理数，且与均为无理数．证明：也是无理数．
【提示】先假设为有理数，推导出为有理数，与已知条件矛盾，由此证得也是无理数．
【解析】假设为有理数，则有，而，所以仍为有理数．所以应为有理数．从而为有理数，与已知条件矛盾．
故假设不成立，所以也是无理数．
【说明】当直接推导不易得出结论时，可以用反证法证明．反证法的格式为：假设结论不成立，即其否定成立，由此推理得出的结论与已知条件（或定理）矛盾，说明假设不成立，原命题正确。
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