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广东省茂名市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2021高二下·茂名期末）已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021高二下·茂名期末）已知命题 ， ，则 为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2021高二下·茂名期末）已知双曲线 的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
4．（2021高二下·茂名期末）已知倾斜角为 的直线 与直线 平行，则 的值为（　　）
A．-3 B． C． D．3
5．（2021高二下·茂名期末）冼夫人故里 放鸡岛 窦州古城 茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为（　　）
A．120 B．180 C．240 D．360
6．（2021高二下·茂名期末）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·茂名期末）记 的面积为S，若 ， ，则S的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．12 D．24
8．（2021高二下·茂名期末）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100只草地贪夜蛾经过t天后，数量落在区间 内，则t的值可能为（参考数据： ， ）（　　）
A．80 B．120 C．150 D．200
9．（2021高二下·茂名期末）已知复数z满足 ，则（　　）
A．z的虚部为
B．z的共轭复数为
C．
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
10．（2021高二下·茂名期末）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x之间的一组数据如表所示：
年份 2016 2017 2019 2020
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9.
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为 ，则下列说法错误的是（　　）
A．人均纯收人y(单位：万元)与年份代号x负相关
B．m+n=8
C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．2023年A村人均年纯收人约为11万元
11．（2021高二下·茂名期末）已知函数 的部分图象如图所示， ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．把函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象
D．把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数在 上是减函数
12．（2021高二下·茂名期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若 ，且 ，则使不等式 成立的x的值不可能为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
13．（2021高二下·茂名期末）已知向量 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为　 　.
14．（2021高二下·茂名期末）已知函数 为定义在 上的偶函数，且 在区间 内单调递减，在区间 上单调递增，写出一个满足条件的函数 　 　.
15．（2021高二下·茂名期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱 是一“堑堵”， ， ，点 为 的中点.则三棱锥 的外接球的表面积为　 　.
16．（2021高二下·茂名期末）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为　 　，若 ，则 　 　.
17．（2021高二下·茂名期末）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答.
已知等差数列 的前 项和为 ， ， ▲ ，若 ，求数列 的前 项和 .
18．（2021高二下·茂名期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，且 的外接圆半径为 ，试判断 的形状，并说明理由.
19．（2021高二下·茂名期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
20．（2021高二下·茂名期末）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差 派送不及时 包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分(满分100分)，根据他们的服务质量得分分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，统计得出以下频率分布直方图：
（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分 (每组数据以区间的中点值为代表)；
（2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z(单位：分)近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 .若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间（41.88，84.81]的人数；
（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次.在每次抽奖中，若中奖，则补助200元/次，若不中奖，则只补助100元/次，且假定每次中奖的概率均为 .问：哪一种补助方案补助总金额更低.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ， .
21．（2021高二下·茂名期末）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22．（2021高二下·茂名期末）已知圆 与抛物线 相交于 ， 两点，且 .
（1）求 的标准方程；
（2）过点 的动直线 交 于 ， 两点，点 与点 关于原点对称，求证： .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，故 中元素的个数为3.
故答案为：B.
【分析】 先求出集合A、集合B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数。
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题 的否定为 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以 的离心率 .
故答案为：A.
【分析】 由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率公式得答案.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知得 ，
故 .
故答案为：B.
【分析】 根据题意，分析可得tana = 3，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案.
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】将5名学生分4组方法有 种，
再分配到4个景区旅游有 种，
由分步乘法计算原理可得：不同的旅游方案种数为 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案.
6．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】设该圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，则 ，即 ， ，
于是得圆柱的侧面积 ，当且仅当 时取“=”，
所以 时，圆柱的侧面积取最大值 .
故答案为：B
【分析】 设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得到r和h的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，
由椭圆的定义易知，点C的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且c=3，a=5，
则b=4，故该椭圆的标准方程为 ，
当点C为椭圆的上下顶点时，即 时，S取最大值，
则三角形面积 ，当且仅当 时取等号．
故答案为：C．
【分析】以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意得 ，两边取对数得 ，
所以 ，
且 ，即 ，对照各选项，只有C符合.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得，两边取对数得，再结 ， ，即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以z的虚部为 ，z的共轭复数为 ，它在复平面内对应的点 位于第二象限，A、B、D符合题意； ，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】 直接利用复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义的应用判断A、B、CD的结论.
10．【答案】A,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人y(单位：万元)与年份代号x正相关；A不符合题意；
因为 ，
所以 ，于是得 ，解得 ，B符合题意；
由x每增加1，y约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，C符合题意；
2023年的年份代号为11，故y=11-2=9，故可估计2023年A村人均年纯收人约为9万元，D不符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 由回归直线的斜率为1 > 0判断A；求出，可得，再由y的平均数列式可得m + n的值判断B；由回归直线斜率的几何意义判断C；求出2013年的年份代号，代入回归直线方程求得y判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】设点 在 轴上的投影为 ，则 ， ，
.
，
，
，
，
，又 ，
，即 ，A符合题意；B不符合题意；
，C不符合题意；
把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数为 ，当 时， ，故函数 在 时为减函数，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】 根据图象求出A， 和φ，即可求函数f (x)的解析式，结合三角函数的性质，即可得到结论.
12．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 .
，
，
，即函数 在定义域 上单调递减.
，
，
不等式 等价于 ，即 ，解得 .故不等式的解集为 .
故答案为：AB.
【分析】设 ， 求导分析单调性，得函数F (x)在定义域R上单调递减，由f(0)=5，则F(0)= 3，不等式 等价于，即F(x)≤F(0)，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由 ，得 ，可得 ，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦。
14．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
所以 为偶函数，当 时，
显然 在区间 内单调递减，在区间 上单调递增，
故 的解析式可以是 .
故答案为： (答案不唯一)
【分析】 通过偶函数的定义以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可.
15．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解析：如图，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，且 .
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，连接 ，则 ，且 ，
所以 平面 .
设该球的球心为 ，设 的外心为 ，连接 ，则 平面 ，
所以 .连接 ， ， ，由 是 的外心得 平面 ，
所以 ，可得四边形 为矩形.
，
所以 为等边三角形，可知 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： ．
【分析】 取AB的中点E， BC的中点F，连接EF，DF，证明DF⊥平面ABC，三棱锥D一ABC的外接球的球心为O，连接OA，求解三角形可得OA，再由球的表面积公式得答案.
16．【答案】±4；2046
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由 得 ，
，
.
设公比为q，若 ，则q为正数，故 ， .
故答案为：±4；2046
【分析】 根据等比数列的性质可得，解得a3后利用，求出a2的值；若 ，则q为正数，利用，求出q值后根据等比数列前n项和即可求出S10的值.
17．【答案】解：设数列 的公差为 .
若选①：由 ， ，得
解得 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
则
.
若选②：由 ， ，
得
解得 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
则
.
若选③：因为 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
则 .
因为 满足上式，所以 .
因为 ，
所以
则
.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】 设数列{ An }的公差为d，若选择①：根据 ， 可解得a1和d的值，进而可利用裂项求和可得an，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn；若选择②：由 ， ，建立关于a1和d的方程组即可解出a1和d的值，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn；若选择③：利用 ， 解得t值后再根据 解得an ，易知.a1= S1满足上式，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn.
18．【答案】（1）由正弦定理及 ，
得 ，
，
即 ，
.
，
，即 .
，
.
（2） 为等边三角形.
理由如下： ，即 ，
，①
的外接圆半径为 ，
.
由余弦定理得 ，即 ，
，②
由①②得 ，
为等边三角形.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )根据已知条件，结合正弦定理，可得 ，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解；
(2)由△ABC的面积为 ，可推得ac= 4，并且△A BC的外接圆半径为 ，结合正弦定理，可得b=2，再运用余弦定理，即可求解.
19．【答案】（1）解：在梯形 中，过点 作 于点 .
由已知可知 ， ， ， .
所以 ，即 ，①
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，②
由①②及 ，得 平面 .
又由 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， 两两垂直，所以以 为原点，
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，
可得 ， ， ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
则 .
平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)在梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于点H，利用勾股定理证明AC⊥CD，由AP⊥平面ABCD，可得CD⊥AP，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意知：
中间值 45 55 65 75 85 95
概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
所以样本平均数为 .
所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为m=70.5.
（2）由（1）可知 ，故 ，
所以 ，
而
.
故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间（41.88，84.81]的人数
约为20000×0.8186=16372(人).
（3）按方案一：所补助的总费用为 (元)
按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为100，200，300，400.
由题意知， ，
，
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 100 200 300 400
P
，
估算补助的总金额为： (元).
，
所以选择方案二补助的总金额更低.
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可；
(2)利用正态分布曲线的对称性求出服务质量得分位于区间(41.88， 84.81]的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可；
(3)先求出方案一所补助的费用， 对于方案二，设一个人所得补助为Y元，先求出随机变量Y的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可.
21．【答案】（1）解： 的定义域为 ， .
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ，或 .
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，得 ，
当 时， ，即 对 恒成立.
设 ，
则 .
设 ，则 .
，
，
在 上单调递增，
，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
.
的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)求导得 ，当a> 1时，令f'(x)>0，令f'(x) < 0，即可得f (x )的单调区间；
(2)不等式转化为 ，即 对 恒成立，设 ，只需要 ，即可得出答案.
22．【答案】（1）由题意得圆心 到弦 的距离 ，
则由拋物线和圆的对称性可得 ， 两点的坐标分别为 ，
代入 的方程可得 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）当直线 垂直于 轴时，不适合题意；
当直线 不垂直于 轴时，
设直线 方程为 ， ， .
联立方程 ，可得 ，
， ，
要证明 ，
只需要证 ，
，
.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知求得抛物线与圆的交点坐标，代入抛物线方程求得p，则C的标准方程可求；
(2)由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得 ，即可证明 。
1 / 1广东省茂名市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2021高二下·茂名期末）已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由 ，得 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，故 中元素的个数为3.
故答案为：B.
【分析】 先求出集合A、集合B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数。
2．（2021高二下·茂名期末）已知命题 ， ，则 为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题 的否定为 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案.
3．（2021高二下·茂名期末）已知双曲线 的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以 的离心率 .
故答案为：A.
【分析】 由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率公式得答案.
4．（2021高二下·茂名期末）已知倾斜角为 的直线 与直线 平行，则 的值为（　　）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由已知得 ，
故 .
故答案为：B.
【分析】 根据题意，分析可得tana = 3，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案.
5．（2021高二下·茂名期末）冼夫人故里 放鸡岛 窦州古城 茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为（　　）
A．120 B．180 C．240 D．360
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】将5名学生分4组方法有 种，
再分配到4个景区旅游有 种，
由分步乘法计算原理可得：不同的旅游方案种数为 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案.
6．（2021高二下·茂名期末）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】设该圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，则 ，即 ， ，
于是得圆柱的侧面积 ，当且仅当 时取“=”，
所以 时，圆柱的侧面积取最大值 .
故答案为：B
【分析】 设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得到r和h的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可.
7．（2021高二下·茂名期末）记 的面积为S，若 ， ，则S的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，
由椭圆的定义易知，点C的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且c=3，a=5，
则b=4，故该椭圆的标准方程为 ，
当点C为椭圆的上下顶点时，即 时，S取最大值，
则三角形面积 ，当且仅当 时取等号．
故答案为：C．
【分析】以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解.
8．（2021高二下·茂名期末）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100只草地贪夜蛾经过t天后，数量落在区间 内，则t的值可能为（参考数据： ， ）（　　）
A．80 B．120 C．150 D．200
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意得 ，两边取对数得 ，
所以 ，
且 ，即 ，对照各选项，只有C符合.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得，两边取对数得，再结 ， ，即可求解.
9．（2021高二下·茂名期末）已知复数z满足 ，则（　　）
A．z的虚部为
B．z的共轭复数为
C．
D．z在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以z的虚部为 ，z的共轭复数为 ，它在复平面内对应的点 位于第二象限，A、B、D符合题意； ，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】 直接利用复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义的应用判断A、B、CD的结论.
10．（2021高二下·茂名期末）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x之间的一组数据如表所示：
年份 2016 2017 2019 2020
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9.
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为 ，则下列说法错误的是（　　）
A．人均纯收人y(单位：万元)与年份代号x负相关
B．m+n=8
C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．2023年A村人均年纯收人约为11万元
【答案】A,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人y(单位：万元)与年份代号x正相关；A不符合题意；
因为 ，
所以 ，于是得 ，解得 ，B符合题意；
由x每增加1，y约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，C符合题意；
2023年的年份代号为11，故y=11-2=9，故可估计2023年A村人均年纯收人约为9万元，D不符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 由回归直线的斜率为1 > 0判断A；求出，可得，再由y的平均数列式可得m + n的值判断B；由回归直线斜率的几何意义判断C；求出2013年的年份代号，代入回归直线方程求得y判断D.
11．（2021高二下·茂名期末）已知函数 的部分图象如图所示， ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．把函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象
D．把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数在 上是减函数
【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】设点 在 轴上的投影为 ，则 ， ，
.
，
，
，
，
，又 ，
，即 ，A符合题意；B不符合题意；
，C不符合题意；
把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数为 ，当 时， ，故函数 在 时为减函数，D符合题意，
故答案为：AD.
【分析】 根据图象求出A， 和φ，即可求函数f (x)的解析式，结合三角函数的性质，即可得到结论.
12．（2021高二下·茂名期末）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若 ，且 ，则使不等式 成立的x的值不可能为（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 .
，
，
，即函数 在定义域 上单调递减.
，
，
不等式 等价于 ，即 ，解得 .故不等式的解集为 .
故答案为：AB.
【分析】设 ， 求导分析单调性，得函数F (x)在定义域R上单调递减，由f(0)=5，则F(0)= 3，不等式 等价于，即F(x)≤F(0)，即可得出答案.
13．（2021高二下·茂名期末）已知向量 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由 ，得 ，可得 ，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦。
14．（2021高二下·茂名期末）已知函数 为定义在 上的偶函数，且 在区间 内单调递减，在区间 上单调递增，写出一个满足条件的函数 　 　.
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若 ，则 ，
所以 为偶函数，当 时，
显然 在区间 内单调递减，在区间 上单调递增，
故 的解析式可以是 .
故答案为： (答案不唯一)
【分析】 通过偶函数的定义以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可.
15．（2021高二下·茂名期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱 是一“堑堵”， ， ，点 为 的中点.则三棱锥 的外接球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解析：如图，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，且 .
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，连接 ，则 ，且 ，
所以 平面 .
设该球的球心为 ，设 的外心为 ，连接 ，则 平面 ，
所以 .连接 ， ， ，由 是 的外心得 平面 ，
所以 ，可得四边形 为矩形.
，
所以 为等边三角形，可知 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为： ．
【分析】 取AB的中点E， BC的中点F，连接EF，DF，证明DF⊥平面ABC，三棱锥D一ABC的外接球的球心为O，连接OA，求解三角形可得OA，再由球的表面积公式得答案.
16．（2021高二下·茂名期末）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为　 　，若 ，则 　 　.
【答案】±4；2046
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由 得 ，
，
.
设公比为q，若 ，则q为正数，故 ， .
故答案为：±4；2046
【分析】 根据等比数列的性质可得，解得a3后利用，求出a2的值；若 ，则q为正数，利用，求出q值后根据等比数列前n项和即可求出S10的值.
17．（2021高二下·茂名期末）在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答.
已知等差数列 的前 项和为 ， ， ▲ ，若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】解：设数列 的公差为 .
若选①：由 ， ，得
解得 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
则
.
若选②：由 ， ，
得
解得 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
则
.
若选③：因为 ，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
则 .
因为 满足上式，所以 .
因为 ，
所以
则
.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】 设数列{ An }的公差为d，若选择①：根据 ， 可解得a1和d的值，进而可利用裂项求和可得an，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn；若选择②：由 ， ，建立关于a1和d的方程组即可解出a1和d的值，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn；若选择③：利用 ， 解得t值后再根据 解得an ，易知.a1= S1满足上式，又 ，可利用裂项求和法求数列{ bn }的前n项和Tn.
18．（2021高二下·茂名期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，且 的外接圆半径为 ，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）由正弦定理及 ，
得 ，
，
即 ，
.
，
，即 .
，
.
（2） 为等边三角形.
理由如下： ，即 ，
，①
的外接圆半径为 ，
.
由余弦定理得 ，即 ，
，②
由①②得 ，
为等边三角形.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )根据已知条件，结合正弦定理，可得 ，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解；
(2)由△ABC的面积为 ，可推得ac= 4，并且△A BC的外接圆半径为 ，结合正弦定理，可得b=2，再运用余弦定理，即可求解.
19．（2021高二下·茂名期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：在梯形 中，过点 作 于点 .
由已知可知 ， ， ， .
所以 ，即 ，①
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，②
由①②及 ，得 平面 .
又由 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， 两两垂直，所以以 为原点，
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，
可得 ， ， ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，
则 .
平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)在梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于点H，利用勾股定理证明AC⊥CD，由AP⊥平面ABCD，可得CD⊥AP，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
20．（2021高二下·茂名期末）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差 派送不及时 包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分(满分100分)，根据他们的服务质量得分分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，统计得出以下频率分布直方图：
（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分 (每组数据以区间的中点值为代表)；
（2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z(单位：分)近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 .若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间（41.88，84.81]的人数；
（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次.在每次抽奖中，若中奖，则补助200元/次，若不中奖，则只补助100元/次，且假定每次中奖的概率均为 .问：哪一种补助方案补助总金额更低.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布 ，即 ，则 ， .
【答案】（1）解：由题意知：
中间值 45 55 65 75 85 95
概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
所以样本平均数为 .
所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为m=70.5.
（2）由（1）可知 ，故 ，
所以 ，
而
.
故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间（41.88，84.81]的人数
约为20000×0.8186=16372(人).
（3）按方案一：所补助的总费用为 (元)
按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为100，200，300，400.
由题意知， ，
，
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 100 200 300 400
P
，
估算补助的总金额为： (元).
，
所以选择方案二补助的总金额更低.
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可；
(2)利用正态分布曲线的对称性求出服务质量得分位于区间(41.88， 84.81]的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可；
(3)先求出方案一所补助的费用， 对于方案二，设一个人所得补助为Y元，先求出随机变量Y的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可.
21．（2021高二下·茂名期末）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 的定义域为 ， .
当 时，令 ，得 ；
令 ，得 ，或 .
在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，得 ，
当 时， ，即 对 恒成立.
设 ，
则 .
设 ，则 .
，
，
在 上单调递增，
，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
.
的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 (1)求导得 ，当a> 1时，令f'(x)>0，令f'(x) < 0，即可得f (x )的单调区间；
(2)不等式转化为 ，即 对 恒成立，设 ，只需要 ，即可得出答案.
22．（2021高二下·茂名期末）已知圆 与抛物线 相交于 ， 两点，且 .
（1）求 的标准方程；
（2）过点 的动直线 交 于 ， 两点，点 与点 关于原点对称，求证： .
【答案】（1）由题意得圆心 到弦 的距离 ，
则由拋物线和圆的对称性可得 ， 两点的坐标分别为 ，
代入 的方程可得 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）当直线 垂直于 轴时，不适合题意；
当直线 不垂直于 轴时，
设直线 方程为 ， ， .
联立方程 ，可得 ，
， ，
要证明 ，
只需要证 ，
，
.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知求得抛物线与圆的交点坐标，代入抛物线方程求得p，则C的标准方程可求；
(2)由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得 ，即可证明 。
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