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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第6单元
第3节：余角、补角、对顶角
要点1：余角、补角、对顶角
【要点梳理】
1.余角与补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．
（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
【注意】
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．
2.对顶角
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
【注意】
(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
【典例精讲】
1、如果与互为余角，与互为补角，与的和等于平角的，那么这三个角的度数分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2、下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3、下列图形中的两个角互为补角的是（　　）
A．①和②
B．①和③
C．①和④
D．②和④
【答案】C
4、已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系为（　　）
A．∠α﹣∠γ＝90°
B．∠α+∠γ＝90°
C．∠α+∠γ＝180°
D．∠α＝∠γ
【答案】A
5、若与互补，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
6、已知一个角是，那么这个角的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7、已知∠A=105°，则∠A的补角的余角等于（
）
A．35°；
B．25°；
C．15°；
D．5°；
【答案】C
8、一个角的余角是30度，则这个角是（　　）度．
A．20
B．30
C．60
D．150
【答案】C
9、下列叙述正确的是（
）
A．一个钝角和一个锐角一定互为补角
B．每一个锐角都有余角
C．两个锐角一定互为余角
D．一个钝角的余角是锐角
【答案】B
10、已知∠A=50°，则∠A的补角等于（
）
A．40°
B．100°
C．130°
D．150°
【答案】C
11、若，，则与的关系是（
）
A．互补
B．互余
C．和为钝角
D．和为周角
【答案】B
12、一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（
）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
13、一个角的补角比它的余角的3倍少，这个角的度数是_______度．
【答案】35
要点2：方位角与钟表上的角
【要点梳理】
1、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【注意】
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
2、钟表上有关角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典例精讲】
1、已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（
）
A．A地在B地的北偏东60°方向
B．A地在B地的北偏东30°方向
C．B地在A地的北偏东60°方向
D．B地在A地的北偏东30°方向
【答案】D
2、15点整时针与分针的夹角度数为（　　）
A．60°
B．75°
C．90°
D．100°
【答案】C
3、如图，在灯塔O观测小岛B位于南偏西的方向，同时小岛C在灯塔O的北偏东的方向，那么的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4、钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是
(　
　)
A．15°
B．70°
C．75°
D．90°
【答案】C
【课后巩固】
1、已知∠a＝30°，则∠a的余角的度数为（　　）
A．60°
B．90°
C．150°
D．180°
【答案】A
2、下列说法错误的是（
）
A．经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
B．两点的所有连线中，线段最短；
C．连接两点的线段叫两点之间的距离；
D．同角（等角）的补角相等．
【答案】C
3、有下列说法：①锐角的补角一定是钝角
②一个角的补角一定大于这个角
③如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
④锐角和钝角互补，其中正确说法的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
4、某一时刻钟表上时针和分针所成的夹角是105°，那么这一时刻可能是（
）
A．8点30分
B．9点30分
C．10点30分
D．以上答案都不对
【答案】B
5、阅读下列语句：（1）延长射线；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
6、已知∠α=34°55′，则∠α的余角等于（
）
A．66°5′
B．65°5′
C．65°55′
D．55°5′
【答案】D
7、若，互为补角，且，则下列表示的余角的式子中正确的是（
）
①；②；③；④.
A．①
B．②
C．②③
D．②④
【答案】C
8、如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（
）
A．∠BCD和∠ACF
B．∠ACD和∠ACF
C．∠ACB和∠DCB
D．∠BCF和∠ACF
9、已知一个角是这个角的余角的，则这个角的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
10、的余角的补角等于___．
【答案】
11、已知一个锐角的度数为，则这个角的余角为__________．（结果用度、分、秒来表示）
【答案】
12、一个锐角的补角比它的余角的3倍少，这个锐角的度数是______．
【答案】
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精品试卷·第
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学科：数学
课程主题
第6单元
第3节：余角、补角、对顶角
要点1：余角、补角、对顶角
【要点梳理】
1.余角与补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．
（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．
【注意】
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．
2.对顶角
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
【注意】
(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
【典例精讲】
1、如果与互为余角，与互为补角，与的和等于平角的，那么这三个角的度数分别为（
）
A．
B．
C．
D．
2、下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3、下列图形中的两个角互为补角的是（　　）
A．①和②
B．①和③
C．①和④
D．②和④
4、已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系为（　　）
A．∠α﹣∠γ＝90°
B．∠α+∠γ＝90°
C．∠α+∠γ＝180°
D．∠α＝∠γ
5、若与互补，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
6、已知一个角是，那么这个角的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
7、已知∠A=105°，则∠A的补角的余角等于（
）
A．35°；
B．25°；
C．15°；
D．5°；
8、一个角的余角是30度，则这个角是（　　）度．
A．20
B．30
C．60
D．150
9、下列叙述正确的是（
）
A．一个钝角和一个锐角一定互为补角
B．每一个锐角都有余角
C．两个锐角一定互为余角
D．一个钝角的余角是锐角
10、已知∠A=50°，则∠A的补角等于（
）
A．40°
B．100°
C．130°
D．150°
11、若，，则与的关系是（
）
A．互补
B．互余
C．和为钝角
D．和为周角
12、一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（
）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13、一个角的补角比它的余角的3倍少，这个角的度数是_______度．
要点2：方位角与钟表上的角
【要点梳理】
1、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【注意】
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
2、钟表上有关角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典例精讲】
1、已知A、B两地的位置如图所示，且∠BAC＝60°，那么下列语句正确的是（
）
A．A地在B地的北偏东60°方向
B．A地在B地的北偏东30°方向
C．B地在A地的北偏东60°方向
D．B地在A地的北偏东30°方向
2、15点整时针与分针的夹角度数为（　　）
A．60°
B．75°
C．90°
D．100°
3、如图，在灯塔O观测小岛B位于南偏西的方向，同时小岛C在灯塔O的北偏东的方向，那么的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4、钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是
(　
　)
A．15°
B．70°
C．75°
D．90°
【课后巩固】
1、已知∠a＝30°，则∠a的余角的度数为（　　）
A．60°
B．90°
C．150°
D．180°
2、下列说法错误的是（
）
A．经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
B．两点的所有连线中，线段最短；
C．连接两点的线段叫两点之间的距离；
D．同角（等角）的补角相等．
3、有下列说法：①锐角的补角一定是钝角
②一个角的补角一定大于这个角
③如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
④锐角和钝角互补，其中正确说法的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4、某一时刻钟表上时针和分针所成的夹角是105°，那么这一时刻可能是（
）
A．8点30分
B．9点30分
C．10点30分
D．以上答案都不对
5、阅读下列语句：（1）延长射线；（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角且小于平角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．其中正确的说法有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6、已知∠α=34°55′，则∠α的余角等于（
）
A．66°5′
B．65°5′
C．65°55′
D．55°5′
7、若，互为补角，且，则下列表示的余角的式子中正确的是（
）
①；②；③；④.
A．①
B．②
C．②③
D．②④
8、如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（
）
A．∠BCD和∠ACF
B．∠ACD和∠ACF
C．∠ACB和∠DCB
D．∠BCF和∠ACF
9、已知一个角是这个角的余角的，则这个角的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
10、的余角的补角等于___．
11、已知一个锐角的度数为，则这个角的余角为__________．（结果用度、分、秒来表示）
12、一个锐角的补角比它的余角的3倍少，这个锐角的度数是______．
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