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北师大版数学九年级
精品教学课件
§3.2.1 圆的对称性(1)
垂径定理
北师大版数学九年级下
成都市第三十七中学
李 玉
圆的相关概念
2.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3.经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
⌒
AMB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).
M
●O
C
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
A
B
注意：
直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧；
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
如以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
巧手做一做
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧
⌒
⌒
AM=BM,
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
1．取出课前准备的⊙O纸片，折出这个
圆的一条对称轴．
2．请用折叠的方法在⊙O上找到两个点A 、B，使A 、B关于直径CD成轴对称；
（直径CD 所在的直线）
●O
D
C
A
B
M
垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
条件
结论
（1）直径
（2）直径垂直于弦
（1）平分弦
（2）平分弦所对的优弧
（3）平分弦所对的劣弧
⌒
⌒
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
几何语言：
｝
已知：如图CD是直径, CD⊥AB,
求证： AM=BM,
证明：连接OA,OB,
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
OA=OB，
OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）
∴AM=BM.
∵⊙O关于直径CD对称,
当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
　AD =BD.
●O
A
B
C
D
M└
AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
AC =BC,
∴点A和点B关于直径CD对称，
例： 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离OE为3厘米，求⊙O的半径。
E └
.
A
B
O
解：在⊙O中，连结OA。
∵ OE＝3厘米， 弦OE⊥AB
∴ AE＝BE。
∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt △ AOE中，根据勾股定理有
即：
解得：OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，求CD.
●O
C
D
A
B
M└
C
D
A
B
M└
解： 在⊙O中，连结OC。
∵ OM＝3厘米，
∴ CM＝DM
∵AB＝10厘米 ∴CO＝5厘米
在Rt△COM中，根据勾股定理有
即： , 解得：CM＝4厘米
∵弦CD ⊥直径AB
∴ CD=2CM=8厘米
在⊙O中，弦CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，求⊙O的半径.
●O
C
D
A
B
M└
解:连接OC.
设⊙O的半径为r
∵弦CD ⊥直径AB
∴⊙O的半径为13.
已知：在⊙O中,弦AB∥弦CD；
求证：
●O
A
B
C
D
⌒
⌒
AC=BD
证明： 在⊙O中，作半径OE ⊥ 弦AB。
∴
∵弦AB∥弦CD ，
∴半径OE ⊥ 弦CD
∴
∴
即：
⌒
⌒
AE=BE,
⌒
⌒
CE=DE,
⌒
⌒
AE─ CE=
⌒
⌒
BE─ DE
⌒
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AC=BD
E
∟
∟
已知：在⊙O中,弦AB∥弦CD；
求证：
●O
A
B
C
D
⌒
⌒
AC=BD,
证明： 在⊙O中，作直径 EF⊥ 弦AB。
∴
∵弦AB∥弦CD ，
∴直径EF ⊥ 弦CD
∴
∴
即：
⌒
⌒
AE=BE,
⌒
⌒
CE=DE,
⌒
⌒
AE─ CE=
⌒
⌒
BE─ DE
⌒
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AC=BD,
E
∟
∟
F
请你参照老师所给的例题，变式训练1和2，自己来编一题给大家做做看！
　　come on
数学理解
本节课你学到了什么？
１、圆的轴对称性
２、垂径定理
（1）直径
（2）直径垂直于弦
｝
（1）平分弦
（2）平分弦所对的优弧
（3）平分弦所对的劣弧
作业：
1.必做：
预习《圆的对称性2》
《天》 P127页A组1-5题
2.选做：
《天》 P127页 B组7题
要划一块同样尺寸的圆镜，该怎么办呢？
谢谢，再见！登陆21世纪教育 助您教考全无忧
§3．2.1圆的对称性
成都市第三十七中学 李玉
教学目标
(一)教学知识点
1．圆的轴对称性．
2．垂径定理．
3．运用垂径定理进行有关的计算和证明．
(二)能力训练要求
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
2．培养学生独立探索的精神．
(三)情感与价值观要求
通过学习垂径定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点
垂径定理．
教学难点
垂径定理的证明．
教学方法
指导探索和自主探索相结合．
教学过程
Ⅰ．讲授新课
[师]今天我们一起来学习圆的对称性第一个部分垂径定理。首先让我们一起来了解一下圆的相关概念。
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
如以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
2.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3.经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
注意：
1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
[师]了解了圆的相关定义以后，我们来研究圆的对称性．
[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
[师]取出课前准备的⊙O纸片，折出这个圆的一条对称轴．
[师]请用折叠的方法在⊙O上找到两个点A 、B，使A 、B关于直径CD成轴对称；
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧
[生] （齐答）
下面我们一起来梳理一下刚刚我们所作的试验；
[师]能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
[师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM．
∴点A和点B关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴=，=．
[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用几何语言可表述为：
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM, ∴=，=．
下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：
例1： 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离OE为3厘米，求⊙O的半径。
解：在⊙O中，连结OA。
∵ OE＝3厘米， 弦OE⊥AB
∴ AE＝BE。
∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt △ AOE中，根据勾股定理有
即：
解得：OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
[师]不知道大家有没有掌握我们刚才学习的方法呢？请大家试试变式训练1
1.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，求CD.
解： 在⊙O中，连结OC。
∵ OM＝3厘米， 弦CD ⊥AB
∴ CM＝DM
∵AB＝10厘米 ∴CO＝5厘米
在Rt△COM中，根据勾股定理有
即： , 解得：CM＝4厘米
∴ CD=2CM=8厘米
请大家试试变式训练2
在⊙O中，弦CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，求⊙O的半径.
SHAPE \* MERGEFORMAT
解:连接OC.
设⊙O的半径为r
∵弦CD ⊥直径AB
∴
根据勾股定理在RT△CMO中
∴⊙O的半径为13.
在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
想一想
1.已知：在⊙O中,弦AB∥弦CD；
求证：AC=BD,
证明： 在⊙O中，作直径 EF⊥ 弦AB。
∴
∵弦AB∥弦CD ，
∴直径EF ⊥ 弦CD
∴
∴
∴
2. 已知：在⊙O中,弦AB∥弦CD；
求证：AC=BD,
理由与上题相同
Ⅱ．课时小结
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．
Ⅲ．课后作业
1.必做：
预习《圆的对称性2》
《天》 P127页A组1-5题
2.选做：
《天》 P127页 B组7题
板书设计
§3．2．1 圆的对称性
一、与圆有关的概念：．
二、圆是轴对称图形
三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
例：略
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
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AM=BM,
AC=BC,
AD=BD.
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
条件
结论
（1）直径
（2）直径垂直于弦
｝
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A
B
O
C
D
A
B
M└
●O
C
D
A
B
M└
●O
⌒
⌒
●O
A
B
C
D
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AE=BE,
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AE─ CE=
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BE─ DE
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CE=DE,
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AC=BD,
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●O
A
B
C
D
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网

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