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2021—2022学年度初二年级暑假入学检测试卷
数
学
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共29个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（
）
A．（，5）
B．（1，）
C．（，）
D．（1，1）
2．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2=（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
第2题图
第7题图
第9题图
3．已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（
）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
5．已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
6．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，下列判断正确的是（
）
A．若∠1=∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC=∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD=180°，则AD∥BC
D．若∠2=∠4，则AB∥DC
8．如果，那么下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（
）
A．∠ACB=∠DBC
B．∠A=∠D
C．AB=CD
D．AC=DB
10．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=5：3：2，③，④∠A=2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（
）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠ACB=2∠APB；
④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l、垂足为点Q，然后沿
PQ开挖水渠，其依据是
．
第13题图
第15题图
第16题图
第17题图
14．把方程改写成用含x的式子表示y的形式是
．
15．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是
．
16．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB=9，BE=8，则AC的长是
．
17．如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是
．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为
．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）解二元一次方程组：．
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为
；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为
．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a=
，n=
；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校成绩优秀的学生人数．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4=180°，，求∠B的度数．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
28．（8分）如图AD是∠MAN的角平分线，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
29．（8分）对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
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2021—2022学年度初二年级入学检测试卷
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注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共29个小题，考试时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（
）
A．（，5）
B．（1，）
C．（，）
D．（1，1）
【答案】C
【解析】A、（-3，5）在第二象限，不符合题意；
B、（1，-2）在第四象限，不符合题意；
C、（-2，-3）在第三象限，符合题意；
D、（1，1）在第一象限，不符合题意，
2．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2=（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】C
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∵∠1+∠BOD+∠2=180°，∠1=40°，
∴40°+90°+∠2=180°，
∴∠2=50°，
第2题图
第7题图
第9题图
3．已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵点P（2a+6，4+a）在第二象限，
∴，
解不等式①，得：a＜-3，
解不等式②，得：a＞-4，
则不等式组的解集为-4＜a＜-3，
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（
）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
【答案】B
【解析】A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，适合抽样调查，故选项A不符合题意；
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查，故选项B符合题意；
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择全面调查，故选项C不符合题意；
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
5．已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】设这个多边形的边数为n，由题意：
（n-2）?180°=1080°．
解得：n=8．
6．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A．
B．
C．
7．如图，下列判断正确的是（
）
A．若∠1=∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC=∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD=180°，则AD∥BC
D．若∠2=∠4，则AB∥DC
【答案】D
【解析】A．若∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC，故A不符合题意；
B．若∠ABC=∠ADC，不能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C．若∠ABC+∠BCD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故C不符合题意；
D．若∠2=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥DC，故D符合题意；
8．如果，那么下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、∵a＞b，∴a+1＞b+1，故本选项不合题意；
B、∵a＞b，∴-a＜-b，∴-a+3＜-b+3，故本选项符合题意；
C、∵a＞b，∴-a＜-b，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，∴，故本选项不符合题意；
9．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（
）
A．∠ACB=∠DBC
B．∠A=∠D
C．AB=CD
D．AC=DB
【答案】D
【解析】A．∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=CB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
10．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则方程组为
11．在下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=5：3：2，③，④∠A=2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】①∵∠A+∠B=∠C，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，
设∠A=5x，则∠B=3x，∠C=2x，
∴5x+2x+3x=180，
解得：x=18°，
∴∠5=18°×5=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C=2∠B=∠A，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A+∠A=180°，
∴∠A=（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（
）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠ACB=2∠APB；
④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=
∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l、垂足为点Q，然后沿
PQ开挖水渠，其依据是
．
【答案】垂线段最短．
【解析】要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短．
第13题图
第15题图
第16题图
第17题图
14．把方程改写成用含x的式子表示y的形式是
．
【答案】
【解析】，
移项得2y=5x-3，
系数化为1得，
15．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是
．
【答案】180°
【解析】如图，
由三角形的外角性质，∠1=∠B+∠D，∠2=∠A+∠C，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
16．如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB=9，BE=8，则AC的长是
．
【答案】13
【解析】∵△ABC≌△DBE，BE=8，
∴BC=BE=8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴AC=30-AB-BC=13
17．如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是
．
【答案】9＜AB＜19
【解析】如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14-5=9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为
．
【答案】5或2.5或6
【解析】当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB=90，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6-t=8-3t，解得t=1，
∴CQ=8-3t=5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，6-t=3t-8，
解得t=3.5，
∴CQ=3t-8=2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ=AC=6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
【解析】原式
20．（4分）解二元一次方程组：．
【解析】
①×2+②得：
解得：
把代入①式解得：
∴原方程组的解为
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【解析】由解得，画数轴略
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为
；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为
．
【解析】（1）A（-4，2），
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）点A1（1，0），B1（4，1），C1（3，-3）．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a=
，n=
；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校成绩优秀的学生人数．
【解析】（1）30÷10%=300（人），
“B”组人数为：300×20%=60（人），
“C”组人数为：a=300×25%=75（人），
“E”组人数为：300-60-30-75-90=45（人），所占百分比为45÷300×100%=15%，即n=15，
故答案为：75，15；
（2）根据各组的频数补全频数分布直方图如下：
（3）2000×=900（人），
答：该校八年级2000名学生中成绩为优秀的学生大约有900人．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4=180°，，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ，∠EMA=∠BMQ，
∴∠E=∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠3+∠4=180°，∠4=∠MNF，
∴∠3+∠MNF=180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF=180°，
∵∠BAF=3∠F-20°，
∴∠F+3∠F-20°=180°，
解得∠F=50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B=∠1，∠1=∠F，
∴∠B=∠F=50°．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
【解析】∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD=180°，∠C=70°，
∴∠CAD=180°-90°-70°=20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB=180°，∠C=70°，∠BAC=50°，
∴∠ABC=180°-70°-50°=60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO=∠BAC=25°，∠ABO=∠ABC=30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°-25°-30°=125°．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC-CD=2，
∴AF=AD-DF=5-2=3．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【解析】（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50-x）辆．
由题意得，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
∴50-x=22或21或20，
∴共有3种方案．
（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20=34000（元）．
（3）由题意30m+20n=2100，
∴3m+2n=210，
∴m=70-，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n．
∴38＜70-＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n=45，
∴m=40
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为45元．
28．（8分）如图AD是∠MAN的角平分线，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【解析】（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，AD是∠MAN的角平分线
∴∠DBE=∠DCF=90°，BD=CD
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE=DF；
（2）EF=FC+BE，
理由：过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE=DG，BE=CG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°．
∴∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF=GF，
∴EF=FC+CG=FC+BE．
29．（8分）对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
【解析】（1）设点P的坐标为（x、y），
由题意知，，解得：
，
即点P的坐标为（0，2）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）
∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|．
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
∴|ka|=2a，即|k|=2，
∴k=±2．
（3）结论：△ABQ的面积是定值．
理由：∵点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，
∴P（2+4k，2k+4），
∴2k+4=0，
∴k=-2，
∴P（-6，0），
∴OP=6，
∵△APQ，△AOB都是等边三角形，
∴∠OAB=∠PAQ=60°，AB=AO=2，AP=AQ，
∴∠PAO=∠QAB，
∴△PAO≌△QAB（SAS），
∴∠AOP=∠ABQ=90°，PO=BQ，
∵S△ABQ=?AB?BQ=×2×6=6，
∴△ABQ的面积是定值．
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