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中小学教育资源及组卷应用平台
课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第6单元
第2节：角及相关计算
要点1：角的概念及表示
【要点梳理】
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
SHAPE
\
MERGEFORMAT
定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
2.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【注意】
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
3、角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC
＝∠AOB．
由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【典例精讲】
1、下列四个图形中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（
）
A．B．C．
D．
【答案】B
2、如图，，则射线表示为（
）
A．南偏西60
B．南偏东60
C．南偏西30
D．南偏东30
【答案】B
3、如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（
）
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
【答案】B
4、某人从A点出发向北偏东60°方向走一段距离到B点，再向南偏西15°方向走一段距离到达C点．则等于（
）
A．45°
B．75°
C．105°
D．135°
【答案】A
5、已知OC平分∠AOB，∠AOB=64°，则∠AOC的度数是（
）
A．64°
B．32°
C．128°
D．不能计算
【答案】B
6、在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同?可组成的角的个数是（
）
A．595
B．406
C．35
D．666
【答案】B
要点2：角的比较与计算
【要点梳理】
1.角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，
1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
【注意】
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：
如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【注意】
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：
①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；
②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；
③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2)
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【典例精讲】
1、已知，，，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2、已知，，下列结论中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．两个角的大小不确定
【答案】B
3、把
8.32°用度、分、秒表示正确的是（
）
A．8°3′2″
B．8°30′20″
C．8°18′12″
D．8°19′12″
【答案】D
4、已知，，平分，则的大小为___________．
【答案】或
5、比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边_________．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”）
【答案】①
【课后巩固】
1、以下说法正确的是（
）
A．两点之间直线最短
B．延长直线到点，使
C．相等的角是对顶角
D．连结两点的线段的长度就是这两点间的距离
【答案】D
2、如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
【答案】A
3、下列说法正确的是（
）．
A．两点之间，直线最短
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
【答案】D
4、已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（
）
A．∠AOC=∠BOC
B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC+∠COB=∠AOB
D．∠BOC=∠AOB
【答案】C
5、钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（
）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
【答案】C
6、射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
7、在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
8、已知∠AOB=30°，∠BOC=45°，则∠AOC等于（
）
A．15°
B．75°
C．15°或75°
D．不能确定
【答案】C
9、已知O是直线AB上一点（点O在点A、B之间），OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的大小关系是（
）
A．∠AOC一定大于∠BOC
B．∠AOC一定小于∠BOC
C．∠AOC一定等于∠BOC
D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC
【答案】D
10、射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，，，，则的度数为________．
【答案】40°或80°或120°
图2
图1
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2
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第2节：角及相关计算
要点1：角的概念及表示
【要点梳理】
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
SHAPE
\
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定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
2.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
【注意】
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
3、角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC
＝∠AOB．
由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
【典例精讲】
1、下列四个图形中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（
）
A．B．C．
D．
2、如图，，则射线表示为（
）
A．南偏西60
B．南偏东60
C．南偏西30
D．南偏东30
3、如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（
）
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
4、某人从A点出发向北偏东60°方向走一段距离到B点，再向南偏西15°方向走一段距离到达C点．则等于（
）
A．45°
B．75°
C．105°
D．135°
5、已知OC平分∠AOB，∠AOB=64°，则∠AOC的度数是（
）
A．64°
B．32°
C．128°
D．不能计算
6、在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同?可组成的角的个数是（
）
A．595
B．406
C．35
D．666
要点2：角的比较与计算
【要点梳理】
1.角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，
1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
【注意】
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：
如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【注意】
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：
①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；
②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；
③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2)
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【典例精讲】
1、已知，，，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、已知，，下列结论中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．两个角的大小不确定
3、把
8.32°用度、分、秒表示正确的是（
）
A．8°3′2″
B．8°30′20″
C．8°18′12″
D．8°19′12″
4、已知，，平分，则的大小为___________．
5、比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边_________．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”）
【课后巩固】
1、以下说法正确的是（
）
A．两点之间直线最短
B．延长直线到点，使
C．相等的角是对顶角
D．连结两点的线段的长度就是这两点间的距离
2、如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
3、下列说法正确的是（
）．
A．两点之间，直线最短
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
4、已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（
）
A．∠AOC=∠BOC
B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC+∠COB=∠AOB
D．∠BOC=∠AOB
5、钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（
）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
6、射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（
）
A．
B．
C．
D．
7、在的内部任取一点C，作射线OC，则一定有（
）
A．
B．
C．
D．
8、已知∠AOB=30°，∠BOC=45°，则∠AOC等于（
）
A．15°
B．75°
C．15°或75°
D．不能确定
9、已知O是直线AB上一点（点O在点A、B之间），OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的大小关系是（
）
A．∠AOC一定大于∠BOC
B．∠AOC一定小于∠BOC
C．∠AOC一定等于∠BOC
D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC
10、射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，，，，则的度数为________．
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