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一元二次不等式
一．知识梳理
知识点一　一元二次不等式的概念
(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
(3)不等式所有解的集合称为解集．
知识点二　一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集．
知识点三　“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
知识点四　分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
知识点五　一元二次不等式恒成立问题
一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]
是不等式f(x)>0的解集的子集．
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.
知识点六　含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是?.
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．
题型探究
题型一　一元二次不等式的解法
命题角度1　二次项系数大于0
例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
命题角度2　二次项系数小于0
例2　解不等式－x2＋2x－3>0.
跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集．
题型二　“三个二次”间对应关系的应用
例3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
跟踪训练3　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1题型三　分式不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)<0；　　　(2)≤1.
跟踪训练1　解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
题型四　不等式恒成立问题
例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
引申探究
把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．
跟踪训练2　当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
题型五　含参数的一元二次不等式
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)<0.
三．综合训练
1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A.
B．{x|x＞1}
C．{x|x<1或x＞2}
D.
2．不等式x2＋x－2<0的解集为
．
3．不等式(x－2)2<－2x＋11的解集为
．
4．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7．
5.不等式≤0的解集为(　　)
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为(　　)
A．1
B．－1
C．－3
D．3
7.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,4)
B．[0,4)
C．(0,4]
D．[0,4]
8.设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.
B．R
C.
D．?
10.若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

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