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2020-2021学年北师大新版八年级上册数学《第1章
勾股定理》单元测试卷试卷
一．选择题
1．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　）
A．2，1
B．1，
C．2，
D．2，
2．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在6×6的网格图中，若△ABC为网格直角三角形，则满足条件的C点个数有（　　）
A．6
B．7
C．13
D．15
3．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长分别为1、、2
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5
B．30，40，50
C．7，14，15
D．5，12，13
5．满足a2+b2＝c2的三个正整数称为勾股数，下列各组数为勾股数的是（　　）
A．2，3，4
B．，，
C．6，7，8
D．5，12，13
6．如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝DC，且AD＝2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（　　）
A．8
B．4
C．4
D．2
7．如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）
A．20m
B．24m
C．25m
D．26m
8．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）dm．
A．11
B．
C．
D．10
二．填空题
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为
　
　．
10．三边为9，12，15的三角形，其面积为
　
　．
11．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．
（1）图2中大正方形的边长为
　
　，里面小正方形的边长为
　
　；
（2）大正方形面积可以表示为
　
　，也可以表示为
　
　；
（3）对比这两种表示方法，可得出
　
　，整理得
　
　．
12．如图，长方体的高为3cm，底面是正方形且边长为2cm，现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达C点，蚂蚁行走的最短路程为
　
　cm．
13．如图，有互相垂直的两面墙OM，ON，梯子AB＝6m，两端点A，B分别在两面墙上滑动（AB长度不变），P为AB的中点，柱子CD＝4m，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为　
　m．
14．一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为
　
　．
15．如图，在一棵树离地面10米高的B处有两只猴子，在离树20米的池塘边的A处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到A处，另一只爬到树顶D后直接跳到A处，路径以直线计算．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高
　
　米．
三．解答题
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB﹣BC＝2，AC＝4，以三边为边分别向外作三个正方形，连接DE，FG，HI，得到六边形DEFGHI，求六边形DEFGHI的面积．（提示：作DJ⊥EA交EA的延长线于J，CK⊥AB于K）
17．如图，已知△ABC，若小方格边长均为1，请你根据所学的知识完成下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？
19．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝　
　°，S四边形ADBE＝　
　c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
20．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．
（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
21．如图，是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方形木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵小正方形和大正方形的面积分别是1和5，
∴S△ADE＝，EF＝1，
设直角三角形两条直角边为a，b（a＜b），
∴ab＝2，a2+b2＝5，b﹣a＝1，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝5+4＝9，
∵a+b＞0，
∴a+b＝3，
∵b﹣a＝1，
∴a＝1，b＝2，
故选：A．
2．解：由勾股定理得：AB＝，
如图所示：
故有13个，
故选：C．
3．解：A、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、180°×＝75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、302+402＝502，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、72+142≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
5．解：A、22+32≠42，不是勾股数，不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，不符合题意；
C、62+72≠82，不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，是勾股数，符合题意；
故选：D．
6．解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝DC，AD＝2，
∴AC2+DC2＝AD2＝8，
∴AC＝CD＝2，
∴S△ACD＝AC?DC＝2，
∴S阴影＝π（）2+S△ACD﹣π（）2
＝π+2﹣π
＝2，
故选：D．
7．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，
即原图长度增加4米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24米，宽AD＝10米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝26（米），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26米的路程．
故选：D．
8．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝32+42＝25，
∴AC＝5（dm）．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10（dm）．
故选：D．
二．填空题
9．解：设AE＝AC＝x，
∵∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，
根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即x2+82＝（x+4）2，
故答案为：x2+82＝（x+4）2．
10．解：∵92+122＝225＝152，
∴三边长分别为9，12，15的三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：×9×12＝54．
故答案为：54．
11．解：（1）图2中大正方形的边长为
（a+b），里面小正方形的边长为
c，
故答案为：（a+b）；c，
（2）大正方形面积可以表示为：（a+b）2，也可表示为：，
故答案为：（a+b2；，
（3）对比这两种表示方法，可得出：（a+b）2＝×4+c2，整理得：c2＝a2+b2，
故答案为：（a+b）2＝×4+c2；c2＝a2+b2．
12．解：如图1所示，
AB＝＝5（cm），
如图2所示，
AB＝＝（cm），
∵5＜，
∴它爬行的最短路程为5cm．
故答案为：5．
13．解：∵木棍的中点为P，△AOB为直角三角形，
∴OP＝AB＝3m，即点P到点O的距离为3m，
∴点P的轨迹为以O为圆心，3m为半径的弧上，如图，
连接OD交⊙O于P，则D到P的距离最小．
在弧上任取一点P′，连接OP′，DP′，
∵OP′+DP′＞OD＝OP+DP，OP＝OP′，
∴DP′＞DP，
∴DP为最小值，
在Rt△OCD中，OC＝6，CD＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD＝OD﹣OP＝（2﹣3）（m），
故答案为：（2﹣3）．
14．解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝152，
解得：x＝（不合题意，舍去），
②152+82＝x2，
解得：x＝17，
故答案为17．
15．解：由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝20米，BC＝10米，
设BD＝x，则AD＝30﹣x，
在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，
即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，
解得x＝5米，故树高为CD＝10+x＝15米，
答：树高为15米．
故答案为：15．
三．解答题
16．解：作DJ⊥EA交EA的延长线于J，作CK⊥AB于K．
∵∠DAC＝∠JAB＝90°，
∴∠DAJ＝∠CAB．
∵AD＝AC，∠J＝∠AKC＝90，
∴△ADJ≌△ACK（AAS）．
∴DJ＝CK．
∵S△ADE＝AE?DJ，S△ABC＝AB?CK，AE＝AB，
∴S△AED＝S△ABC，
同理可证S△ABC＝S△BFG＝S△HIC．
∵AB﹣BC＝2，AC＝4，
∴设BC＝x，则AB＝x+2．
∴（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3．
∴AC＝4，BC＝3，AB＝5．
∴S六边形DEFGHI＝4××3×4+4×4+3×3+5×5＝74．
17．解：（1）S△ABC＝4×4﹣﹣﹣＝16﹣1﹣6﹣4＝5．
故：S△ABC＝5；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵小方格边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，
AC2＝22+42＝20，
BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
18．解：由题意得：AB＝2.5米，BO＝0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AO＝＝2.4（米），
∴MO＝AO﹣AM＝2.4﹣0.4＝2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
NO＝＝1.5（米），
∴NB＝ON﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．
19．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）?CF+BF?EF＝（b+a）b+（a﹣b）?a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
20．解：（1）∵17＝42+12，15＝42﹣12，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52+42，9＝52﹣42，
∴9，40，41是完美勾股数；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，
∴a＝，
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝，
∵（）2+（）2＝240，（4）2＝240，
∴（）2+（）2＝（4）2，
∴b＝4符合题意．
∴a＝；a＝31，b＝4．
21．解：如图1，当爬的长方形的长是（4+6）＝10，宽是3时，AB＝＝（cm）．
如图2，当爬的长方形的长是（3+6）＝9，宽是4时，AB＝＝（cm）．
如图3，爬的长方形的长是（3+4）＝7时，宽是6时，AB＝＝（cm）．
∵＞＞，
∴它需要爬行的最短路径是cm．

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