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第四章
数列
4.3.1等比数列的概念
学案
一、学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质，能够运用等比数列的性质解决有关问题.
二、基础梳理
1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
此时，.
3.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
三、巩固练习
1.实数数列1，a，16为等比数列，则(
)
A.
B.4
C.2
D.或4
2.下列数列为等比数列的是(
)
①，，，；
②，，，；
③，，，；
④，，，
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
3.已知等比数列满足，，则(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
4.在等比数列中，，，则公比q是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
5.在等比数列中，，是方程的两根，则(
)
A.6
B.2
C.2或6
D.
6.若等差数列和等比数列满足，，则(
)
A.-1
B.1
C.-4
D.4
7.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天它飞出去带回了五个伙伴，第2天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂(
)
A.只
B.只
C.只
D.只
8.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2020积数列”，且，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为(
)
A.1009
B.1010
C.1011
D.2020
9.递增的等比数列中，，，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知数列满足，且，则___________.
11.在等差数列中，，如果是与的等比中项，那么____________.
12.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则__________________.
13.已知数列满足，，数列满足，则数列的通项公式为___________.
14.在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
15.已知数列满足，，.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由等比中项性质得，所以.故选D.
2.答案：C
解析：由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当时，不是等比数列.
3.答案：B
解析：设等比数列的公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B.
4.答案：A
解析：根据题意，等比数列中，，，则，解得.故选A.
5.答案：B
解析：等比数列中，，是方程的两根，，且，，且，，，，，.
6.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，因为，，
所以，解得，因此，所以
7.答案：D
解析：设第n天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，由题意可得，，即，所以数列为等比数列，即，所以第6天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只.
8.答案：B
解析：设数列的公比为q，由题意可得，，，，又，，数列为递减等比数列，，，，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为1010，故选B.
9.答案：D
解析：设等比数列的公比为q，由等比数列的性质可得，，
又，或，
又为递增的等比数列，
，，，
.
10.答案：11
解析：，，数列是公比的等比数列，，，.
11.答案：9
解析：设等差数列的公差为d，由题意得，，又是与的等比中项，，即，，解得或（舍去）.
12.答案：16
解析：，且，，..
13.答案：
解析：，，即，，
且，，则，又，数列是首项为，公比为3的等比数列，.
14.解析：（1）由题意知.
又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1），可知，
所以数列的通项公式为.
15.解析：(1)由题得，
将代入，得，而，，
将代入，得，，
，，.
(2)是首项为2，公比为3的等比数列.
由题得，即，
又，是首项为2，公比为3的等比数列.

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